9.3.1分式方程及其解法 课件（共41张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册
文档属性
| 名称 | 9.3.1分式方程及其解法 课件（共41张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 18:51:27 | ||
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文档简介
(共41张PPT)
9.3.1分式方程及其解法
第9章 分式
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：分式方程及其解法
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解分式方程的概念，能区分整式方程与分式方程。
掌握分式方程的解法，学会通过去分母将分式方程转化为整式方程求解。
理解验根的必要性，能正确检验分式方程的解。
培养转化思想和严谨的解题习惯，提高方程求解能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：分式方程的解法（去分母转化为整式方程），验根的方法。
难点：理解去分母时最简公分母的选择，以及验根的必要性（避免增根）。
幻灯片 4：复习回顾
整式方程：分母中不含未知数的方程，如\(2x + 3 = 5\)，\(x^2 - 2x - 3 = 0\)等。
分式的基本性质：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}\)（\(B≠0\)，\(C≠0\)）。
最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母。
小问题：下列方程中，哪些是整式方程？\(3x + 1 = 0\)，\(\frac{1}{x} = 2\)，\(x^2 + 2x = 5\)。（答案：\(3x + 1 = 0\)，\(x^2 + 2x = 5\)是整式方程）思考：\(\frac{1}{x} = 2\)与整式方程有何不同？
幻灯片 5：情境导入
问题 1：一艘轮船在静水中的速度为\(20\)千米 / 时，水流速度为\(x\)千米 / 时，轮船顺流航行\(100\)千米所用时间与逆流航行\(60\)千米所用时间相等，求水流速度\(x\)。
顺流速度 = \(20 + x\)千米 / 时，顺流时间 = \(\frac{100}{20 + x}\)小时。
逆流速度 = \(20 - x\)千米 / 时，逆流时间 = \(\frac{60}{20 - x}\)小时。
等量关系：\(\frac{100}{20 + x} = \frac{60}{20 - x}\)。
问题 2：某校学生到距离学校\(15\)千米的郊外春游，一部分学生骑自行车先走，\(40\)分钟后，其余学生乘汽车出发，结果同时到达。已知汽车速度是自行车速度的\(3\)倍，求自行车的速度。
设自行车速度为\(x\)千米 / 时，汽车速度为\(3x\)千米 / 时。
自行车时间 = \(\frac{15}{x}\)小时，汽车时间 = \(\frac{15}{3x}\)小时。
等量关系：\(\frac{15}{x} - \frac{40}{60} = \frac{15}{3x}\)。
观察上述问题中的方程\(\frac{100}{20 + x} = \frac{60}{20 - x}\)和\(\frac{15}{x} - \frac{2}{3} = \frac{5}{x}\)，它们有什么共同特点？引出分式方程的概念。
幻灯片 6：分式方程的概念
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
关键词解析：
方程的分母中必须含有未知数（区别于整式方程）。
分式方程是方程的一种特殊形式，包含分式和等号。
示例：
分式方程：\(\frac{1}{x} = 3\)，\(\frac{x}{x - 2} = \frac{3}{2}\)，\(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x} = 1\)。
非分式方程（整式方程）：\(2x + 1 = 5\)，\(\frac{x}{2} = 3\)（分母不含未知数）。
小练习：判断下列方程是否为分式方程：
（1）\(\frac{x + 1}{2} = 3\)（否，分母不含未知数）
（2）\(\frac{2}{x - 1} = 5\)（是）
（3）\(x + \frac{1}{x} = 2\)（是）
（4）\(\frac{x^2 - 1}{3} = x\)（否）
幻灯片 7：分式方程的解法思路
核心思想：转化思想，将分式方程转化为整式方程求解。
转化方法：去分母，即在方程两边同时乘各分式的最简公分母，消除分母，化为整式方程。
步骤框架：
确定最简公分母。
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。
解整式方程。
验根（关键步骤，避免增根）。
写出原方程的解。
幻灯片 8：例 1 - 简单分式方程的解法
解方程：\(\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 3}\)
解：
步骤 1：确定最简公分母
分母为\(x\)和\(x + 3\)，最简公分母是\(x(x + 3)\)。
步骤 2：去分母，化为整式方程
方程两边同乘\(x(x + 3)\)，得\(x + 3 = 2x\)（注意：每一项都要乘公分母）。
步骤 3：解整式方程
移项得\(2x - x = 3\)，解得\(x = 3\)。
步骤 4：验根
将\(x = 3\)代入最简公分母\(x(x + 3) = 3×6 = 18≠0\)，分母不为零。
代入原方程左边：\(\frac{1}{3}\)，右边：\(\frac{2}{3 + 3} = \frac{1}{3}\)，左边 = 右边，所以\(x = 3\)是原方程的解。
步骤 5：结论：原方程的解为\(x = 3\)。
幻灯片 9：例 2 - 含多项的分式方程解法
解方程：\(\frac{x}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} = 1\)
解：
步骤 1：确定最简公分母
分母为\(x - 2\)和\(x + 2\)，最简公分母是\((x - 2)(x + 2)\)。
步骤 2：去分母
方程两边同乘\((x - 2)(x + 2)\)，得\(x(x + 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 2)\)。
步骤 3：解整式方程
展开：\(x^2 + 2x + 3x - 6 = x^2 - 4\)
合并同类项：\(x^2 + 5x - 6 = x^2 - 4\)
移项化简：\(5x = 2\)，解得\(x = \frac{2}{5}\)。
步骤 4：验根
代入公分母：\((\frac{2}{5} - 2)(\frac{2}{5} + 2) = (-\frac{8}{5})(\frac{12}{5})≠0\)。
代入原方程左边：\(\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} - 2} + \frac{3}{\frac{2}{5} + 2} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{8}{5}} + \frac{3}{\frac{12}{5}} = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4} = 1\)，等于右边，所以\(x = \frac{2}{5}\)是原方程的解。
结论：原方程的解为\(x = \frac{2}{5}\)。
幻灯片 10：增根的概念及验根的必要性
增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程中，可能产生的不适合原分式方程的根，叫做分式方程的增根。
增根产生的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母为零，导致整式方程的解使原分式方程的分母为零，分式无意义。
验根的方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为零，则是原方程的解；若公分母为零，则是增根，原方程无解。
（可选）代入原方程检验左右两边是否相等。
示例：解方程\(\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x^2 - 4}\)
最简公分母是\((x + 2)(x - 2)\)，去分母得\(x + 2 = 3\)，解得\(x = 1\)。
验根：代入公分母得\((1 + 2)(1 - 2) = -3≠0\)，所以\(x = 1\)是原方程的解。
若解得\(x = 2\)，代入公分母得\(0\)，则\(x = 2\)是增根，原方程无解。
幻灯片 11：例 3 - 含增根的分式方程解法
解方程：\(\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}\)
解：
步骤 1：最简公分母是\((x - 1)(x + 2)\)。
步骤 2：去分母，得\(x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3\)。
步骤 3：展开化简：
\(x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3\)
\(x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3\)
\(x + 2 = 3\)，解得\(x = 1\)。
步骤 4：验根：
代入公分母\((1 - 1)(1 + 2) = 0\)，所以\(x = 1\)是增根。
结论：原方程无解。
幻灯片 12：分式方程解法的注意事项
去分母时，方程两边的每一项都要乘最简公分母，包括常数项，避免漏乘，如方程\(\frac{1}{x} = 2 + \frac{3}{x}\)去分母时，常数项\(2\)需乘\(x\)，得\(1 = 2x + 3\)。
分子是多项式时，去分母后要加括号，防止符号错误，如\(\frac{x - 1}{x} = 2\)去分母得\(x - 1 = 2x\)（而非\(x - 1 = 2x\)漏括号，但此例正确，再如\(\frac{x + 1}{x - 2} = 3\)去分母得\(x + 1 = 3(x - 2)\)）。
验根是必不可少的步骤，无论解是否看起来正确，都必须检验是否为增根。
求出整式方程的解后，若为增根，需明确说明原方程无解，不能将增根作为原方程的解。
幻灯片 13：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）解方程\(\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x}\)时，去分母得\(x = 2(x - 1)\)，解得\(x = 2\)，验根后\(x = 2\)是原方程的解 (√)。
（2）解方程\(\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{3}{x - 3}\)时，去分母得\(x = 2 + 3\)，解得\(x = 5\) (×)，改正：去分母得\(x = 2(x - 3) + 3\)，解得\(x = 3\)，验根后\(x = 3\)是增根，原方程无解（漏乘常数项\(2\)）。
（3）分式方程\(\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 1}\)的解是\(x = 2\)，无需验根 (×)，改正：必须验根，验根后确认\(x = 2\)是原方程的解（忽略验根必要性）。
（4）解方程\(\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2\)时，化简得\(x + 1 = 2\)，解得\(x = 1\)，所以原方程的解是\(x = 1\) (×)，改正：\(x = 1\)使原方程分母为零，是增根，原方程无解（化简后未验根）。
幻灯片 14：课堂练习
（1）解方程\(\frac{3}{x} = \frac{1}{x - 2}\)
解：最简公分母\(x(x - 2)\)，去分母得\(3(x - 2) = x\)，解得\(x = 3\)，验根后\(x = 3\)是原方程的解。
（2）解方程\(\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^2 - 1}\)
解：最简公分母\((x + 1)(x - 1)\)，去分母得\(2(x - 1) + 3(x + 1) = 6\)，解得\(x = 1\)，验根后\(x = 1\)是增根，原方程无解。
（3）解方程\(\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}\)
解：化为\(\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = -\frac{3}{x - 2}\)，去分母得\(x - 3 + x - 2 = -3\)，解得\(x = 1\)，验根后\(x = 1\)是原方程的解。
幻灯片 15：实际应用问题解答示例
问题：某车间加工\(1200\)个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的\(1.5\)倍，这样加工同样多的零件就少用了\(10\)小时。求该车间原来每小时加工多少个零件？
解：
设原来每小时加工\(x\)个零件，新工艺每小时加工\(1.5x\)个零件。
原来加工时间 = \(\frac{1200}{x}\)小时，新工艺加工时间 = \(\frac{1200}{1.5x}\)小时。
等量关系：原来时间 - 新工艺时间 = \(10\)，即\(\frac{1200}{x} - \frac{1200}{1.5x} = 10\)。
解方程：
最简公分母\(1.5x\)，去分母得\(1200×1.5 - 1200 = 10×1.5x\)
\(1800 - 1200 = 15x\)
\(600 = 15x\)，解得\(x = 40\)。
验根：\(x = 40\)时，\(1.5x = 60≠0\)，分母不为零。
答：该车间原来每小时加工\(40\)个零件。
幻灯片 16：课堂小结
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程。
解法步骤：
确定最简公分母。
去分母化为整式方程。
解整式方程。
验根（代入最简公分母，不为零则为解，否则为增根）。
关键要点：去分母时每一项都要乘公分母，分子多项式加括号，验根必不可少，增根需舍去并说明方程无解。
幻灯片 17：布置作业
教材第 152 页习题 A 组第 1，2，3 题。
思考题：当\(k\)为何值时，方程\(\frac{x}{x - 1} + \frac{k}{x - 1} = 2\)会产生增根？
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次
方程有什么区别？
.
定义：
像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的概念
知识要点
1
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数，不是未知数).
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
去分母
在方程两边同时乘以一个合适的式子
最简公分母
分式的基本性质
方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x)
解：方程两边同时乘以 (30 + x)(30 - x)，得
检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 6 是原分式方程的解.
90(30 - x) = 60(30 + x)，
解得 x = 6.
x = 6 是原分式方程的解吗？
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳
下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边同时乘以最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得
x + 5 = 10，
解得 x = 5.
x = 5 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 5 代入原方程中，分母 x - 5 和 x2 - 25的值都为 0，相应的分式无意义.
因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同时乘以不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘以(30+x)(30-x)
当x=6时，(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式两边同时乘以等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 5 = 10
两边同乘以(x + 5)(x - 5)
当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2. 解这个整式方程；
3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；
4. 写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”
“去分母法”解分式方程的步骤
要点归纳
例1 解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母 x(x - 2)，得
解这个一元一次方程，得 x = -3.
检验：把 x = -3 代入 x(x - 2)，得 x(x - 2) ≠ 0.
因此 x = -3 是原方程的解.
典例精析
解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3)(x - 3)，得
展开，得
解方程，得
所以，原方程的根是 x = 21.
例1 解方程：
(x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3)= -x(x + 3).
x2 - 4x + 3 - 2x2 + 18 = -x2 - 3x.
x = 21.
检验：当 x = 21 时，(x + 3)(x - 3)≠0.
典例精析
解：两边都乘以最简公分母 (x + 2)(x - 2)，得
x + 2 = 4.
解得 x = 2.
检验：把 x = 2 代入 (x + 2)(x - 2)，得 (x + 2)(x - 2) = 0.
因此 x = 2 不是原分式方程的解，原方程无解.
提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
该分式
方程无解
当 x = a 时
最简公分母是
否为零？
否
是
例2 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是_______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
因为关于 x 的方程 的解是正数，
所以 x＞0 且 x≠1.
所以 -a -1＞0 且 -a -1≠1，
解得 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2
例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值．
分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．
方法总结：先求出方程的解 (用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为 0.
解：方程两边都乘以 (x＋2)(x－2) 得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.
① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；
② 方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2，
当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10，得
(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当 x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得
(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6.
所以 m 的值是 1或－4 或 6.
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
方法归纳
1.解方程.
(1)
(2) 1－
解：(1)去分母，得
5(x－2) = 3x
解得
x = 5
经检验，
x = 5 是原方程的根.
(2) 去分母，得
x－4－1 = 3－x
解得
x = 4
经检验，x = 4 是原方程的增根，
因而原方程无解.
2. 防汛期间，县指挥部组织人力到 30 km 远的堤上抢修堤坝，2 人骑摩托车先走，15 min 后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达. 已知汽车速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度.
解：设摩托车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 1.5x km/h.
解得 x = 40
汽车速度：1.5×40 = 60 km/h.
答：摩托车速度为 40 km/h，汽车速度为 60 km/h.
核心必知
1.分母中含有________的方程叫作分式方程.
2.解分式方程时，由于去分母时将方程两边同时乘以最简公
分母，该最简公分母的值可能为____，因此解分式方程一定
要______.验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的
值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的
根即为增根，应舍去.
未知数
零
验根
1星题 基础练
分式方程的定义
1.［知识初练］因为方程 中含有分式，且分母
中含有________，所以这个方程____(填“是”或“不是”)分式
方程.
未知数
是
2.[2024·宿州月考] 下列关于的方程： ；
；； ，其中是分式方程的
为______.(填序号)
解分式方程
3. 如图所示，点点总结了“解可化为一元一
次方程的分式方程”的运算流程，那么和 分别代表的是
( )
C
A.分式的基本性质，最简公分母
B.分式的基本性质，最简公分母
C.等式的基本性质2，最简公分母
D.等式的基本性质2，最简公分母
4.[2024·安庆期末] 解方程，两边同乘以
后得到的式子为( )
B
A. B.
C. D.
5.[2024·无锡中考] 分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
【变式题】 已知代数式和的值相等，则 的值为__.
6.解方程：
(1) ；
解：去分母，得，解得 ，
检验：当时， ，
所以 是原方程的根．
(2) .
解：方程两边都乘以 ，得
．
去括号，得，解得 ．
经检验， 是原方程的根．
分式方程的增根
7.若关于的分式方程 有增根，则这个增根为
______.
8.[2024·六安月考] 若关于的分式方程 有增根，
则 的值为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
2星题 中档练
9.定义运算“”：若，则 的
值为( )
B
A. B.或10 C.10 D.或
10.[2024·遂宁中考] 分式方程 的解为正数，则
的取值范围是( )
B
A. B.且
C. D.且
11.[2024·重庆中考B卷] 若关于 的一元一次不等式组
的解集为，且关于 的分式方程
的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的
值之和是____.
12
12.已知关于的分式方程 .
(1)若方程的增根为，则 的值是____；
(2)若方程有增根，则 的值是_________；
(3)若方程无解，则 的值是______________.
或
或或1.5
13.解方程： .
解：去分母，得 ,
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
检验：当时， ，分式无意义，
所以原方程无解.
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分
母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
9.3.1分式方程及其解法
第9章 分式
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：分式方程及其解法
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解分式方程的概念，能区分整式方程与分式方程。
掌握分式方程的解法，学会通过去分母将分式方程转化为整式方程求解。
理解验根的必要性，能正确检验分式方程的解。
培养转化思想和严谨的解题习惯，提高方程求解能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：分式方程的解法（去分母转化为整式方程），验根的方法。
难点：理解去分母时最简公分母的选择，以及验根的必要性（避免增根）。
幻灯片 4：复习回顾
整式方程：分母中不含未知数的方程，如\(2x + 3 = 5\)，\(x^2 - 2x - 3 = 0\)等。
分式的基本性质：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}\)（\(B≠0\)，\(C≠0\)）。
最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母。
小问题：下列方程中，哪些是整式方程？\(3x + 1 = 0\)，\(\frac{1}{x} = 2\)，\(x^2 + 2x = 5\)。（答案：\(3x + 1 = 0\)，\(x^2 + 2x = 5\)是整式方程）思考：\(\frac{1}{x} = 2\)与整式方程有何不同？
幻灯片 5：情境导入
问题 1：一艘轮船在静水中的速度为\(20\)千米 / 时，水流速度为\(x\)千米 / 时，轮船顺流航行\(100\)千米所用时间与逆流航行\(60\)千米所用时间相等，求水流速度\(x\)。
顺流速度 = \(20 + x\)千米 / 时，顺流时间 = \(\frac{100}{20 + x}\)小时。
逆流速度 = \(20 - x\)千米 / 时，逆流时间 = \(\frac{60}{20 - x}\)小时。
等量关系：\(\frac{100}{20 + x} = \frac{60}{20 - x}\)。
问题 2：某校学生到距离学校\(15\)千米的郊外春游，一部分学生骑自行车先走，\(40\)分钟后，其余学生乘汽车出发，结果同时到达。已知汽车速度是自行车速度的\(3\)倍，求自行车的速度。
设自行车速度为\(x\)千米 / 时，汽车速度为\(3x\)千米 / 时。
自行车时间 = \(\frac{15}{x}\)小时，汽车时间 = \(\frac{15}{3x}\)小时。
等量关系：\(\frac{15}{x} - \frac{40}{60} = \frac{15}{3x}\)。
观察上述问题中的方程\(\frac{100}{20 + x} = \frac{60}{20 - x}\)和\(\frac{15}{x} - \frac{2}{3} = \frac{5}{x}\)，它们有什么共同特点？引出分式方程的概念。
幻灯片 6：分式方程的概念
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
关键词解析：
方程的分母中必须含有未知数（区别于整式方程）。
分式方程是方程的一种特殊形式，包含分式和等号。
示例：
分式方程：\(\frac{1}{x} = 3\)，\(\frac{x}{x - 2} = \frac{3}{2}\)，\(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x} = 1\)。
非分式方程（整式方程）：\(2x + 1 = 5\)，\(\frac{x}{2} = 3\)（分母不含未知数）。
小练习：判断下列方程是否为分式方程：
（1）\(\frac{x + 1}{2} = 3\)（否，分母不含未知数）
（2）\(\frac{2}{x - 1} = 5\)（是）
（3）\(x + \frac{1}{x} = 2\)（是）
（4）\(\frac{x^2 - 1}{3} = x\)（否）
幻灯片 7：分式方程的解法思路
核心思想：转化思想，将分式方程转化为整式方程求解。
转化方法：去分母，即在方程两边同时乘各分式的最简公分母，消除分母，化为整式方程。
步骤框架：
确定最简公分母。
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。
解整式方程。
验根（关键步骤，避免增根）。
写出原方程的解。
幻灯片 8：例 1 - 简单分式方程的解法
解方程：\(\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 3}\)
解：
步骤 1：确定最简公分母
分母为\(x\)和\(x + 3\)，最简公分母是\(x(x + 3)\)。
步骤 2：去分母，化为整式方程
方程两边同乘\(x(x + 3)\)，得\(x + 3 = 2x\)（注意：每一项都要乘公分母）。
步骤 3：解整式方程
移项得\(2x - x = 3\)，解得\(x = 3\)。
步骤 4：验根
将\(x = 3\)代入最简公分母\(x(x + 3) = 3×6 = 18≠0\)，分母不为零。
代入原方程左边：\(\frac{1}{3}\)，右边：\(\frac{2}{3 + 3} = \frac{1}{3}\)，左边 = 右边，所以\(x = 3\)是原方程的解。
步骤 5：结论：原方程的解为\(x = 3\)。
幻灯片 9：例 2 - 含多项的分式方程解法
解方程：\(\frac{x}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} = 1\)
解：
步骤 1：确定最简公分母
分母为\(x - 2\)和\(x + 2\)，最简公分母是\((x - 2)(x + 2)\)。
步骤 2：去分母
方程两边同乘\((x - 2)(x + 2)\)，得\(x(x + 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 2)\)。
步骤 3：解整式方程
展开：\(x^2 + 2x + 3x - 6 = x^2 - 4\)
合并同类项：\(x^2 + 5x - 6 = x^2 - 4\)
移项化简：\(5x = 2\)，解得\(x = \frac{2}{5}\)。
步骤 4：验根
代入公分母：\((\frac{2}{5} - 2)(\frac{2}{5} + 2) = (-\frac{8}{5})(\frac{12}{5})≠0\)。
代入原方程左边：\(\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} - 2} + \frac{3}{\frac{2}{5} + 2} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{8}{5}} + \frac{3}{\frac{12}{5}} = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4} = 1\)，等于右边，所以\(x = \frac{2}{5}\)是原方程的解。
结论：原方程的解为\(x = \frac{2}{5}\)。
幻灯片 10：增根的概念及验根的必要性
增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程中，可能产生的不适合原分式方程的根，叫做分式方程的增根。
增根产生的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母为零，导致整式方程的解使原分式方程的分母为零，分式无意义。
验根的方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为零，则是原方程的解；若公分母为零，则是增根，原方程无解。
（可选）代入原方程检验左右两边是否相等。
示例：解方程\(\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x^2 - 4}\)
最简公分母是\((x + 2)(x - 2)\)，去分母得\(x + 2 = 3\)，解得\(x = 1\)。
验根：代入公分母得\((1 + 2)(1 - 2) = -3≠0\)，所以\(x = 1\)是原方程的解。
若解得\(x = 2\)，代入公分母得\(0\)，则\(x = 2\)是增根，原方程无解。
幻灯片 11：例 3 - 含增根的分式方程解法
解方程：\(\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}\)
解：
步骤 1：最简公分母是\((x - 1)(x + 2)\)。
步骤 2：去分母，得\(x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3\)。
步骤 3：展开化简：
\(x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3\)
\(x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3\)
\(x + 2 = 3\)，解得\(x = 1\)。
步骤 4：验根：
代入公分母\((1 - 1)(1 + 2) = 0\)，所以\(x = 1\)是增根。
结论：原方程无解。
幻灯片 12：分式方程解法的注意事项
去分母时，方程两边的每一项都要乘最简公分母，包括常数项，避免漏乘，如方程\(\frac{1}{x} = 2 + \frac{3}{x}\)去分母时，常数项\(2\)需乘\(x\)，得\(1 = 2x + 3\)。
分子是多项式时，去分母后要加括号，防止符号错误，如\(\frac{x - 1}{x} = 2\)去分母得\(x - 1 = 2x\)（而非\(x - 1 = 2x\)漏括号，但此例正确，再如\(\frac{x + 1}{x - 2} = 3\)去分母得\(x + 1 = 3(x - 2)\)）。
验根是必不可少的步骤，无论解是否看起来正确，都必须检验是否为增根。
求出整式方程的解后，若为增根，需明确说明原方程无解，不能将增根作为原方程的解。
幻灯片 13：易错点辨析
判断对错并改正：
（1）解方程\(\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x}\)时，去分母得\(x = 2(x - 1)\)，解得\(x = 2\)，验根后\(x = 2\)是原方程的解 (√)。
（2）解方程\(\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{3}{x - 3}\)时，去分母得\(x = 2 + 3\)，解得\(x = 5\) (×)，改正：去分母得\(x = 2(x - 3) + 3\)，解得\(x = 3\)，验根后\(x = 3\)是增根，原方程无解（漏乘常数项\(2\)）。
（3）分式方程\(\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 1}\)的解是\(x = 2\)，无需验根 (×)，改正：必须验根，验根后确认\(x = 2\)是原方程的解（忽略验根必要性）。
（4）解方程\(\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2\)时，化简得\(x + 1 = 2\)，解得\(x = 1\)，所以原方程的解是\(x = 1\) (×)，改正：\(x = 1\)使原方程分母为零，是增根，原方程无解（化简后未验根）。
幻灯片 14：课堂练习
（1）解方程\(\frac{3}{x} = \frac{1}{x - 2}\)
解：最简公分母\(x(x - 2)\)，去分母得\(3(x - 2) = x\)，解得\(x = 3\)，验根后\(x = 3\)是原方程的解。
（2）解方程\(\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^2 - 1}\)
解：最简公分母\((x + 1)(x - 1)\)，去分母得\(2(x - 1) + 3(x + 1) = 6\)，解得\(x = 1\)，验根后\(x = 1\)是增根，原方程无解。
（3）解方程\(\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}\)
解：化为\(\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = -\frac{3}{x - 2}\)，去分母得\(x - 3 + x - 2 = -3\)，解得\(x = 1\)，验根后\(x = 1\)是原方程的解。
幻灯片 15：实际应用问题解答示例
问题：某车间加工\(1200\)个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的\(1.5\)倍，这样加工同样多的零件就少用了\(10\)小时。求该车间原来每小时加工多少个零件？
解：
设原来每小时加工\(x\)个零件，新工艺每小时加工\(1.5x\)个零件。
原来加工时间 = \(\frac{1200}{x}\)小时，新工艺加工时间 = \(\frac{1200}{1.5x}\)小时。
等量关系：原来时间 - 新工艺时间 = \(10\)，即\(\frac{1200}{x} - \frac{1200}{1.5x} = 10\)。
解方程：
最简公分母\(1.5x\)，去分母得\(1200×1.5 - 1200 = 10×1.5x\)
\(1800 - 1200 = 15x\)
\(600 = 15x\)，解得\(x = 40\)。
验根：\(x = 40\)时，\(1.5x = 60≠0\)，分母不为零。
答：该车间原来每小时加工\(40\)个零件。
幻灯片 16：课堂小结
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程。
解法步骤：
确定最简公分母。
去分母化为整式方程。
解整式方程。
验根（代入最简公分母，不为零则为解，否则为增根）。
关键要点：去分母时每一项都要乘公分母，分子多项式加括号，验根必不可少，增根需舍去并说明方程无解。
幻灯片 17：布置作业
教材第 152 页习题 A 组第 1，2，3 题。
思考题：当\(k\)为何值时，方程\(\frac{x}{x - 1} + \frac{k}{x - 1} = 2\)会产生增根？
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次
方程有什么区别？
.
定义：
像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的概念
知识要点
1
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数，不是未知数).
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
去分母
在方程两边同时乘以一个合适的式子
最简公分母
分式的基本性质
方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x)
解：方程两边同时乘以 (30 + x)(30 - x)，得
检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 6 是原分式方程的解.
90(30 - x) = 60(30 + x)，
解得 x = 6.
x = 6 是原分式方程的解吗？
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳
下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边同时乘以最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得
x + 5 = 10，
解得 x = 5.
x = 5 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 5 代入原方程中，分母 x - 5 和 x2 - 25的值都为 0，相应的分式无意义.
因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同时乘以不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘以(30+x)(30-x)
当x=6时，(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式两边同时乘以等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 5 = 10
两边同乘以(x + 5)(x - 5)
当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2. 解这个整式方程；
3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；
4. 写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”
“去分母法”解分式方程的步骤
要点归纳
例1 解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母 x(x - 2)，得
解这个一元一次方程，得 x = -3.
检验：把 x = -3 代入 x(x - 2)，得 x(x - 2) ≠ 0.
因此 x = -3 是原方程的解.
典例精析
解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3)(x - 3)，得
展开，得
解方程，得
所以，原方程的根是 x = 21.
例1 解方程：
(x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3)= -x(x + 3).
x2 - 4x + 3 - 2x2 + 18 = -x2 - 3x.
x = 21.
检验：当 x = 21 时，(x + 3)(x - 3)≠0.
典例精析
解：两边都乘以最简公分母 (x + 2)(x - 2)，得
x + 2 = 4.
解得 x = 2.
检验：把 x = 2 代入 (x + 2)(x - 2)，得 (x + 2)(x - 2) = 0.
因此 x = 2 不是原分式方程的解，原方程无解.
提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
该分式
方程无解
当 x = a 时
最简公分母是
否为零？
否
是
例2 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是_______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
因为关于 x 的方程 的解是正数，
所以 x＞0 且 x≠1.
所以 -a -1＞0 且 -a -1≠1，
解得 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2
例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值．
分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．
方法总结：先求出方程的解 (用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为 0.
解：方程两边都乘以 (x＋2)(x－2) 得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.
① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；
② 方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2，
当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10，得
(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当 x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得
(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6.
所以 m 的值是 1或－4 或 6.
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
方法归纳
1.解方程.
(1)
(2) 1－
解：(1)去分母，得
5(x－2) = 3x
解得
x = 5
经检验，
x = 5 是原方程的根.
(2) 去分母，得
x－4－1 = 3－x
解得
x = 4
经检验，x = 4 是原方程的增根，
因而原方程无解.
2. 防汛期间，县指挥部组织人力到 30 km 远的堤上抢修堤坝，2 人骑摩托车先走，15 min 后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达. 已知汽车速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度.
解：设摩托车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 1.5x km/h.
解得 x = 40
汽车速度：1.5×40 = 60 km/h.
答：摩托车速度为 40 km/h，汽车速度为 60 km/h.
核心必知
1.分母中含有________的方程叫作分式方程.
2.解分式方程时，由于去分母时将方程两边同时乘以最简公
分母，该最简公分母的值可能为____，因此解分式方程一定
要______.验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的
值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的
根即为增根，应舍去.
未知数
零
验根
1星题 基础练
分式方程的定义
1.［知识初练］因为方程 中含有分式，且分母
中含有________，所以这个方程____(填“是”或“不是”)分式
方程.
未知数
是
2.[2024·宿州月考] 下列关于的方程： ；
；； ，其中是分式方程的
为______.(填序号)
解分式方程
3. 如图所示，点点总结了“解可化为一元一
次方程的分式方程”的运算流程，那么和 分别代表的是
( )
C
A.分式的基本性质，最简公分母
B.分式的基本性质，最简公分母
C.等式的基本性质2，最简公分母
D.等式的基本性质2，最简公分母
4.[2024·安庆期末] 解方程，两边同乘以
后得到的式子为( )
B
A. B.
C. D.
5.[2024·无锡中考] 分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
【变式题】 已知代数式和的值相等，则 的值为__.
6.解方程：
(1) ；
解：去分母，得，解得 ，
检验：当时， ，
所以 是原方程的根．
(2) .
解：方程两边都乘以 ，得
．
去括号，得，解得 ．
经检验， 是原方程的根．
分式方程的增根
7.若关于的分式方程 有增根，则这个增根为
______.
8.[2024·六安月考] 若关于的分式方程 有增根，
则 的值为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
2星题 中档练
9.定义运算“”：若，则 的
值为( )
B
A. B.或10 C.10 D.或
10.[2024·遂宁中考] 分式方程 的解为正数，则
的取值范围是( )
B
A. B.且
C. D.且
11.[2024·重庆中考B卷] 若关于 的一元一次不等式组
的解集为，且关于 的分式方程
的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的
值之和是____.
12
12.已知关于的分式方程 .
(1)若方程的增根为，则 的值是____；
(2)若方程有增根，则 的值是_________；
(3)若方程无解，则 的值是______________.
或
或或1.5
13.解方程： .
解：去分母，得 ,
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
检验：当时， ，分式无意义，
所以原方程无解.
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分
母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086