8.3.1完全平方公式 课件（共37张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共37张PPT)
8.3.1完全平方公式
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.3.1 完全平方公式
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式的结构特点。
能够熟练运用完全平方公式进行整式乘法运算，并解决相关问题。
体会从特殊到一般的数学思想，培养观察、归纳和应用能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握完全平方公式的结构特点及应用。
难点：理解完全平方公式的推导过程，准确区分公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”，避免常见错误。
幻灯片 4：复习回顾
多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
小练习：计算\((x + 3)(x + 3)\)，\((2a - b)(2a - b)\)，通过重复项相乘的计算，为完全平方公式的推导做铺垫。
幻灯片 5：情境导入
问题 1：一个正方形的边长为\((a + b)\)，这个正方形的面积是多少？
方法一：正方形面积 = 边长 × 边长 = \((a + b)^2\)。
方法二：将正方形分割为一个边长为\(a\)的正方形、一个边长为\(b\)的正方形和两个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形，面积总和为\(a^2 + 2ab + b^2\)。
问题 2：通过计算，\((a + b)^2\)与\(a^2 + 2ab + b^2\)有什么关系？引出本节课课题。
幻灯片 6：探究完全平方公式（一）
计算下列各式，观察结果的特点：
（1）\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
（2）\((x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9\)
（3）\((2m + n)^2 = (2m + n)(2m + n) = 4m^2 + 2mn + 2mn + n^2 = 4m^2 + 4mn + n^2\)
引导学生总结规律：两数和的平方，等于这两个数的平方和加上它们乘积的 2 倍。
幻灯片 7：完全平方公式（和的平方）
公式内容：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
文字表述：两数和的平方，等于这两个数的平方和加上它们乘积的 2 倍。
结构特点：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式，其中两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。
幻灯片 8：探究完全平方公式（二）
计算下列各式，观察结果与和的平方公式的异同：
（1）\((a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a·a + a·(-b) + (-b)·a + (-b)·(-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
（2）\((x - 2)^2 = (x - 2)(x - 2) = x^2 - 2x - 2x + 4 = x^2 - 4x + 4\)
（3）\((3m - 2n)^2 = (3m - 2n)(3m - 2n) = 9m^2 - 6mn - 6mn + 4n^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2\)
引导学生总结规律：两数差的平方，等于这两个数的平方和减去它们乘积的 2 倍。
幻灯片 9：完全平方公式（差的平方）
公式内容：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
文字表述：两数差的平方，等于这两个数的平方和减去它们乘积的 2 倍。
与和的平方公式对比：结构相似，区别在于中间项的符号，和的平方中间项为 “\(+\)”，差的平方中间项为 “\(-\)”。
幻灯片 10：完全平方公式的统一与辨析
统一理解：\((a - b)^2\)可以看作\([a + (-b)]^2\)，代入和的平方公式可得：\([a + (-b)]^2 = a^2 + 2·a·(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，体现公式的统一性。
公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”：可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式，例如\((2x + 3y)^2\)中，\(a = 2x\)，\(b = 3y\)；\((m - n + p)^2\)可看作\([(m - n) + p]^2\)，将\((m - n)\)视为 “\(a\)”，\(p\)视为 “\(b\)”。
幻灯片 11：例 1 - 直接应用完全平方公式
（1）计算\((x + 5)^2\)
解：\((x + 5)^2 = x^2 + 2·x·5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\)
（2）计算\((3a - 2b)^2\)
解：\((3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2·3a·2b + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2\)
（3）计算\((-2m + n)^2\)
解：方法一：\((-2m + n)^2 = n^2 + 2·n·(-2m) + (-2m)^2 = n^2 - 4mn + 4m^2\)
方法二：\((-2m + n)^2 = (n - 2m)^2 = n^2 - 2·n·2m + (2m)^2 = n^2 - 4mn + 4m^2\)（利用加法交换律转化为差的平方）
幻灯片 12：例 2 - 含乘方的完全平方公式应用
计算\((x + y)^2 - (x - y)^2\)
解：
方法一：先分别展开再计算
\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
原式 = \((x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy\)
方法二：可看作平方差形式简便计算（后续将学习，此处仅拓展）
原式 = \([(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)] = (2x)(2y) = 4xy\)
幻灯片 13：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）\((a + b)^2 = a^2 + b^2\) (×)，改正：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)（遗漏中间项 “\(2ab\)”）
（2）\((a - b)^2 = a^2 - b^2\) (×)，改正：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（遗漏中间项 “\(-2ab\)” 且符号错误）
（3）\((2x + 3)^2 = 4x^2 + 6x + 9\) (×)，改正：\((2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9\)（中间项系数错误，应为\(2×2x×3 = 12x\)）
（4）\((m - 1)^2 = m^2 - 2m - 1\) (×)，改正：\((m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1\)（常数项符号错误，应为 “\(+1\)”）
幻灯片 14：课堂练习
（1）计算\((2a + 3b)^2\)
解：\((2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2\)
（2）计算\((5x - 2y)^2\)
解：\((5x - 2y)^2 = 25x^2 - 20xy + 4y^2\)
（3）计算\((a + 2b - c)^2\)（提示：看作\([(a + 2b) - c]^2\)）
解：\((a + 2b - c)^2 = (a + 2b)^2 - 2·(a + 2b)·c + c^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 - 2ac - 4bc + c^2\)
幻灯片 15：实际应用问题
问题：一个正方形的边长为\(x\)，若边长增加\(3\)，则新正方形的面积比原正方形的面积增加了多少？
解：
原正方形面积：\(x^2\)
新正方形边长：\(x + 3\)，面积：\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
面积增加量：\((x^2 + 6x + 9) - x^2 = 6x + 9\)
答：新正方形的面积比原正方形的面积增加了\(6x + 9\)。
幻灯片 16：课堂小结
完全平方公式：
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)（两数和的平方）
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（两数差的平方）
公式特点：左边是二项式的平方，右边是三项式，包含平方和与两倍乘积项，中间项符号由左边二项式的符号决定。
应用关键：准确确定公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”，注意中间项的系数和符号，避免漏项。
幻灯片 17：布置作业
教材第 92 页习题 A 组第 1，2，4 题。
思考题：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)的值（提示：利用完全平方公式变形\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点；
（重点）
2. 会运用公式进行简单的运算．(难点)
学习目标
一块边长为 a 米的正方形试验田，需要将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么？
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
a
b
b
p2 + 2p + 1
m2 + 4m + 4
p2－2p + 1
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
m2－4m + 4
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
完全平方公式
1
完全平方公式
(a + b)2 = ；
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 这两个公式叫做完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央”
要点归纳
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项分别为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式.
(a + b)2 = ；
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗
b
a
a
b
图 1
b
a
b
a
图 2
想一想：
几何解释：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
(2x)2
(1) ( 2x + y )2；
= 4x2
+ 4xy
+ y2
+ ( y )2
+2 (2x) y
解：( 2x + y )2 =
例1 运用完全平方公式计算：
典例精析
解：(3a－2b)2 =
= 9a2
(2) (3a－2b)2.
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(3a)2
－ 2 (3a) (2b)
+ (2b)2
－ 12ab
+ 4b2.
例2 利用乘法公式计算：(- m - 2n)2.
= m2 + 4mn + 4n2.
= [-(m + 2n)]2
= (m + 2n)2
解： (-m - 2n)2
小提示：对于含负号较多的完全平方式，可以借助偶次幂为正数进行化简，即 (-a)2 = a2 .
例3 计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz.
方法总结：运用分组和整体思想计算，该等式也称为三数的完全平方公式.
例4 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2 是完全平方式
所以 (m＋1)xy＝±2×6x·5y，
m＋1＝±60.
解得 m＝59 或 m＝－61.
提醒：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
解：原式 = (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404.
思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022；
(2) 992.
解：原式 = (100－1)2
= 10000 － 200 + 1
= 9801.
完全平方公式的运用
2
例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
所以 (a＋b)2＝49.
所以 a2＋b2＋2ab＝49，
即 a2＋b2＋2×10＝49.
所以 a2＋b2＝29.
故 (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
1.利用乘法公式计算：
(3) (2x + )2； (4) (-2x + 3y)2.
(1) (3x + 1)2； (2) (a - 3b)2；
解：(1) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1.
(2) (a -3b)2 = a2 - 6ab + 9b2.
(3) (2x + )2 = 4x2 + 2xy + y2.
(4) (-2x + 3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2.
2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长.
解：设小正方形的边长为 a cm，则大正方形的边长为 (a + 6) cm.
S大正方形＝(a + 6)2 cm2，
S小正方形＝a2 cm2，
S减少＝(a + 6)2 - a2
＝(12a + 36) cm2.
故 12a + 36 = 84 cm2，
＝a2 + 12a + 62 - a2
解得 a＝4 ，
则 a +6＝10 .
答：原正方形的边长为 10 cm.
3
3
单位：cm
解：(1) 原式
(1) (a + b + c)2； (2)(a－b)3 ．
例5 利用乘法公式计算：
(2) 原式= (a - b)3
= a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= (a +b) + 2(a + b)c + c2
= [(a +b)+ c ]2
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
= a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
= (a - b) (a2 - 2ab + b2)
= (a - b)(a - b)2
(1) (a + b)3； (2) (x - 1)3；
1. 计算：
= (a2 +2ab +b2)(a + b)
解：(1) 原式= (a + b)2(a + b)
= a3 + 3a2b +3ab2 + b3.
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(2) 原式= (x2 - 2x + 1)(x - 1)
= x3 - 2x2 + x - x2 + 2x - 1
= x3 - 3x2 + 3x -1.
(3) (a - b - c)2.
= (a - b)2 - 2(a - b) c + c2
原式= [(a - b) - c]2
= (a2 - 2ab + b2) - 2(ac - bc) + c2
= a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab -2ac + 2bc.
核心必知
完全平方公式：
完全平方公式用语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于
这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.
1星题 基础练
完全平方公式
1.[2024·上海月考] 下列算式能用完全平方公式计算的是
( )
B
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
3.[2024·合肥月考] 若，则
的值为( )
A
A. B. C. D.
4.计算：
(1) ____________；
(2) ______________；
(3) ___________________________.
原式 .
5.计算：
(1) ;
解：原式
(2) .
解：原式 .
完全平方公式的几何意义
6.［知识初练］ 如图是利用割补法求图形面积
的示意图，则与之相对应的公式是______________________
___.
7.如图①是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪
刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大
正方形，如图②所示，请直接写出，，
之间的等量关系：_________________________.
利用完全平方公式进行简便计算
8.利用完全平方公式进行简便计算:
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
2星题 中档练
9.若，是整数，则 的值一定是
( )
D
A.正数 B.负数 C.非负数 D.4的倍数
因为 ，
且, 是整数,所以
的值一定是4的倍数.
10. ［分类讨论思想］[2024·安庆月考] 若
是关于的完全平方式，则 的值为_______.
或7
【变式题】 若二项式 加上一个单项式后可以写成一
个整式的平方，则这样的单项式共有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.5个
式子和4分别是 和2的平方，可当作首尾两项，
根据完全平方公式可得中间项为，同时还应看到
加上或或 后也可分别构成一个整式的平方.
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 常用公式变形式：
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
a2 + b2= (a - b)2 + 2ab；
(a＋b)2 - (a - b)2 = 4ab .
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086