8.4.2.1公式法 课件（共44张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共44张PPT)
8.4.2.1公式法
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.4.2.1 公式法
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解公式法分解因式的原理，明确它与整式乘法公式的逆关系。
掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，能准确识别适用公式的多项式。
熟练运用公式法对多项式进行因式分解，提高因式分解的综合能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能用公式法分解因式。
难点：准确判断多项式是否符合公式特征，灵活运用公式进行因式分解，分解要彻底。
幻灯片 4：复习回顾
因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
提公因式法：如果多项式各项有公因式，先把公因式提出来。
整式乘法公式回顾：
平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
思考：这些乘法公式反过来写是什么形式？这就是今天要学习的公式法分解因式。
幻灯片 5：公式法的概念
定义：把乘法公式反过来，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
常用公式：
平方差公式逆用：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
完全平方公式逆用：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)，\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)
与整式乘法的关系：公式法分解因式是整式乘法公式的逆过程。
幻灯片 6：平方差公式分解因式
公式内容：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)。
结构特征：
多项式是二项式。
两项都能写成平方的形式。
两项的符号相反（一正一负）。
示例分析：
\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)\)，符合\(a^2 - b^2\)形式，其中\(a = x\)，\(b = 3\)。
\(4a^2 - 25b^2 = (2a)^2 - (5b)^2 = (2a + 5b)(2a - 5b)\)，其中\(a = 2a\)，\(b = 5b\)。
幻灯片 7：例 1 - 用平方差公式分解因式
（1）分解因式\(x^2 - 16\)
解：\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)\)
（2）分解因式\(9a^2 - 4b^2\)
解：\(9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a + 2b)(3a - 2b)\)
（3）分解因式\((x + y)^2 - (x - y)^2\)
解：把\((x + y)\)和\((x - y)\)看作整体，符合平方差公式
\((x + y)^2 - (x - y)^2 = [(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)] = (2x)(2y) = 4xy\)
幻灯片 8：完全平方公式分解因式
公式内容：
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)（两数和的完全平方）
\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)（两数差的完全平方）
结构特征：
多项式是三项式。
其中两项能写成平方的形式，且符号相同。
第三项是这两个数乘积的 2 倍（或 - 2 倍）。
示例分析：
\(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2·x·3 + 3^2 = (x + 3)^2\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)形式，\(a = x\)，\(b = 3\)。
\(4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a)^2 - 2·2a·3b + (3b)^2 = (2a - 3b)^2\)，\(a = 2a\)，\(b = 3b\)。
幻灯片 9：例 2 - 用完全平方公式分解因式
（1）分解因式\(x^2 + 10x + 25\)
解：\(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2·x·5 + 5^2 = (x + 5)^2\)
（2）分解因式\(4m^2 - 12mn + 9n^2\)
解：\(4m^2 - 12mn + 9n^2 = (2m)^2 - 2·2m·3n + (3n)^2 = (2m - 3n)^2\)
（3）分解因式\(-x^2 + 4xy - 4y^2\)
解：先提出 “\(-\)” 号，使首项为正
\(-x^2 + 4xy - 4y^2 = -(x^2 - 4xy + 4y^2) = -(x - 2y)^2\)
幻灯片 10：提公因式后用公式法
分解因式步骤：当多项式各项有公因式时，应先提取公因式，再运用公式法分解。
例 3：
（1）分解因式\(3x^2 - 3y^2\)
解：先提公因式\(3\)
\(3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x + y)(x - y)\)
（2）分解因式\(2a^3 + 12a^2b + 18ab^2\)
解：先提公因式\(2a\)
\(2a^3 + 12a^2b + 18ab^2 = 2a(a^2 + 6ab + 9b^2) = 2a(a + 3b)^2\)
幻灯片 11：公式法的综合应用
例 4：分解因式\((x^2 + 4)^2 - 16x^2\)
解：先看作平方差公式形式
\((x^2 + 4)^2 - 16x^2 = (x^2 + 4)^2 - (4x)^2 = [(x^2 + 4) + 4x][(x^2 + 4) - 4x]\)
再对每个括号内的多项式用完全平方公式分解
\(= (x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4x + 4) = (x + 2)^2(x - 2)^2\)
幻灯片 12：如何选择合适的公式
判断方法：
先看多项式项数：二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。
再看各项特征：二项式是否为平方差形式，三项式是否为完全平方形式。
若有公因式，先提公因式再判断。
口诀：二项平方差，三项完全方；有公先提公，分解要彻底。
幻灯片 13：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）分解因式\(x^2 - 4 = (x - 2)^2\) (×)，改正：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)（混淆平方差与完全平方公式）
（2）分解因式\(a^2 + 2a + 1 = a(a + 2) + 1\) (×)，改正：\(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\)（未化成整式乘积形式）
（3）分解因式\(4x^2 - 8x + 4 = (2x - 2)^2\) (×)，改正：\(4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x - 1)^2\)（未先提公因式，分解不彻底）
（4）分解因式\(x^2 + x + 1\) (×)，该多项式不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解。
幻灯片 14：课堂练习
（1）分解因式\(25x^2 - 1\)
解：\(25x^2 - 1 = (5x)^2 - 1^2 = (5x + 1)(5x - 1)\)
（2）分解因式\(m^2 - 6m + 9\)
解：\(m^2 - 6m + 9 = m^2 - 2·m·3 + 3^2 = (m - 3)^2\)
（3）分解因式\(3a^3b - 12ab^3\)
解：\(3a^3b - 12ab^3 = 3ab(a^2 - 4b^2) = 3ab(a + 2b)(a - 2b)\)
（4）分解因式\((a + b)^2 - 6(a + b) + 9\)
解：把\((a + b)\)看作整体，\((a + b)^2 - 6(a + b) + 9 = (a + b - 3)^2\)
幻灯片 15：实际应用问题
问题：已知一个正方形的面积为\(x^2 + 8x + 16\)，求这个正方形的边长。
解：
正方形面积 = 边长的平方，对面积多项式分解因式
\(x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2·x·4 + 4^2 = (x + 4)^2\)
所以正方形的边长为\(x + 4\)
答：这个正方形的边长为\(x + 4\)。
幻灯片 16：课堂小结
平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)，适用于二项平方差形式的多项式。
完全平方公式：\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)，适用于三项完全平方形式的多项式。
分解步骤：有公因式先提公因式，再判断是否符合公式特征，选择合适公式分解，确保分解彻底。
关键要点：准确识别公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”，注意符号和系数的处理。
幻灯片 17：布置作业
教材第 105 页习题 A 组第 1，2，4 题。
思考题：分解因式\(x^4 - 8x^2 + 16\)（提示：先看作完全平方公式，再用平方差公式）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想；（重点）
2. 能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因 式分解．（难点）
想一想：如何将 x2－2x + 1 因式分解？
x2－2x + 1 = (x－1)2
如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用,那么就可以某些多项式分解因式.
概念梳理 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法.
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
用完全平方公式分解因式
1
a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方和
是第一项和第三项底数的积的±2 倍
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+ b2
±
= (a ± b)
a2
首2
+ 尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
3. a + 4ab + 4b = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( ) .
2. m - 6m + 9 = ( ) - 2·( )·( ) + ( ) = ( ) ；
1. x + 4x + 4 = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( ) ；
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab + b = (a±b) ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b 与 - 1 的符号不统一.
不是
分析：
不是
是
（4）中间项缺 2 倍.
例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( )
A . 36 B. 9 C. - 36 D. - 9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9.
变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_____.
解析：16 = (±4)2， - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
±8
典例精析
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
例2 分解因式：
（1）x2 + 14x + 49； （2）9a2 - 30ab + 25b2.
分析：(1)中，x2 = (x)2， 49 = 7 ，14x = 2·x·7，
所以 x2 + 14x + 9 是一个完全平方式，
即 16x2 + 24x + 9 = (x)2 + 2×x×7 + 72.
2
a
b
b2
a2
解： (1) x2 + 14x + 49
= (x + 7)2.
= x2 + 2·x·7 + 72
例2 分解因式：
（2）9a2 - 30ab + 25b2.
解： (1) 9a2 - 30ab + 25b2
= (3a 5b)2.
= (3a)2 - 2×3a×5b +(5b)2
分析:(2) 中，9a2 = (3a)2，25b2 =(5b) ，30ab = 2×3a×5b，
所以 9a2 - 30ab + 25b2 是一个完全平方式，
即 9a2 - 30ab + 25b2 = (3a)2 2×3a×5b + (5b)2.
1.利用完全平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
= 1.
= 2500.
练一练
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
是 a，b 两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
用平方差公式进行因式分解
2
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式.
（1）x2 + y2
（2）x2 - y2
（3） - x2 - y2
- ( x2 + y2 )
( y + x )( y - x )
（4） - x2 + y2
（5）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（6）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
( x + y )( x - y )
x2 - 92
例3 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解：(1)原式=
x
9
x
x
9
9
(2) 原式 = (6a)2 - (5b)2
(1) x2 - 81；
(2) 36a2 - 25b2.
= (6a + 5b)(6a - 5b).
= (x + 9)(x - 9)
分解因式：
(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续用提公因式法分解
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式进行因式分解.
2. 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值.
所以 x - y ＝ -2②.
解：因为 x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y) ＝ -2，
x＋y ＝ 1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
练一练
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
3. 计算下列各题：
(1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4.
解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
(2) 原式＝4×(53.52－46.52)
＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7 ＝ 2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
练一练
例4 把下列多项式分解因式：
（1）ab2 － ac2 ；
（2）3ax2 + 24axy + 48ay2 .
解：(1) ab2 － ac2
= a(b2 － c2)
= a(b + c)(b－ c)
（提取公因式）
（用平方差公式）
（2）3ax2 + 24axy + 48ay2
= 3a(x2 + 8xy + 16y2)
= 3a(x + 4y)2
（提取公因式）
（用完全平方公式）
例5 把下列多项式分解因式：
（1）16x4 － 81；
（2）x4 － 2x2 + 1 .
解：（1）16x4 － 81
= (4x2 + 9)(4x2 － 9)
= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－3)
（用平方差公式）
（用平方差公式）
（2）x4 － 2x2 + 1
= (x2 － 1)2
（用完全平方公式）
= [(x + 1)(x － 1)]2
（用平方差公式）
= (x + 1)2(x － 1)2
1. 把下列各式写成完全平方的形式.
(1) 0.81x2 = ( )2； (2) m2n4 = ( )2；
(3) y2-8y +16 =( )2； (4) x2 + x + = ( )2.
y - 4
mn2
0.9x
x +
方法归纳 对于凑完全平方式类的问题，需要注意观察两个平方项找出其中的 a 和 b对应的数或式子 .
2. 把下列各式分解因式.
(1) x2 + 2x + 1； (2) y2 - 4；
(3) 1 - 6y + 9y2； (4) 1 - 36n2；
(5) 9n2 + 64m2 - 48mn； (6) -16 + a2b2.
解：(1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2.
(2) y2 - 4 = (y+2)(y-2).
(3) 1 - 6y + 9y2 = (1 - 3y)2.
(4) 1-36n2 = (1 ＋ 6n)(1 - 6n).
(5) 9n2 + 64m2-48mn = (3n - 8m)2.
(6) -16 + a2b2 = (ab - 4) (ab + 4).
1. 把下列多项式分解因式：
（1）2x3－32x； （2）9a3b3－ab；
解（1）2x3－32x
= 2x(x2－16)
= 2x(x + 4)(x－4)
（2）9a3b3－ab
= ab(9a2b2－1)
= ab(3ab + 1)(3ab－1)
（3）mx2－8mx + 16m；
（3）mx2－8mx + 16m
= m(x2－8x + 16)
= m(x－4)2
（4）－x4 + 256； （5）－a + 2a2－a3；
（4）－x4 + 256
= (16)2 －(x2)2
= (16 + x2)(16－x2)
= (16 + x2)(4 + x)(4－x)
（6）81a4 －72a2b2 + 16b4 .
（5）－a + 2a2－a3
（6）81a4 －72a2b2 + 16b4
= －a(1－ 2a + a2)
= －a(1－ a)2
= (9a2)2 －72a2b2 + (4b2)2
= (9a2 －4b2)2
= [(3a + 2b)(3a －2b)]2
= (3a + 2b)2(3a －2b)2
1星题 基础练
运用完全平方公式进行因式分解
1.［知识初练］因为 ，所以多项式
可以因式分解为_________.
2.因式分解 正确的是( )
A
A. B.
C. D.
3.若多项式 能用完全平方公式进行因式分解，则
正整数 的值等于___.
9
4.在多项式：； ；
； 中，能用完全平方公式分解因
式的是______.(填序号)
5.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
运用平方差公式进行因式分解
6.［知识初练］因为，所以
可以因式分解为______________.
7. 课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪
马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？ ( )
用平方差公式分解下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
C
A.第(1)道题 B.第(2)道题 C.第(3)道题 D.第(4)道题
8.将 分解因式，结果正确的是( )
B
A. B.
C. D.
9.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
2星题 中档练
10.[2024·合肥期中] 将 分解因式，所得结果正
确的是( )
D
A. B.
C. D.
11. [2024·郑州期末] 数
学活动课上，同学们一起玩卡片
D
A.甲： B.乙：
C.丙： D.丁：
游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减
运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，
否则将被淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中
被淘汰的是 ( )
12. ［分类讨论思想］[2024·淄博中考] 若多项式
能用完全平方公式因式分解，则 的值是
_____.
13.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式
.
(2) .
解：原式 ．
3星题 提升练
14. ［运算能力］下面是某同学对多项式
进行因式分解的过程.
解：设 ，则
原式 (第一步)
(第二步)
(第三步)
.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___.
C
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________.(填“彻底”或
“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：
_________.
不彻底
(3)请你仿照以上方法尝试对多项式
进行因式分解.
解：设 ，则
.
公式法因式分解
公式
平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解.
完全平方公式：a2±2ab＋b2 = (a±b)2
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086