8.4.1 提公因式法 课件（共40张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共40张PPT)
8.4.1 提公因式法
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.4.1 提公因式法
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的关系。
掌握公因式的定义，能准确找出多项式的公因式。
熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解，解决相关问题。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握提公因式法分解因式的步骤，能准确找出多项式的公因式。
难点：理解因式分解与整式乘法的逆关系，处理好提公因式过程中的符号问题和系数问题。
幻灯片 4：复习回顾
整式乘法回顾：
单项式乘以多项式：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。
例如：\(3x(2x + 1) = 6x^2 + 3x\)，\(2ab(a - 2b) = 2a^2b - 4ab^2\)。
思考：以上式子反过来写是什么形式？\(6x^2 + 3x = 3x(2x + 1)\)，\(2a^2b - 4ab^2 = 2ab(a - 2b)\)，这就是今天要学习的因式分解。
幻灯片 5：因式分解的概念
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形。
整式乘法：\(m(a + b + c) \rightarrow ma + mb + mc\)（积化和差）。
因式分解：\(ma + mb + mc \rightarrow m(a + b + c)\)（和差化积）。
小练习：判断下列变形是否为因式分解：
（1）\(x^2 + 2x = x(x + 2)\)（是）
（2）\(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)（是）
（3）\((x + 3)(x - 3) = x^2 - 9\)（否，是整式乘法）
幻灯片 6：公因式的概念
定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
示例分析：
多项式\(6x^2 + 3x\)中，各项都含有因式\(3x\)，所以\(3x\)是这个多项式的公因式。
多项式\(2a^2b - 4ab^2\)中，各项都含有因式\(2ab\)，所以\(2ab\)是这个多项式的公因式。
多项式\(5xy + 10x^2y - 15xy^2\)中，各项都含有因式\(5xy\)，所以\(5xy\)是这个多项式的公因式。
幻灯片 7：如何找公因式
找公因式的方法：
系数：取各项系数的最大公约数作为公因式的系数。
字母：取各项都含有的相同字母。
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。
示例：找出多项式\(8a^3b^2 + 12ab^3c\)的公因式。
系数：\(8\)和\(12\)的最大公约数是\(4\)。
字母：各项都含有的相同字母是\(a\)和\(b\)。
指数：\(a\)的最低次幂是\(1\)，\(b\)的最低次幂是\(2\)。
公因式：\(4ab^2\)。
幻灯片 8：提公因式法的定义
定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式法的依据：乘法分配律的逆运用，即\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)。
幻灯片 9：例 1 - 直接提公因式
（1）分解因式\(8a^3b^2 + 12ab^3c\)
解：公因式是\(4ab^2\)
\(8a^3b^2 + 12ab^3c = 4ab^2·2a^2 + 4ab^2·3bc = 4ab^2(2a^2 + 3bc)\)
（2）分解因式\(2x^3 + 6x^2\)
解：公因式是\(2x^2\)
\(2x^3 + 6x^2 = 2x^2·x + 2x^2·3 = 2x^2(x + 3)\)
（3）分解因式\(3pq^3 + 15p^3q\)
解：公因式是\(3pq\)
\(3pq^3 + 15p^3q = 3pq·q^2 + 3pq·5p^2 = 3pq(q^2 + 5p^2)\)
幻灯片 10：例 2 - 含负号的提公因式
（1）分解因式\(-4x^2 + 8ax + 2x\)
解：首项系数为负，先提出 “\(-\)” 号，公因式是\(2x\)
\(-4x^2 + 8ax + 2x = -(4x^2 - 8ax - 2x) = -[2x·2x - 2x·4a - 2x·1] = -2x(2x - 4a - 1)\)
（2）分解因式\(-x^2y + 4xy - 5y\)
解：公因式是\(-y\)
\(-x^2y + 4xy - 5y = -y·x^2 - y·(-4x) - y·5 = -y(x^2 - 4x + 5)\)
幻灯片 11：例 3 - 公因式是多项式
（1）分解因式\(a(x - 3) + 2b(x - 3)\)
解：把\((x - 3)\)看作一个整体，公因式是\((x - 3)\)
\(a(x - 3) + 2b(x - 3) = (x - 3)(a + 2b)\)
（2）分解因式\(5(x - y)^3 + 10(y - x)^2\)
解：先将\((y - x)^2\)转化为\((x - y)^2\)，公因式是\(5(x - y)^2\)
\(5(x - y)^3 + 10(y - x)^2 = 5(x - y)^3 + 10(x - y)^2 = 5(x - y)^2(x - y + 2)\)
幻灯片 12：提公因式法的步骤
提公因式法分解因式的步骤：
确定多项式各项的公因式。
将多项式的各项写成公因式与另一个因式乘积的形式。
提出公因式，写成公因式与另一个多项式乘积的形式。
注意事项：
公因式要提尽，确保另一个因式中不再含有公因式。
当多项式的首项系数为负数时，通常先提出 “\(-\)” 号，使括号内的首项系数为正数，注意提出 “\(-\)” 号后，括号内各项的符号都要改变。
公因式可以是单项式，也可以是多项式。
幻灯片 13：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）分解因式\(3x^2 + 6x = 3x(x + 6x)\) (×)，改正：\(3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\)（另一个因式中仍有公因式）
（2）分解因式\(-2x^2 + 4x = -2x(x + 2)\) (×)，改正：\(-2x^2 + 4x = -2x(x - 2)\)（符号错误）
（3）分解因式\(a(m - n) + b(n - m) = (m - n)(a + b)\) (×)，改正：\(a(m - n) + b(n - m) = (m - n)(a - b)\)（未正确转化符号）
（4）分解因式\(4a^2b - 6ab^2 = 2ab(2a - 3b)\) (√)
幻灯片 14：课堂练习
（1）分解因式\(12x^2y - 18xy^2\)
解：公因式是\(6xy\)
\(12x^2y - 18xy^2 = 6xy·2x - 6xy·3y = 6xy(2x - 3y)\)
（2）分解因式\(-5a^2 + 25a\)
解：公因式是\(-5a\)
\(-5a^2 + 25a = -5a·a + (-5a)·(-5) = -5a(a - 5)\)
（3）分解因式\(3(x - y) + a(y - x)\)
解：\(3(x - y) + a(y - x) = 3(x - y) - a(x - y) = (x - y)(3 - a)\)
幻灯片 15：实际应用问题
问题：已知一个长方形的面积为\(6x^2 + 12x\)，其中一边长为\(3x\)，求这个长方形的另一边长。
解：
长方形的面积 = 长 × 宽，所以另一边长 = 面积 ÷ 已知边长
面积分解因式：\(6x^2 + 12x = 3x(2x + 4)\)
另一边长 = \(3x(2x + 4)÷3x = 2x + 4\)
答：这个长方形的另一边长为\(2x + 4\)。
幻灯片 16：课堂小结
因式分解概念：把多项式化成几个整式的积的形式。
公因式确定：系数取最大公约数，字母取相同字母，指数取最低次幂。
提公因式法步骤：确定公因式→写成乘积形式→提出公因式。
注意事项：公因式提尽，符号处理正确，公因式可为多项式。
幻灯片 17：布置作业
教材第 101 页习题 A 组第 1，2，3 题。
思考题：分解因式\(2a(x + y - z) - 3b(z - x - y) - 5c(x - z + y)\)（提示：先统一括号内多项式的形式）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别
和联系.（重点）
2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法
分解因式.（难点）
如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a + b + c)
方法二：ma + mb + mc
m(a + b + c) = ma + mb + mc
整式乘法

1. 运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a + b + c) = ；
(2) (x + 1)(x - 1) = ；
(3) (a + b)2 = .
ma + mb + mc
x2 - 1
a2 + 2ab + b2
2. 根据等式的性质填空：
(1) ma + mb + mc = ( )( )；
(2) x2 - 1 = ( )( )；
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2.
m a + b + c
x + 1 x - 1
a + b
都是多项式化为几
个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
因式分解
1
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
要点归纳
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是相反的变形，即
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　)
① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
典例精析
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是纯积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
pa + pb + pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式 p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2 ＋ x
相同因式 x
用提公因式法分解因式
2
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
(a + b + c)
pa + pb + pc
p
=
试找出找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：
最大公约数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x.
指数：
相同字母的最低次数
1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
正确找出多项式的公因式的步骤：
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当各项系数都为整数时)；
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
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找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
分析：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 3ax2－6axy + 3a.
(1) 4m2－8mn；
例2 把下列各式分解因式：
例2 把下列各式分解因式：
(2) 3ax2－6axy + 3a.
(1) 4m2－8mn；
解：4m2－8mn
= 4m·m－4m·2n
= 4m(m－2n).
3ax2－6axy + 3a
= 3a·x2－3a·2xy + 3a·1
= 3a(x2－2xy + 1).
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.
例3 把下列各式分解因式：
（1）2x(b + c)－3y(b + c)；
（2）3n(x－2) + (2－x).
解：2x(b + c)－3y(b + c)
= (b + c)(2x－ 3y).
2－x = －(x－2)
3n(x－2) + (2－x)
= 3n(x－2) － (x－2)
= (x－2)(3n－1).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
小明的解法有误吗？
小明
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
错误
注意：某项提出莫漏 1.
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x
= x(3x - 6y + 1)
小亮的解法有误吗？
小亮
提出负号时括号里的项没变号
错误
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
小华的解法有误吗？
小华
例4 计算：
(1) 39×37－13×91；
(2) 29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14.
(2) 原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023.
＝13×20＝260.
解：(1) 原式＝13×3×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，则用提取公因式的方法可使运算简便．
例5 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
所以原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：因为 a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
1.填空：
(1) 6x3 - 18x2 = _____ (x - 3)；
(2) -7a2 + 21a = -7a ______
( ).
2.把下列各式分解因式：
(1) np - nq； (2) -x3y - x2y2 + xy.
原式 = xy(-x2 - xy + 1)
解：原式 = n( p - q)
6x2
a - 3
3. 把下列各式分解因式：
(1) 3(a + b)2 + 6(a + b)； (2) m(a - b) - n(a - b)；
(3) 6(x - y)3 - 3y(y - x)2； (4) mn(m - n) - m(n - m)2.
解：(1) 3(a + b)2 + 6(a + b) = 3(a + b)(a + b + 2).
(2) m(a - b) - n(a - b) = (m - n)(a - b).
(3) 6(x - y)3 - 3y( y - x )2 = 3(x - y)2(2x - 3y).
(4) mn(m - n) - m(n - m)2 = m(m - n)(2n - m).
核心必知
1.把一个多项式化为几个整式的____的形式，叫作因式分解，
也叫作把这个多项式分解因式.
2.公因式的确定：
①系数：取各项系数的最大公因数；
②字母或整体：取各项相同字母或整体；
③指数：取相同字母或整体的最低指数.
注意：提公因式要提尽，不要漏乘，分解到不能再分解为止.
积
1星题 基础练
因式分解的定义
1.［知识初练］下列各式从左到右的变形中：
，
， ，
______的等号右边是整式的积的形式，左边是多项式，所以
属于因式分解的有______.(均填序号)
2.[2024·上海期中] 下列各式从左到右是因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
公因式
3.［知识初练］多项式 中各项系数的最大公因数是
___，各项中的相同字母是___，各项中的相同字母的指数的
最小值是___，所以这个多项式的公因式是_____.
3
2
4.[2024·合肥模拟] 多项式 的公因式是___.
5.下列各组多项式中，没有公因式的是( )
D
A.和 B.和
C.和 D.和
运用提公因式法进行因式分解
6.［知识初练］多项式 中每项的公因式
为______，公因式提取出来后，得______，所以
因式分解的结果为______________.
7.多项式 提取公因式后，剩下的因式是( )
C
A. B. C. D.
8.[2024·枣庄中考] 因式分解： __________.
9.填空：
(1) ________；
(2)_____ .
10.用提公因式法分解因式：
(1) ;
解：原式 .
(2) ;
解：原式 .
(3) .
解：原式 .
2星题 中档练
11.把 分解因式，正确的是
( )
B
A. B.
C. D.
12.计算： 的值是______.
13.[2024·徐州中考] 若， ，则代数式
的值等于___.
2
【变式题】 已知长和宽分别为， 的长方形，其面积等于
15，周长等于16，则 _____.
240
14.已知，，为三角形 的三边，且满足
,则三角形 是______三角形.
等腰
15.利用提公因式法进行简便计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
16. 已知是正整数，请说明 一定是2的倍数.
解：.因为 为正整数，
所以与 是两个连续的正整数.
因为连续的两个正整数中必有一个为偶数，
所以 为偶数，
所以 一定是2的倍数.
因式
分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086