8.2.3 多项式与多项式相乘 课件（共38张PPT））--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

8.2.3 多项式与多项式相乘
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.2.3 多项式与多项式相乘
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解多项式与多项式相乘的运算法则，清楚法则的推导过程和依据。
能够熟练运用多项式与多项式相乘的法则进行计算，解决相关数学问题。
进一步体会转化思想在数学中的应用，提升运算能力和逻辑思维能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握多项式与多项式相乘的运算法则并能正确应用。
难点：理解多项式与多项式相乘法则的推导过程，处理好各项的乘法运算及符号问题。
幻灯片 4：复习回顾
多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。
单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。
小练习：计算\(2x(3x + 1)\)，\(-3a(a^2 - 2b)\)，复习单项式乘以多项式知识，为新知识学习做铺垫。
幻灯片 5：情境导入
问题：一个长方形的长为\((a + b)\)，宽为\((m + n)\)，这个长方形的面积是多少？
引导学生从不同角度列式：
方法一：长方形面积 = 长 × 宽 = \((a + b)(m + n)\)。
方法二：将长方形分割成四个小长方形，面积分别为\(am\)、\(an\)、\(bm\)、\(bn\)，总面积为\(am + an + bm + bn\)。
提问：\((a + b)(m + n)\)与\(am + an + bm + bn\)有什么关系？引出本节课课题。
幻灯片 6：探究多项式与多项式相乘法则
把多项式\((a + b)\)看作一个整体，运用单项式乘以多项式法则计算：
（1）\((a + b)(m + n)\)
解：把\((a + b)\)看作单项式\(m'\)，则\((a + b)(m + n) = m'(m + n) = m'm + m'n = (a + b)m + (a + b)n = am + bm + an + bn\)
（2）\((x + 2)(x + 3)\)
解：\((x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)
（3）\((2a - 1)(3a + 4)\)
解：\((2a - 1)(3a + 4) = 2a(3a + 4) - 1(3a + 4) = 6a^2 + 8a - 3a - 4 = 6a^2 + 5a - 4\)
组织学生小组讨论，总结多项式与多项式相乘的计算方法。
幻灯片 7：多项式与多项式相乘法则
法则内容：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
字母表示：\((a + b)(m + n) = am + an + bm + bn\)（\(a\)，\(b\)，\(m\)，\(n\)均为单项式）。
法则解析：
转化思想：将多项式与多项式相乘转化为单项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式。
步骤分解：先分别相乘，再合并同类项。
项数关系：在未合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数的积。
幻灯片 8：例 1 - 多项式与多项式相乘计算
（1）计算\((x + 3)(x + 5)\)
解：\((x + 3)(x + 5) = x·x + x·5 + 3·x + 3·5 = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15\)
（2）计算\((2x - 1)(x - 4)\)
解：\((2x - 1)(x - 4) = 2x·x + 2x·(-4) + (-1)·x + (-1)·(-4) = 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4\)
（3）计算\((3a + b)(2a - 3b)\)
解：\((3a + b)(2a - 3b) = 3a·2a + 3a·(-3b) + b·2a + b·(-3b) = 6a^2 - 9ab + 2ab - 3b^2 = 6a^2 - 7ab - 3b^2\)
幻灯片 9：例 2 - 含括号的多项式乘法
计算\((x + 2)(x^2 - 3x + 1)\)
解：\((x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x·x^2 + x·(-3x) + x·1 + 2·x^2 + 2·(-3x) + 2·1 = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2\)
幻灯片 10：例 3 - 多项式乘法的应用
计算\((a + b)(a - b)\)
解：\((a + b)(a - b) = a·a + a·(-b) + b·a + b·(-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)（这是平方差公式的推导，可简单提及）
幻灯片 11：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）\((x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + 2\) (×)，改正：\((x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\)（漏乘一项）
（2）\((2x - 3)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 3x + 12 = 2x^2 + 5x + 12\) (×)，改正：\((2x - 3)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12\)（符号处理错误）
（3）\((a + b)(m - n) = am - an + bm + bn\) (×)，改正：\((a + b)(m - n) = am - an + bm - bn\)（符号处理错误）
（4）\((x - 2)(x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x - 2x^2 - 2x = x^3 - x^2 - 3x\) (×)，改正：\((x - 2)(x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x - 2x^2 - 2x + 2 = x^3 - x^2 - 3x + 2\)（漏乘常数项）
幻灯片 12：课堂练习
（1）计算\((m + 4)(m - 5)\)
解：\((m + 4)(m - 5) = m^2 - 5m + 4m - 20 = m^2 - m - 20\)
（2）计算\((3x + 2)(2x - 1)\)
解：\((3x + 2)(2x - 1) = 6x^2 - 3x + 4x - 2 = 6x^2 + x - 2\)
（3）计算\((a - 2b)(a^2 + ab - b^2)\)
解：\((a - 2b)(a^2 + ab - b^2) = a·a^2 + a·ab + a·(-b^2) - 2b·a^2 - 2b·ab - 2b·(-b^2) = a^3 + a^2b - ab^2 - 2a^2b - 2ab^2 + 2b^3 = a^3 - a^2b - 3ab^2 + 2b^3\)
幻灯片 13：实际应用问题
问题：一个正方形的边长为\((x + 2)\)，另一个长方形的长为\((x + 3)\)，宽为\((x - 1)\)，求正方形的面积比长方形的面积大多少？
解：
正方形面积：\((x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4\)
长方形面积：\((x + 3)(x - 1) = x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3\)
面积差：\((x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 2x - 3) = x^2 + 4x + 4 - x^2 - 2x + 3 = 2x + 7\)
答：正方形的面积比长方形的面积大\(2x + 7\)。
幻灯片 14：课堂小结
多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
运算步骤：
用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项；
按照单项式乘以单项式的法则计算每一组乘积；
把所得的积相加，并合并同类项。
注意事项：不要漏乘任何一项，注意各项的符号运算，结果要化为最简形式。
幻灯片 15：布置作业
教材第 88 页习题 A 组第 1，2，3 题。
思考题：已知\((x + a)(x + b) = x^2 + 5x + 6\)，求\(a + b\)和\(ab\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则；（重点）
2. 能够用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.
（难点）
1. 如何进行单项式与多项式乘法的运算？
② 再把所得的积相加.
① 将单项式分别乘以多项式的各项；
2. 进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?
① 不能漏乘：
即单项式要乘遍多项式的每一项；
② 去括号时注意符号的确定.
问题1 一块长方形的菜地，长为 a，宽为 m，现将它的长增加 b，宽增加 n，求扩大后的菜地面积.
多项式乘多项式
1
①
②
③
④
n
a
b
m
方法一：扩大后菜地的长是 a + b，宽是 m + n，所以它的面积是______________.
方法二：先算 4 块小长方形的面积，再求总面积，扩大后菜地的面积是__________________.
(a + b)(m + n)
am + bm + an + bn
(a + b)(m + n) = am + bm + an + bn
①
②
③
④
n
a
b
m
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把 (m + n) 看成一个整体，有：
= ma + mb + na + nb.
(m + n)(a + b)
= (m + n)a + (m + n)b
小提示：(m+n) 和 (a + b) 这两个多项式叫作所得积的因式.
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
多项式与多项式的乘法法则
1
2
3
4
(a + b)(m + n)
=
am
1
2
3
4
+ an
+ bm
+ bn
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完.
要点归纳
典例精析
(1) (－2x－1)(3x－2) ；
(2) (x + a)(x + b) .
解：(1) (－2x－1)(3x－2)
= (－2x) · 3x＋(－2x)·(－2)＋(－1) · 3x＋(－1)×(－2)
= －6x2＋4x－3x＋2
= －6x2＋x＋2
例1 计算：
(2) (x＋a)(x＋b)
= x2＋bx＋ax＋ab
= x2＋(a＋b)x＋ab
例2 计算：
（1）(a + b)(a2－ab + b2) ；
（2）(y2 + y + 1)(y + 2) .
解：(1) (a + b)(a2－ab + b2)
= a · a2－a · ab + a · b2 + b · a2－b · ab + b · b2
= a3 + b3.
(2) (y2 + y + 1)(y + 2)
= y3 + 2y2 + y2 + 2y + y + 2
= y3 + 3y2 + 3y + 2
注意：(1) 漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成
最简形式 (是同类项的要合并).
例3 先化简，再求值：
(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，
其中 a＝－1，b＝1.
解：原式＝ a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝ a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：化简求值的题型，一般应先化简，再
求值，而不是先代值，再计算．
1. 计算：
(1) (2n + 6)(n - 3)； (2) (-3x -1)(-x2 + 1).
解：(1) 原式= 2n2 - 6n + 6n - 18
= 2n2 - 18.
(2) 原式= 3x3 - 3x + x2 - 1
= 3x3 + x2 - 3x -1.
2. 计算：
(1)(3x - y)(3x + y)； (2)(3a + 2)(3a - 2) - 9a(a - 1)；
(3)(x - y)(x2 + xy + y2)； (4)(x + 1)(x2 - 2x + 3).
(3) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2 - y3
=x3 - y3.
解：(1) (3x - y)(3x + y) = 9x2 - y2.
(2) (3a + 2)(3a - 2) - 9a(a -1)
= 9a2 - 4 - 9a2 + 9a = 9a -4.
(4) (x + 1)(x2 -2x + 3) = x3 - 2x2 + 3x + x2 - 2x + 3
= x3 - x2 + x + 3.
3. 先化简，再求值：(x - 4)(x - 2) - (x - 1)(x + 3)，
其中 x = -2.
解：(x - 4)(x - 2) - (x - 1)(x + 3)
= x2 - 2x - 4x + 8 - (x2 + 3x - x - 3)
= x2 - 2x - 4x + 8 - x2 - 2x + 3
= -8x + 11.
将 x = -2 代入式中，则有
-8x +11 = 27.
核心必知
多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个
多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的
积______.
图解计算
相加
1星题 基础练
多项式与多项式的乘法法则
1.计算(?????????????)(????????+????) 的结果是( )
?
D
A.?????????+???? B.??????????????????
C.????????????????????? D.??????????????????????????
?
2.[2024·淮北期中] 若(????????+????)(????+????)=????????????+????????????????? ，则
下列结论正确的是( )
?
D
A.????=???????? B.????=???? C.????=???? D.????????????=????????
?
3.计算：(?????????????)(?????????)+????= _____________.
?
?????????????????????+????
?
4.化简(????+????)(?????????)+(?????????)(????+????) 的结果是________.
?
?????????????????
?
5.计算：
(1)(????????+????)(?????????) ；
?
解：原式=?????????????????????????+?????????????????=?????????????????????????????????? .
?
(2)(?????????????????)(????????+????????) ;
?
解：原式=????????????????+??????????????????????????????????????????????????=????????????????????????????????? .
?
(3)(????+????)(?????????????????+????????) .
?
解：原式=?????????????????????+????????????+?????????????????????????+????????=????????+???????? .
?
多项式与多项式的乘法法则的应用
6.[2024·安庆期中] 如图是由三个
长相等、宽不等的小长方形组成的
一个大长方形，用????，????，???? 表示大
长方形的面积为( )
?
D
A.????????????+???????????? B.????????????+???????????? C.????????????+???????? D.????????????+????????????
?
7. 从前一位庄园主把一块长为????????? ，宽为
?????????(????>????>????????) 的长方形土地租给一位租户，第二年，他
对租户说：“我把这块地的长增加?????????????，宽减少????????????? ，继续
租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，
你觉得租户的租地面积会( )
?
A
A.变小 B.变大 C.没有变化 D.无法确定
8. ［数形结合思想］“以形释数”是利用数形结合思想证明代
数问题的一种体现，进行整式的乘法运算时，经常利用几何
直观和面积法获取结论.如
(????+????)(????+????)=????????+????????????+???????? 就能用如图①所示图形
的面积来表示.
?
(1)请你写出图②所表示的一个等式：____________________
_______________；
(????????+????)(????+????)=????????????+????????+????????????
?
(2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：
(????+????)(????+????????)=????????+????????????+???????????? .
?
解：如答图所示.(画法不唯一)
2星题 中档练
9. ［整体思想］[2024·合肥期末] 已知????+????=????，????????=???? ，
则(?????????????)(?????????????) 的值为____.
?
?????
?
10.设????=(????+????)(?????????)，????=(????+????)(?????????)，则????___???? .
(填“> ”或“< ”)
?
<
?
11.如图，有正方形卡片???? 类、
????类和长方形卡片???? 类若干张，
若要拼一个长为(????????+????) ，宽
?
C
A.5张 B.6张 C.7张 D.8张
为(????+????????)的大长方形，则需要???? 类卡片( )
?
12.要使多项式(?????????????????+????)(?????????)展开后不含???? 的二次项，
则????与???? 的关系是( )
?
B
A.????=???? B.????+????=???? C.????????=???? D.????????=?????
?
13. 如图，某小区有一块长为
(????????+????????)????，宽为(????????+????????)???? 的长方形地块，
物业公司在此长方形地块内修建了一条平行
四边形小路，小路的底边宽为????????? ，为了进
?
一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一
个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图
中阴影部分进行绿化.
(1)用含有????，???? 的式子表示绿化的
面积???? ；
?
解：由题意得
????=(????????+????????)(????????+????????)?????(????????+????????)=????????????+????????????+????????????+??????????????????????????????????????=????????????+????????????????+????????????(????????) .
?
(2)若????=????，????=???? ，请你帮助物
业公司求出此时绿化的面积.
?
当????=????，????=???? 时，
????=????×????????+????????×????×????+????×????????=????????+????????+????????=????????????(????????) .
?
14.小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：
(????????+????)(????????+????)，由于小马抄错了???? 的符号，得到的结果为
?????????????????????????+????????；由于小睿漏抄了第二个多项式中???? 的系数，
得到的结果为?????????????????????????????? .
?
(1)求出????，???? 的值；
?
解：因为小马抄错了???? 的符号，得到的结果为
?????????????????????????+????????，所以(?????????????)(????????+????)=????????????+(?????????????????)?????????????=?????????????????????????+????????，所以?????????????????=????????? .
因为小睿漏抄了第二个多项式中???? 的系数，得到的结果为
?????????????????????????????? ，所以(????????+????)(????+????)=????????????+(????+????????)????+????????=?????????????????????????????? ，
?
所以????+????????=????? .
解&?????????????????=?????????,&????+????????=?????,得&????=????,&????=?????.
?
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
因为????=????,????=????? ，所以
(????????+????)(?????????????)=?????????????????????+?????????????????=?????????????????????????? ．
?
3星题 提升练
15. ［运算能力］回答下列问题：
(1)计算：
①(????+????)(????+????)= ____________；
②(????+????)(?????????????)= _____________；
③(?????????)(?????????)= ______________.
?
????????+????????+????
?
??????????????????????????
?
?????????????????????+????????
?
(2)由(1)的结果，直接写出下列算式的结果：
①(????+????)(????+????)= ____________；
②(?????????)(?????????)= ____________；
③(????+????)(?????????)= _____________.
?
????????+????????+????
?
?????????????????+????
?
??????????????????????????
?
(3)总结公式：(????+????)(????+????)= __________________.
?
????????+(????+????)????+????????
?
(4)已知????，????，???? 均为整数，且
(????+????)(????+????)=????????+????????+????，求???? 的所有可能值.
?
解：由(3)可知(????+????)(????+????)=????????+????????+???? 中，
????=????+????，????=????????.因为????,????,????均为整数，且????=????×???? 或
????=(?????)×(?????)或????=????×????或????=(?????)×(?????) ，所以
????=????或?????或5或????? .
?
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086