8.3.2平方差公式 课件（共35张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共35张PPT)
8.3.2平方差公式
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.3.2 平方差公式
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的结构特征。
能够熟练运用平方差公式进行整式乘法运算，解决实际问题。
体会从特殊到一般的数学思想，培养观察、归纳和运算能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握平方差公式的结构特征及应用方法。
难点：理解平方差公式的推导过程，准确识别公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”，灵活运用公式解决问题。
幻灯片 4：复习回顾
多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
小练习：计算\((x + 2)(x - 2)\)，\((3a + b)(3a - b)\)，通过特殊多项式乘法的计算，为平方差公式的推导做铺垫。
幻灯片 5：情境导入
问题 1：一个大正方形的边长为\(a\)，在其中剪去一个边长为\(b\)的小正方形（\(a > b\)），剩余部分的面积是多少？
方法一：剩余面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = \(a^2 - b^2\)。
方法二：将剩余部分拼成一个长方形，长为\((a + b)\)，宽为\((a - b)\)，面积为\((a + b)(a - b)\)。
问题 2：通过计算，\((a + b)(a - b)\)与\(a^2 - b^2\)有什么关系？引出本节课课题。
幻灯片 6：探究平方差公式
计算下列各式，观察结果的特点：
（1）\((a + b)(a - b) = a·a + a·(-b) + b·a + b·(-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)
（2）\((x + 3)(x - 3) = x·x + x·(-3) + 3·x + 3·(-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9\)
（3）\((2m + n)(2m - n) = 2m·2m + 2m·(-n) + n·2m + n·(-n) = 4m^2 - 2mn + 2mn - n^2 = 4m^2 - n^2\)
引导学生总结规律：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
幻灯片 7：平方差公式内容
公式内容：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。
文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
结构特征：
左边是两个二项式相乘，这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
幻灯片 8：公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”
“\(a\)” 和 “\(b\)” 的含义：可以是单独的数字、字母，也可以是单项式或多项式。
示例分析：
在\((x + 5)(x - 5)\)中，相同项\(x\)是 “\(a\)”，相反项\(5\)和\(-5\)中的\(5\)是 “\(b\)”，结果为\(x^2 - 5^2 = x^2 - 25\)。
在\((3m + 2n)(3m - 2n)\)中，相同项\(3m\)是 “\(a\)”，相反项\(2n\)和\(-2n\)中的\(2n\)是 “\(b\)”，结果为\((3m)^2 - (2n)^2 = 9m^2 - 4n^2\)。
在\((a + b + c)(a + b - c)\)中，可将\((a + b)\)看作 “\(a\)”，\(c\)看作 “\(b\)”，结果为\((a + b)^2 - c^2\)。
幻灯片 9：例 1 - 直接应用平方差公式
（1）计算\((x + 4)(x - 4)\)
解：\((x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16\)
（2）计算\((2a - 3b)(2a + 3b)\)
解：\((2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2\)
（3）计算\((-m + n)(-m - n)\)
解：方法一：\((-m + n)(-m - n) = (-m)^2 - n^2 = m^2 - n^2\)（相同项是\(-m\)，相反项是\(n\)和\(-n\)）
方法二：\((-m + n)(-m - n) = [-(m - n)][-(m + n)] = (m - n)(m + n) = m^2 - n^2\)（先提负号转化形式）
幻灯片 10：例 2 - 平方差公式的灵活应用
（1）计算\((x + y)(x - y)(x^2 + y^2)\)
解：先利用平方差公式计算前两项：
\((x + y)(x - y) = x^2 - y^2\)
再与第三项相乘：
\((x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4\)
（2）计算\((a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)\)
解：逐步应用平方差公式：
\((a - 1)(a + 1) = a^2 - 1\)
\((a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1\)
\((a^4 - 1)(a^4 + 1) = a^8 - 1\)
幻灯片 11：例 3 - 利用平方差公式简便计算
（1）计算\(102×98\)
解：将式子转化为平方差公式形式：
\(102×98 = (100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996\)
（2）计算\(59.8×60.2\)
解：\(59.8×60.2 = (60 - 0.2)(60 + 0.2) = 60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96\)
幻灯片 12：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）\((x + 2)(x - 3) = x^2 - 6\) (×)，改正：不是平方差公式适用形式，应按多项式乘法计算：\((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\)（错误使用公式）
（2）\((2a + b)(a - 2b) = 2a^2 - 2b^2\) (×)，改正：不是平方差公式适用形式，计算得\(2a^2 - 4ab + ab - 2b^2 = 2a^2 - 3ab - 2b^2\)（错误识别相同项和相反项）
（3）\((3x + 2)(3x - 2) = 3x^2 - 4\) (×)，改正：\((3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4\)（相同项平方错误）
（4）\((-a - b)(a - b) = a^2 - b^2\) (×)，改正：\((-a - b)(a - b) = (-b - a)(-b + a) = (-b)^2 - a^2 = b^2 - a^2\)（符号处理错误）
幻灯片 13：课堂练习
（1）计算\((3x + 5)(3x - 5)\)
解：\((3x + 5)(3x - 5) = (3x)^2 - 5^2 = 9x^2 - 25\)
（2）计算\((m + n - p)(m + n + p)\)
解：\((m + n - p)(m + n + p) = (m + n)^2 - p^2 = m^2 + 2mn + n^2 - p^2\)
（3）计算\(2025×2023 - 2024^2\)（提示：将\(2025×2023\)转化为\((2024 + 1)(2024 - 1)\)）
解：\(2025×2023 - 2024^2 = (2024 + 1)(2024 - 1) - 2024^2 = 2024^2 - 1 - 2024^2 = -1\)
幻灯片 14：实际应用问题
问题：一个长方形的长为\((x + 3)\)，宽为\((x - 3)\)，若\(x = 10\)，求这个长方形的面积。
解：
长方形面积 = 长 × 宽 = \((x + 3)(x - 3) = x^2 - 9\)
当\(x = 10\)时，面积 = \(10^2 - 9 = 100 - 9 = 91\)
答：这个长方形的面积为\(91\)。
幻灯片 15：课堂小结
平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式特征：左边是 “和 × 差” 形式的二项式乘法，右边是 “平方差” 形式的多项式。
应用关键：准确识别公式中的相同项 “\(a\)” 和相反项 “\(b\)”，确保符合 “一项相同、一项相反” 的结构特征。
幻灯片 16：布置作业
教材第 95 页习题 A 组第 1，2，3 题。
思考题：已知\(a + b = 7\)，\(a - b = 3\)，求\(a^2 - b^2\)和\(ab\)的值（提示：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用；(重点)
2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.(难点)
多项式与多项式是如何相乘的？
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
多项式乘多项式法则
平方差公式
1
① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (5y + z)(5y - z).
算一算：看谁算得又快又准.
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4
③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
= x2 - 12
= m2 - 22
= (2m)2 - 12
= (5y)2 - z2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
(a + b)(a b) = a2 b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(a – b) (a + b) = a2 b2，
(b + a)( b + a) = a2 b2.
平方差公式：
要点归纳
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个数字或字母，也可以是两个式子，合理加括号可以简化计算．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
系数相同为 a
系数相反为 b
适当交换a，b的位置可以便于观察
如何利用几何的形式解释平方差公式？
想一想
a
a
b
b
a + b
a - b
b
b
a
a
b
b
a2 - b2
a
b
b
b
(a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
a - b
a - b
练一练：口答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a - b)(a + b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
例1 利用平方差公式计算：
(1) (-x＋3)(-x - 3)； (2) 1999×2001.
解：原式= (-x + 3)(-x - 3)
= x2 - 9.
= (-x)2 - 32
典例精析
原式= 1999 ×2001
= 3 999 999.
= 20002 - 1
= (2000 - 1)×(2000 + 1)
1. 计算： (1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
练一练
例2 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－a2b2 + a2b2
= a4 .
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2 + 6x
= 6x－25.
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．
(1) (2a + 5b)(2a - 5b)； (2) ( x - 3)( x + 3)；
1. 利用乘法公式计算：
(3) (y - 2x)(-2x - y)； (4) (xy + 1)(xy - 1).
解：原式= 4a2 - 25b2.
原式= x2 - 9.
原式= 4x2 - y2.
原式= x2 y2 - 1.
2.利用乘法公式计算：
(1) 598 ×602； (2) 9992.
= 6002 - 22
解：原式= (600 - 2)×(600 + 2)
= 3600 - 4
= 3596.
= 10002 - 2×1000 + 12
原式 = (1000 - 1)2
= 998001.
例4 利用乘法公式计算：(x + y + z)(x - y + z).
解：(x + y + z)(x - y + z)
= x2 + 2xz + z2 - y2.
= (x + z)2 - y2
= [(x + z) + y][(x + z) - y]
(1) (2a + b + 1)(2a + b -1)； (2) (3x + y + z)(3x - y - z).
2. 计算：
解：(1) 原式= (2a + b)2 - 12
= 4a2 + 4ab + b2 - 1
= (3x)2 - ( y + z)2
(2) 原式 = [3x + ( y + z)][3x - ( y + z)]
= 9x2 -( y2 + 2yz + z2)
= 9x2 - y2 - 2yz - z2.
核心必知
平方差公式:
平方差公式用语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，
等于这两个数的平方差.
1星题 基础练
平方差公式
1.［知识初练］多项式和 中完全相同的项是___，
互为相反数的项是___和____，由平方差公式可知
______ ________.
6
6
2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
D
A. B.
C. D.
3.[2024·上海中考] 计算： ________.
4.已知，那么 ____.
5.计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 ．
平方差公式的几何意义
6.将如图①所示的长方形沿虚线
剪开，拼成如图②所示的图形，
根据两个图形的面积关系得到的
数学公式是__________________
________.
7.如图，在边长为 的正方形
中央剪去一个边长为
的小正方形 ，将剩余
C
A. B.
C. D.
部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为
( )
利用平方差公式进行简便运算
8. 运用平方差公式进行简便计算： .
解：原式
.
2星题 中档练
9.[2024·芜湖月考] 一个正整数若能表示为两个正整数的平方
差，则称这个正整数为“创新数”，例如 ，
，故27，63都是“创新数”.下列各数中，不是
“创新数”的是( )
D
A.31 B.41 C.16 D.54
因为 ，
，
，54不能表示成两个正整
数的平方差,所以31，41和16是“创新数”，而54不是“创新数”.
10.计算： ___________.
11.[2024·无锡期中] 如图，一个长
方形运动场被分割成、、 、
、共5个区，区是边长为
的正方形，区是边长为 的小
正方形.列式表示整个长方形运动场的面积为______________.
12.先化简，再求值：
，其中， 满足
.
解： .
因为 ，
所以， ，
解得， ，
所以原式 .
13. ［整体思想］[2024·北京月考] 已知 ,求
代数式 的值.
解：原式 .
因为,所以 ,
所以原式 .
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086