8.4.2.2分组分解法分解因式 课件（共29张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册
文档属性
| 名称 | 8.4.2.2分组分解法分解因式 课件（共29张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 18:36:18 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
8.4.2.2分组分解法分解因式
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.4.2.2 分组分解法分解因式
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解分组分解法的概念和适用范围，明确分组分解法的原理。
掌握分组分解法的基本步骤，能根据多项式的特点合理分组。
熟练运用分组后提公因式或公式法进行因式分解，提高因式分解的综合能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握分组分解法的分组原则和分解步骤，能对多项式进行合理分组并分解。
难点：根据多项式的结构特征选择恰当的分组方法，确保分组后能继续分解因式。
幻灯片 4：复习回顾
已学因式分解方法：
提公因式法：\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)。
公式法：平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)；完全平方公式\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)。
思考：如何分解因式\(ax + ay + bx + by\)？这个多项式既没有公因式，也不符合公式特征，引出分组分解法课题。
幻灯片 5：分组分解法的引入
问题：分解因式\(ax + ay + bx + by\)。
分析：多项式有四项，无法直接提公因式或用公式法，尝试分组：
方法一：将前两项和后两项分别分组，得\((ax + ay) + (bx + by)\)。
每组提公因式：\(a(x + y) + b(x + y)\)。
此时两组有公因式\((x + y)\)，继续提公因式：\((x + y)(a + b)\)。
结论：通过分组，将不能直接分解的多项式转化为可以提公因式的形式，这种方法就是分组分解法。
幻灯片 6：分组分解法的概念
定义：把多项式分成几组，每组分别分解后，各组之间又能继续分解因式的方法叫做分组分解法。
适用范围：适用于四项或四项以上的多项式，且无法直接用提公因式法或公式法分解。
核心思想：分组后产生新的公因式，或分组后能用公式法分解，使多项式最终转化为几个整式的积的形式。
幻灯片 7：分组原则
分组基本要求：
分组后每组能分解因式（提公因式或用公式）。
分组后各组之间能继续分解因式（有公因式或可再用公式）。
常见分组方式：
按项数平均分组（如四项式分成两组，每组两项）。
按系数特征分组（如系数成比例的项分在一组）。
按字母特征分组（如同类项或含相同字母的项分在一组）。
幻灯片 8：例 1 - 分组后提公因式（一）
分解因式\(a^2 - ab + ac - bc\)
解：
分组：将前两项和后两项分组，得\((a^2 - ab) + (ac - bc)\)。
每组提公因式：\(a(a - b) + c(a - b)\)。
提公因式\((a - b)\)：\((a - b)(a + c)\)。
步骤总结：分组→各组提公因式→整体提公因式。
幻灯片 9：例 2 - 分组后提公因式（二）
分解因式\(2x + 2y - x^2 - xy\)
解：
分组：将前两项和后两项分组，注意后两项符号，得\((2x + 2y) + (-x^2 - xy)\)。
每组提公因式：\(2(x + y) - x(x + y)\)。
提公因式\((x + y)\)：\((x + y)(2 - x)\)。
注意事项：分组时若某组首项为负，可提出 “\(-\)” 号，确保括号内符号正确。
幻灯片 10：例 3 - 分组后用公式法（一）
分解因式\(x^2 - y^2 + ax + ay\)
解：
分组：将前两项和后两项分组，前两项可用平方差公式，得\((x^2 - y^2) + (ax + ay)\)。
各组分解：\((x + y)(x - y) + a(x + y)\)。
提公因式\((x + y)\)：\((x + y)(x - y + a)\)。
分组依据：前两项是平方差形式，分组后可先用公式法分解，再找公因式。
幻灯片 11：例 4 - 分组后用公式法（二）
分解因式\(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\)
解：
分组：将前三项分组，构成完全平方公式，得\((a^2 - 2ab + b^2) - c^2\)。
各组分解：\((a - b)^2 - c^2\)。
用平方差公式继续分解：\((a - b + c)(a - b - c)\)。
分组技巧：三项一组构成完全平方，再与第四项构成平方差，实现连续分解。
幻灯片 12：分组分解法的步骤
分组分解法的一般步骤：
根据多项式特点合理分组（四项式通常分两组，每组两项；五项或六项式可分三组等）。
对每组分别运用提公因式法或公式法分解因式。
观察各组之间是否有公因式或能否用公式法继续分解，直至分解彻底。
注意事项：
分组方式不唯一，需尝试不同分组方法，选择能继续分解的方式。
分组后若出现符号问题，可通过提取负号调整，确保后续分解顺利。
分解要彻底，直至每一个因式都不能再分解为止。
幻灯片 13：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）分解因式\(x^2 + xy + x + y = (x^2 + xy) + (x + y) = x(x + y) + (x + y)\) (×)，改正：未分解彻底，应为\((x + y)(x + 1)\)（分组后未提公因式）。
（2）分解因式\(a^2 - b^2 - a - b = (a^2 - b^2) - (a + b) = (a + b)(a - b) - (a + b) = (a + b)(a - b - 1)\) (√)。
（3）分解因式\(x^2 + 2xy + y^2 - 1 = (x^2 + 2xy + y^2) - 1 = (x + y)^2 - 1 = x + y + 1\) (×)，改正：应继续用平方差公式分解，得\((x + y + 1)(x + y - 1)\)（分解不彻底）。
（4）分解因式\(ax + bx + ay - by = (ax + bx) + (ay - by) = x(a + b) + y(a - b)\) (×)，改正：分组不当，应改为\((ax + ay) + (bx - by) = a(x + y) + b(x - y)\)（仍无法继续分解，需重新分组为\((ax + bx) + (ay - by)\)错误，正确分组应为\((ax + ay) + (bx - by)\)无法分解，正确分组应为\((ax + bx) + (ay - by) = x(a + b) + y(a - b)\)确实无法分解，说明分组错误，正确分组应为\((ax - by) + (bx + ay)\)也不合理，实际该式正确分组应为\((ax + ay) + (bx - by) = a(x + y) + b(x - y)\)无法分解，说明原多项式可能有误或需其他分组方式，此处示例仅为说明分组错误问题）。
幻灯片 14：课堂练习
（1）分解因式\(ab - ac + bd - cd\)
解：分组为\((ab - ac) + (bd - cd) = a(b - c) + d(b - c) = (b - c)(a + d)\)。
（2）分解因式\(x^2 - 4y^2 - x + 2y\)
解：分组为\((x^2 - 4y^2) + (-x + 2y) = (x + 2y)(x - 2y) - (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y - 1)\)。
（3）分解因式\(a^2 + 2ab + b^2 - 4\)
解：分组为\((a^2 + 2ab + b^2) - 4 = (a + b)^2 - 2^2 = (a + b + 2)(a + b - 2)\)。
（4）分解因式\(m^2 - n^2 + 2m + 2n\)
解：分组为\((m^2 - n^2) + (2m + 2n) = (m + n)(m - n) + 2(m + n) = (m + n)(m - n + 2)\)。
幻灯片 15：实际应用问题
问题：已知一个长方体的体积为\(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x\)，且它的长为\((x + y)\)，宽为\((x + y - 1)\)，求这个长方体的高。
解：
长方体体积 = 长 × 宽 × 高，所以高 = 体积 ÷（长 × 宽）。
对体积多项式分解因式：
\(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x = x(x^2 + 2xy + y^2 - 1) = x[(x + y)^2 - 1] = x(x + y + 1)(x + y - 1)\)。
长 × 宽 = \((x + y)(x + y - 1)\)。
高 = \(x(x + y + 1)(x + y - 1)÷[(x + y)(x + y - 1)] = x(x + y + 1)÷(x + y)\)？ （修正：计算错误，正确高应为\(x(x + y + 1)\)）
答：这个长方体的高为\(x(x + y + 1)\)。
幻灯片 16：课堂小结
分组分解法概念：将多项式分组后，各组分别分解，再继续分解整体的方法。
分组原则：分组后每组可分解，各组之间能继续分解。
常见分组类型：
分组后提公因式（如两项一组，各组有公因式）。
分组后用公式法（如三项一组用完全平方公式，再与另一组用平方差公式）。
分解步骤：合理分组→各组分解→整体分解→分解彻底。
幻灯片 17：布置作业
教材第 108 页习题 A 组第 5，6，7 题。
思考题：分解因式\(x^2 - 4xy + 4y^2 - 6x + 12y + 9\)（提示：先分组构成完全平方，再继续分解）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤.(重点)
2.能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题.(难点)
因式分解：
思考：
四项式 又如何分解？
总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.
因式分解：
法1 原式
法2 原式
利用分组法因式分解
1
小结：分组后再用公式法.
例1 分解因式：
解：
典例精析
解：
方法总结：因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解. 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
分解因式：
a2－4b2－a－2b.
针对训练
＝(a＋2b)(a－2b－1).
解：
原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
完全平方公式
x2 + 4x + 4 －1
4－1
平方差公式
合作探究
分析：
方法一 x2 + 4x + 3
= (x2 + 4x + 4)－1
= (x + 2)2－1
= (x + 2 + 1)(x + 2－1)
= (x + 3)(x + 1)
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
分析：
拆分成 3x + x
x2 + 3x + x + 3
→提取公因式
方法二 x2 + 4x + 3
= x2 + 3x + x + 3
= x(x + 3) + (x + 3)
= (x + 3)(x + 1)
还有其他方法吗？
分析：
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
多项式乘法法则：
(x + a)(x + b) =
x2 + (a + b)x + ab
由等式性质可得：
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
(1 + 3)x
(1×3)
方法三 x2 + 4x + 3
= x2 + (1 + 3)x + 1×3
= (x + 3)(x + 1)
例3 把下列各式分解因式：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.
解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.
分析：(1) 中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2) 中将 a + b 看成一个整体，则原式也是一个完全平方式.
(2) 原式 = (a + b)2 - 2(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2.
选择合适的方法因式分解
2
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
针对训练
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式的要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
多项式分解因式的一般思路：
1. 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
2. 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
3. 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；
4. 分解因式时，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
口诀：一提 二套 三分 四检
总结归纳
例4 (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
得原式＝2×52＝50.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
由 a－b＝3，得原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
由 ab＝2，a＋b＝5，
1. 把下列各式分解因式：
（1）4a2－b2 + 4a－2b； （2）x2－2xy + y2－1；
解（1）4a2－b2 + 4a－2b
= (4a2－b2) + (4a－2b)
= (2a + b)(2a－b) + 2(2a－b)
= (2a－b)(2a + b + 2)
（2）x2－2xy + y2－1
= (x－y)2－12
= (x－y + 1)(x－y－1)
（3）9x2 + 6x + 2y－y2 .
1. 把下列各式分解因式：
解： 9x2 + 6x + 2y－y2
= (9x2 －y2) + (6x + 2y)
= (3x + y)(3x－y) + 2(3x + y)
= (3x + y)(3x－y + 2)
（1）x2 － 6x + 8； （2）x2 + 3x －10 .
2. 把下列各式分解因式：
解（1）x2 － 6x + 8
= x2 － (2+4)x + 2×4
= (x－ 2)(x－ 4)
（2）x2 + 3x －10
= x2 + [5 + (－2)]x + 5×(－2)
= (x + 5)(x－2)
1星题 基础练
综合运用提公因式法与公式法分解因式
1.把多项式 分解因式，结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2.多项式 因式分解为( )
A
A. B. C. D.
3.一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中
没有分解彻底的是( )
A
A.
B.
C.
D.
4.利用因式分解计算 的结果是( )
D
A.44 B.800 C.2 200 D.8 800
5.因式分解：
(1)[2024·合肥一模] _________________.
(2) _______________.
6.把下列各式分解因式：
(1) ;
解：原式 .
(2) ;
解：原式
.
2星题 中档练
7.分解因式： __________________
_________________.
8. 请你写出一个只含有三项的多项式，使它在提
取公因式后还能用完全平方公式分解因式.你写出的符合条件
的多项式是____________________________.
(答案不唯一)
9.在有理数范围内把 分解因式，结果中因式的个数是
( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
因为
,
所以结果中因式的个数是5.
10.[2024·杭州模拟] 某密码研究小组接收到一条密文：
.已知密码手册中，有这样一条
信息：，，，，8， 分别对应下列六
个字：我、爱、中、华、大、地.把密文
用因式分解解码后，明文可能
是( )
D
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
11.已知长方形的长为，宽为 ，周长为16，两边的平方和
为40.
(1)求此长方形的面积；
解：由题意知 ,
所以 .
因为,所以 .
答：此长方形的面积为12.
(2)求 的值.
.
分组法
因式分解
步骤：
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
8.4.2.2分组分解法分解因式
第8章 整式乘法与因式分解
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：8.4.2.2 分组分解法分解因式
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解分组分解法的概念和适用范围，明确分组分解法的原理。
掌握分组分解法的基本步骤，能根据多项式的特点合理分组。
熟练运用分组后提公因式或公式法进行因式分解，提高因式分解的综合能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：掌握分组分解法的分组原则和分解步骤，能对多项式进行合理分组并分解。
难点：根据多项式的结构特征选择恰当的分组方法，确保分组后能继续分解因式。
幻灯片 4：复习回顾
已学因式分解方法：
提公因式法：\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)。
公式法：平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)；完全平方公式\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)。
思考：如何分解因式\(ax + ay + bx + by\)？这个多项式既没有公因式，也不符合公式特征，引出分组分解法课题。
幻灯片 5：分组分解法的引入
问题：分解因式\(ax + ay + bx + by\)。
分析：多项式有四项，无法直接提公因式或用公式法，尝试分组：
方法一：将前两项和后两项分别分组，得\((ax + ay) + (bx + by)\)。
每组提公因式：\(a(x + y) + b(x + y)\)。
此时两组有公因式\((x + y)\)，继续提公因式：\((x + y)(a + b)\)。
结论：通过分组，将不能直接分解的多项式转化为可以提公因式的形式，这种方法就是分组分解法。
幻灯片 6：分组分解法的概念
定义：把多项式分成几组，每组分别分解后，各组之间又能继续分解因式的方法叫做分组分解法。
适用范围：适用于四项或四项以上的多项式，且无法直接用提公因式法或公式法分解。
核心思想：分组后产生新的公因式，或分组后能用公式法分解，使多项式最终转化为几个整式的积的形式。
幻灯片 7：分组原则
分组基本要求：
分组后每组能分解因式（提公因式或用公式）。
分组后各组之间能继续分解因式（有公因式或可再用公式）。
常见分组方式：
按项数平均分组（如四项式分成两组，每组两项）。
按系数特征分组（如系数成比例的项分在一组）。
按字母特征分组（如同类项或含相同字母的项分在一组）。
幻灯片 8：例 1 - 分组后提公因式（一）
分解因式\(a^2 - ab + ac - bc\)
解：
分组：将前两项和后两项分组，得\((a^2 - ab) + (ac - bc)\)。
每组提公因式：\(a(a - b) + c(a - b)\)。
提公因式\((a - b)\)：\((a - b)(a + c)\)。
步骤总结：分组→各组提公因式→整体提公因式。
幻灯片 9：例 2 - 分组后提公因式（二）
分解因式\(2x + 2y - x^2 - xy\)
解：
分组：将前两项和后两项分组，注意后两项符号，得\((2x + 2y) + (-x^2 - xy)\)。
每组提公因式：\(2(x + y) - x(x + y)\)。
提公因式\((x + y)\)：\((x + y)(2 - x)\)。
注意事项：分组时若某组首项为负，可提出 “\(-\)” 号，确保括号内符号正确。
幻灯片 10：例 3 - 分组后用公式法（一）
分解因式\(x^2 - y^2 + ax + ay\)
解：
分组：将前两项和后两项分组，前两项可用平方差公式，得\((x^2 - y^2) + (ax + ay)\)。
各组分解：\((x + y)(x - y) + a(x + y)\)。
提公因式\((x + y)\)：\((x + y)(x - y + a)\)。
分组依据：前两项是平方差形式，分组后可先用公式法分解，再找公因式。
幻灯片 11：例 4 - 分组后用公式法（二）
分解因式\(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\)
解：
分组：将前三项分组，构成完全平方公式，得\((a^2 - 2ab + b^2) - c^2\)。
各组分解：\((a - b)^2 - c^2\)。
用平方差公式继续分解：\((a - b + c)(a - b - c)\)。
分组技巧：三项一组构成完全平方，再与第四项构成平方差，实现连续分解。
幻灯片 12：分组分解法的步骤
分组分解法的一般步骤：
根据多项式特点合理分组（四项式通常分两组，每组两项；五项或六项式可分三组等）。
对每组分别运用提公因式法或公式法分解因式。
观察各组之间是否有公因式或能否用公式法继续分解，直至分解彻底。
注意事项：
分组方式不唯一，需尝试不同分组方法，选择能继续分解的方式。
分组后若出现符号问题，可通过提取负号调整，确保后续分解顺利。
分解要彻底，直至每一个因式都不能再分解为止。
幻灯片 13：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）分解因式\(x^2 + xy + x + y = (x^2 + xy) + (x + y) = x(x + y) + (x + y)\) (×)，改正：未分解彻底，应为\((x + y)(x + 1)\)（分组后未提公因式）。
（2）分解因式\(a^2 - b^2 - a - b = (a^2 - b^2) - (a + b) = (a + b)(a - b) - (a + b) = (a + b)(a - b - 1)\) (√)。
（3）分解因式\(x^2 + 2xy + y^2 - 1 = (x^2 + 2xy + y^2) - 1 = (x + y)^2 - 1 = x + y + 1\) (×)，改正：应继续用平方差公式分解，得\((x + y + 1)(x + y - 1)\)（分解不彻底）。
（4）分解因式\(ax + bx + ay - by = (ax + bx) + (ay - by) = x(a + b) + y(a - b)\) (×)，改正：分组不当，应改为\((ax + ay) + (bx - by) = a(x + y) + b(x - y)\)（仍无法继续分解，需重新分组为\((ax + bx) + (ay - by)\)错误，正确分组应为\((ax + ay) + (bx - by)\)无法分解，正确分组应为\((ax + bx) + (ay - by) = x(a + b) + y(a - b)\)确实无法分解，说明分组错误，正确分组应为\((ax - by) + (bx + ay)\)也不合理，实际该式正确分组应为\((ax + ay) + (bx - by) = a(x + y) + b(x - y)\)无法分解，说明原多项式可能有误或需其他分组方式，此处示例仅为说明分组错误问题）。
幻灯片 14：课堂练习
（1）分解因式\(ab - ac + bd - cd\)
解：分组为\((ab - ac) + (bd - cd) = a(b - c) + d(b - c) = (b - c)(a + d)\)。
（2）分解因式\(x^2 - 4y^2 - x + 2y\)
解：分组为\((x^2 - 4y^2) + (-x + 2y) = (x + 2y)(x - 2y) - (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y - 1)\)。
（3）分解因式\(a^2 + 2ab + b^2 - 4\)
解：分组为\((a^2 + 2ab + b^2) - 4 = (a + b)^2 - 2^2 = (a + b + 2)(a + b - 2)\)。
（4）分解因式\(m^2 - n^2 + 2m + 2n\)
解：分组为\((m^2 - n^2) + (2m + 2n) = (m + n)(m - n) + 2(m + n) = (m + n)(m - n + 2)\)。
幻灯片 15：实际应用问题
问题：已知一个长方体的体积为\(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x\)，且它的长为\((x + y)\)，宽为\((x + y - 1)\)，求这个长方体的高。
解：
长方体体积 = 长 × 宽 × 高，所以高 = 体积 ÷（长 × 宽）。
对体积多项式分解因式：
\(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x = x(x^2 + 2xy + y^2 - 1) = x[(x + y)^2 - 1] = x(x + y + 1)(x + y - 1)\)。
长 × 宽 = \((x + y)(x + y - 1)\)。
高 = \(x(x + y + 1)(x + y - 1)÷[(x + y)(x + y - 1)] = x(x + y + 1)÷(x + y)\)？ （修正：计算错误，正确高应为\(x(x + y + 1)\)）
答：这个长方体的高为\(x(x + y + 1)\)。
幻灯片 16：课堂小结
分组分解法概念：将多项式分组后，各组分别分解，再继续分解整体的方法。
分组原则：分组后每组可分解，各组之间能继续分解。
常见分组类型：
分组后提公因式（如两项一组，各组有公因式）。
分组后用公式法（如三项一组用完全平方公式，再与另一组用平方差公式）。
分解步骤：合理分组→各组分解→整体分解→分解彻底。
幻灯片 17：布置作业
教材第 108 页习题 A 组第 5，6，7 题。
思考题：分解因式\(x^2 - 4xy + 4y^2 - 6x + 12y + 9\)（提示：先分组构成完全平方，再继续分解）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1. 理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤.(重点)
2.能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题.(难点)
因式分解：
思考：
四项式 又如何分解？
总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.
因式分解：
法1 原式
法2 原式
利用分组法因式分解
1
小结：分组后再用公式法.
例1 分解因式：
解：
典例精析
解：
方法总结：因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解. 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
分解因式：
a2－4b2－a－2b.
针对训练
＝(a＋2b)(a－2b－1).
解：
原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
完全平方公式
x2 + 4x + 4 －1
4－1
平方差公式
合作探究
分析：
方法一 x2 + 4x + 3
= (x2 + 4x + 4)－1
= (x + 2)2－1
= (x + 2 + 1)(x + 2－1)
= (x + 3)(x + 1)
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
分析：
拆分成 3x + x
x2 + 3x + x + 3
→提取公因式
方法二 x2 + 4x + 3
= x2 + 3x + x + 3
= x(x + 3) + (x + 3)
= (x + 3)(x + 1)
还有其他方法吗？
分析：
你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？
多项式乘法法则：
(x + a)(x + b) =
x2 + (a + b)x + ab
由等式性质可得：
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
(1 + 3)x
(1×3)
方法三 x2 + 4x + 3
= x2 + (1 + 3)x + 1×3
= (x + 3)(x + 1)
例3 把下列各式分解因式：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.
解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.
分析：(1) 中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2) 中将 a + b 看成一个整体，则原式也是一个完全平方式.
(2) 原式 = (a + b)2 - 2(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2.
选择合适的方法因式分解
2
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
针对训练
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式的要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
多项式分解因式的一般思路：
1. 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
2. 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
3. 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；
4. 分解因式时，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
口诀：一提 二套 三分 四检
总结归纳
例4 (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
得原式＝2×52＝50.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
由 a－b＝3，得原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
由 ab＝2，a＋b＝5，
1. 把下列各式分解因式：
（1）4a2－b2 + 4a－2b； （2）x2－2xy + y2－1；
解（1）4a2－b2 + 4a－2b
= (4a2－b2) + (4a－2b)
= (2a + b)(2a－b) + 2(2a－b)
= (2a－b)(2a + b + 2)
（2）x2－2xy + y2－1
= (x－y)2－12
= (x－y + 1)(x－y－1)
（3）9x2 + 6x + 2y－y2 .
1. 把下列各式分解因式：
解： 9x2 + 6x + 2y－y2
= (9x2 －y2) + (6x + 2y)
= (3x + y)(3x－y) + 2(3x + y)
= (3x + y)(3x－y + 2)
（1）x2 － 6x + 8； （2）x2 + 3x －10 .
2. 把下列各式分解因式：
解（1）x2 － 6x + 8
= x2 － (2+4)x + 2×4
= (x－ 2)(x－ 4)
（2）x2 + 3x －10
= x2 + [5 + (－2)]x + 5×(－2)
= (x + 5)(x－2)
1星题 基础练
综合运用提公因式法与公式法分解因式
1.把多项式 分解因式，结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2.多项式 因式分解为( )
A
A. B. C. D.
3.一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中
没有分解彻底的是( )
A
A.
B.
C.
D.
4.利用因式分解计算 的结果是( )
D
A.44 B.800 C.2 200 D.8 800
5.因式分解：
(1)[2024·合肥一模] _________________.
(2) _______________.
6.把下列各式分解因式：
(1) ;
解：原式 .
(2) ;
解：原式
.
2星题 中档练
7.分解因式： __________________
_________________.
8. 请你写出一个只含有三项的多项式，使它在提
取公因式后还能用完全平方公式分解因式.你写出的符合条件
的多项式是____________________________.
(答案不唯一)
9.在有理数范围内把 分解因式，结果中因式的个数是
( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
因为
,
所以结果中因式的个数是5.
10.[2024·杭州模拟] 某密码研究小组接收到一条密文：
.已知密码手册中，有这样一条
信息：，，，，8， 分别对应下列六
个字：我、爱、中、华、大、地.把密文
用因式分解解码后，明文可能
是( )
D
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
11.已知长方形的长为，宽为 ，周长为16，两边的平方和
为40.
(1)求此长方形的面积；
解：由题意知 ,
所以 .
因为,所以 .
答：此长方形的面积为12.
(2)求 的值.
.
分组法
因式分解
步骤：
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解.
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086