综合与实践：设计自己的运算程序 课件（共31张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件
文档属性
| 名称 | 综合与实践：设计自己的运算程序 课件（共31张PPT）--新2024北师大版七年级数学下册课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 368.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 00:00:00 | ||
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文档简介
综合与实践：设计自己的运算程序
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
综合与实践：设计自己的运算程序
一、活动目标
经历设计运算程序的全过程，理解运算程序的构成要素和设计原理，培养逻辑思维能力和创新意识。
能结合已学的数学运算（如加、减、乘、除、乘方等），设计出具有一定规律或趣味性的运算程序。
通过对运算程序的验证、优化和拓展，体会数学的严谨性和灵活性，提升问题解决能力。
在合作与交流中分享设计思路和成果，感受数学运算的魅力，增强学习数学的兴趣。
二、活动引入
在数学学习中，我们接触过各种运算规则，比如 “先乘除后加减，有括号先算括号” 的运算顺序，还有用公式表示的固定运算关系（如圆的面积公式\(S=\pi r^2\)）。这些其实都是特定的运算程序。如果我们自己动手设计一套运算程序，让输入的数经过一系列运算后得到独特的结果，会是一件很有趣的事情。例如，有一种简单的运算程序：“输入一个数，先乘 2，再加 5，最后输出结果”，当输入 3 时，输出结果就是\(3\times2 + 5=11\)。本节课我们就来尝试设计自己的运算程序，探索运算背后的规律和创意。
三、运算程序的设计思路
（一）明确运算程序的构成
一个完整的运算程序通常包括以下要素：
输入：可以是一个数（整数、分数、小数等）或一组数，是运算的起始数据。
运算步骤：由一系列数学运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）组成的规则，每一步运算都以前一步的结果为基础。
输出：经过所有运算步骤后得到的最终结果。
例如，运算程序 “输入一个数\(x\)，先加 3，再乘 4，最后减 2” 的构成如下：
输入：数\(x\)
运算步骤：\(x\rightarrow x + 3\rightarrow(x + 3)\times4\rightarrow(x + 3)\times4-2\)
输出：\(4(x + 3)-2=4x + 10\)
（二）设计原则
简洁性：运算步骤不宜过于复杂，确保程序清晰易懂，便于验证和操作。
逻辑性：运算步骤之间要连贯，每一步运算都要有明确的依据，避免无意义的随意运算。
独特性：尽量设计出具有个性化的运算程序，比如能得到特定结果（如固定数、与输入数相关的数）或具有某种规律的结果。
可行性：运算步骤中要避免出现无意义的运算（如除数为 0、负数开偶次方等），确保对于合理的输入都能得到有效输出。
（三）设计方向
结果固定型：无论输入什么数（在合理范围内），经过运算后都得到一个固定的结果。例如：“输入一个数，先乘 2，再加 6，再减这个数的 2 倍，最后加 1”，输出结果恒为 7（验证：设输入数为\(x\)，则\(2x + 6-2x + 1=7\)）。
结果与输入相关型：输出结果与输入数存在特定的数量关系（如倍数关系、和差关系等）。例如：“输入一个数，先乘 5，再加 10，最后除以 5”，输出结果为输入数加 2（验证：设输入数为\(x\)，则\((5x + 10)\div5=x + 2\)）。
趣味规律型：输出结果呈现某种有趣的规律，或与输入数的特征相关（如数字之和、奇偶性等）。例如：“输入一个两位数，用十位数字乘 100，再加个位数字的平方”，输入 23 时输出\(2\times100+3^2=209\)，输入 45 时输出\(4\times100 + 5^2=425\)。
四、设计步骤与示例
（一）设计步骤
确定设计目标：明确运算程序的输出特点（如固定结果、与输入相关、规律型等）。
构思运算步骤：根据目标选择合适的运算，逐步构建运算链条，可先从简单运算开始尝试。
用字母表示验证：设输入数为字母（如\(x\)），按照运算步骤推导输出结果的表达式，检查是否符合设计目标。
代入具体数值测试：选取不同的输入数代入程序，验证输出结果是否与推导一致，排查运算步骤中的错误。
优化程序：根据验证结果调整运算步骤，简化复杂环节，确保程序准确、简洁。
（二）设计示例
示例 1：结果固定型运算程序
设计目标：无论输入什么数，输出结果都为 5。
运算步骤构思：
第一步：输入数\(x\)
第二步：乘 2（得到\(2x\)）
第三步：加 10（得到\(2x + 10\)）
第四步：减输入数的 2 倍（得到\(2x + 10-2x=10\)）
第五步：除以 2（得到\(10\div2=5\)）
验证：
表达式推导：\(((x\times2 + 10)-2x)\div2=(2x + 10-2x)\div2=10\div2=5\)
数值测试：输入 3 时，\(((3\times2 + 10)-2\times3)\div2=(6 + 10-6)\div2=10\div2=5\)；输入\(-2\)时，\(((-2\times2 + 10)-2\times(-2))\div2=(-4 + 10 + 4)\div2=10\div2=5\)，结果均为 5，验证通过。
最终程序：输入一个数，先乘 2，再加 10，再减这个数的 2 倍，最后除以 2，输出结果。
示例 2：结果与输入相关型运算程序
设计目标：输出结果是输入数的 3 倍减 1。
运算步骤构思：
第一步：输入数\(x\)
第二步：加 2（得到\(x + 2\)）
第三步：乘 3（得到\(3(x + 2)=3x + 6\)）
第四步：减 7（得到\(3x + 6-7=3x-1\)）
验证：
表达式推导：\((x + 2)\times3-7=3x + 6-7=3x-1\)
数值测试：输入 2 时，\((2 + 2)\times3-7=12-7=5\)，而\(3\times2-1=5\)；输入 5 时，\((5 + 2)\times3-7=21-7=14\)，而\(3\times5-1=14\)，结果一致，验证通过。
最终程序：输入一个数，先加 2，再乘 3，最后减 7，输出结果。
示例 3：趣味规律型运算程序
设计目标：输入一个正整数，输出其各位数字之和的平方。
运算步骤构思：
第一步：输入正整数\(n\)（以两位数为例，设十位数字为\(a\)，个位数字为\(b\)，则\(n = 10a + b\)）
第二步：取十位数字\(a\)（\(a=\lfloor n\div10\rfloor\)，其中\(\lfloor\ \rfloor\)表示取整数部分）
第三步：取个位数字\(b\)（\(b=n\%\ 10\)，其中\(\%\)表示取余数）
第四步：计算各位数字之和\(a + b\)
第五步：计算和的平方\((a + b)^2\)
验证：
数值测试：输入 36 时，十位数字 3，个位数字 6，和为 9，平方为 81，程序输出 81；输入 125 时（三位数），百位数字 1，十位数字 2，个位数字 5，和为 8，平方为 64，程序输出 64，符合规律，验证通过。
最终程序：输入一个正整数，分别取出其各位数字，计算各位数字之和，再求这个和的平方，输出结果。
五、运算程序的验证与优化
（一）验证方法
代数验证：用字母表示输入数，按照运算步骤推导出输出结果的表达式，检查表达式是否符合设计预期。这种方法能确保程序对所有符合条件的输入都有效，避免个别数值的偶然性。
数值验证：选取不同类型的输入数（如正数、负数、零、整数、分数等）代入程序，计算输出结果，与预期结果对比。例如，对于结果固定型程序，需验证正数、负数、零等不同输入是否都得到固定结果。
反向验证：根据输出结果反推输入数，检查是否能通过运算程序还原，确保程序的逻辑性和可逆性（适用于非固定结果型程序）。
（二）常见问题及优化
运算步骤冗余：若程序中存在可简化的步骤，需进行合并或删减。例如，程序 “输入\(x\)，先乘 3，再加 6，再除以 3” 可简化为 “输入\(x\)，先加 2”（因为\((3x + 6)\div3=x + 2\)）。
存在无效运算：若某一步运算对最终结果无影响，应去除该步骤。例如，程序中 “加 5 后又减 5” 的步骤可直接省略。
适用范围狭窄：若程序对某些输入数会出现无意义运算（如除数为 0），需限制输入范围或调整运算步骤。例如，程序中若有除法运算，需注明除数不能为 0，或通过调整步骤避免除数为 0 的情况。
结果不唯一或无规律：若数值验证中发现结果与预期不符，需重新检查运算步骤的逻辑，修正错误的运算顺序或运算符号。
六、拓展与应用
（一）小组合作设计复杂程序
小组内成员分工协作，设计包含多个变量或多步运算的复杂程序，例如：
输入两个数，计算它们的和与积的差，再乘这两个数的商（需注明除数不为 0）。
输入一个数，先判断其奇偶性，若为奇数则乘 3 加 1，若为偶数则除以 2，重复操作直到结果为 1（这是著名的 “角谷猜想” 相关程序）。
（二）用程序解决实际问题
结合生活中的实际场景设计运算程序，例如：
购物优惠程序：某商店购物满 100 元减 20 元，不满 100 元按原价付款。输入购物金额\(x\)元，输出实际付款金额\(y\)元。
程序：若\(x\geq100\)，则\(y=x - 20\)；若\(x<100\)，则\(y=x\)。
温度转换程序：输入摄氏温度\(c\)，输出华氏温度\(f\)（转换公式：\(f = c\times1.8+32\)）。
程序：输入摄氏温度\(c\)，先乘 1.8，再加 32，输出结果。
（三）探究程序背后的数学规律
对于设计的运算程序，尝试探究其结果与输入数之间的数学关系，例如：
对于结果固定型程序，分析为什么无论输入什么数结果都固定（本质是运算步骤中消去了输入变量）。
对于与输入相关的程序，通过表达式推导明确结果与输入数的函数关系（如一次函数、二次函数等）。
七、活动总结与反思
设计成果展示：以小组或个人为单位，展示自己设计的运算程序，说明设计目标、运算步骤、验证过程和独特之处。
经验交流：分享设计过程中的思路、遇到的问题及解决方法，学习他人设计中的创新点（如独特的运算组合、有趣的结果规律等）。
自我反思：
自己设计的程序是否达到了预期目标？在验证过程中发现了哪些问题？
运算步骤是否简洁合理？是否存在可以优化的地方？
通过本次活动，对数学运算的逻辑性和灵活性有了哪些新的认识？
设计自己的运算程序不仅是对已有数学知识的综合运用，更是一次创新思维的实践。通过从构思到验证、优化的全过程，我们能更深刻地理解运算的本质，体会数学的严谨性和趣味性。希望同学们在今后的学习中继续保持这种探索精神，发现更多数学的奥秘。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
用一系列图形、流程线和文字说明描述程序的基本操作和控制流程，它是程序分析和过程描述最基本的方式.
程序流程图
流程图的 7 种基本元素
连接点
起止框
判断框
处理框
输入/输出框
注释框
流向线
点击视频观看
2024 年春晚，魔术师表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合.小亮同学运用数学知识也设计了个魔术节目，同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
小亮立刻说出同学想的那个数. 想不想知道魔术师
的秘密?
乘以3
减去6
除以3
加上7
告诉小亮结果
综合与实践:设计自己的运算程序
1
活动1：任意写下一个四位数(四位数字不相同)，重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程……你得到了什么结果? 你有怎样的猜想?
就用 3210－1023＝2187；
8721－1278＝7443；
7443－3447＝3996；
9963－3699＝6264；
6642－2466＝4176；
7641－1467＝6174.
就用 7651－1567＝6084；
8640－4068＝4572；
7542－2457＝5086；
8650－5068＝3582；
8532－2358＝6174；
7641－1467＝6174.
仿佛掉进了黑洞，永远出不来.
例如选 1，2，3，0，
例如选 7，6，5，1，
四个不同的数字，最多七步必得 6174.
活动 2：任意写下一个三位数，
百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字. 在上面每次相乘的过程中，
若积大于 9，则将积的个位数字与十位数字相加；
若和仍大于 9，则继续相加直到得出一位数.
重复这个过程……
你得到了什么结果? 你有怎样的猜想?
3
2
6
1
2
3
326
963
999
例如，以 832 开始，运用以上的规则依次可以得到：
766，669，999，999……
如果，以 123 开始，运用以上的规则依次可以得到：326，963，999……
思考1：联系两个活动，你有怎样进一步的猜想?
如果可以，请你用信息科技课学过的流程图将以上用文字语言描述的运算程序表达出来，并与同伴进行交流.
活动1 设计程序流程图如下：
开始
选一个四位数(要求各数位上的数字不相同)，如7913
将各数位上的数字按从大到小排列，如9731
将各数位上的数字按从小到大排列，如1379
把两个数相减，如 9731-1379＝8352
你认为这是一个有规律的数吗?
猜想规律
结束
是
否
请同学们小组合作，设计出活动2的运算程序流程图.
活动 3：请同学们设计自己的运算程序，使运算结果不超过三位数且出现循环.
1. 用文字语言、流程图表达所设计的运算程序.
2. 根据你设计的运算程序，会得到怎样的结果?与同伴一起验证所设计的运算程序.
请以小组为单位设计程序，要求：
1. 优先确定输入与输出；
2. 分步骤、用文字呈现；
3. 清楚设计原理并能进行分享.
设计运算程序的步骤：
(1) 阅读信息，明确输入与输出的限制条件；
(2) 由特殊到一般，分步探究设计恰当的程序；
(3) 验证程序的正确性，完善程序规则.
归纳总结
思考 2：对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的“运算程序”，由此程序产生的数字总会停留在某个数字或某几个数字上，或者以某种重复的方式循环. 你认为会这样吗? 试给出你的理由.
“抽屉原理”
例 根据流程图中的程序，当输入 x 的值为 －2 时，输出 y 的值为( )
B
A.4 B.6 C.8 D.10
典例精析
1.将 2023×2024×2025×2026＋1 表示成一个自然数的平方，结果是多少? 请你任意选取四个连续整数，将它们的积再加上 1，并用一个自然数的平方表示所得的结果. 你能从中发现什么规律?
解：第1个算式为：1×2×3×4＋1＝(1+1×3+1)?＝5?，
第2个算式为：2×3×4×5+1＝(4+2×3+1)?＝11?，
第3个算式为：3×4×5×6+1＝(9+3×3+1)?＝192，
......
依此类推：
第 n 个算式为：n(n+1)(n+2)(n+3)+1＝(n?+3n+1)?，
当 n = 2023 时，
2023×2024×2025×2026 +1＝(2023?+3×2023+1)?.
2. 输入任意一个三位数，如 325，重复该数，得到
325325，将该数除以 7，然后除以 11，再除以 13，结果又回到原来输入的数. 你能解释这个现象吗?
假设我们从任意一个四位数开始，如3245，我们要把它乘以多少，才能够得到 32453245? 如果任意取一个五位数呢?
解：∵ 325325÷325＝1001，∴ 325325÷1001＝325.
∴ 325325÷1001＝325325÷7÷11÷13＝325.
对于一个四位数，∵ 32453245÷3245＝10001.
∴任意一个四位数，乘以 10001，即可得到将它重复一次之后的八位数.
设一个任意的五位数为 x，则重复一次得到的十位数为：
100000x + x = 100001x.
∴任意一个五位数乘以 100001，得到将这个五位数重复一次后的十位数.
黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数
学中也存在有趣的黑洞现象：
素材1
任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不
相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个
数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最
小的数，
素材1
用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数
（例如：若选的数为729，则972?279=693 ），
再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这
样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，
这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
素材1
续表
素材2
任意找一个能够被3整除的正整数，先把这个数的每
一个数位上的数字都自乘三次（如?????????????? ），再将
所得的值相加，得到一个新数；然后把这个新数的
每一个数位上的数字再自乘三次，将所得的值再相
加……如此重复运算下去，就能得到一个固定的数
????，我们称它为数字黑洞，???? 为何具有如此魅力，通
过认真地观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
素材2
续表
素材3
若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称
这个数是对称数.如22是两位对称数，797是三位对称
数，12?321是五位对称数?? ，最小的对称数是
11，但没有最大的对称数，因为数位是无穷的.
素材3
根据上述的素材，解决以下问题：
续表
（1）该“卡普雷卡尔黑洞数”为_____；
495
【点拨】任选一个数972，由题意可得，
972?279=693 ，
963?369=594 ，
954?459=495 ，
954?459=495 ，
所以该“卡普雷卡尔黑洞数”为495.
?
（2）该固定数???? 的值为_____；
?
153
【点拨】任选一个正整数3，由题意，得33=27 ，
23+73=351 ，
33+53+13=153 ，
13+53+33=153 .
所以????=153 .
?
（3）①最小的四位对称数与最大的两位对称数的和为_______；
1 100
【点拨】因为最小的四位对称数与最大的两位对称数分别是
1 001和99，
所以1?001+99=1?100 .
?
②若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两
位数表示的数，请你说明：这两个数的差一定能被9整除；
【解】设四位对称数分解成的前两位数所表示的数为
10????+????，后两位数所表示的数为10????+???? ，
由题意得(10????+????)?(10????+????)=9?????9????=9(?????????) .
因为????，???? 为整数，
所以????????? 是整数.
所以9(?????????) 一定能被9整除.
所以这两个数的差一定能被9整除.
?
③设一个三位对称数为????????????(????+????<10) ，该对称数与11相乘
后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所
表示的数相等，且该四位数各位数字之和是3的整数倍，求
所有满足条件的三位对称数.
?
【解】这个三位对称数为100????+10????+???? ，则
11(100????+10????+????)=1?000????+100(????+????)+10(????+????)+???? .
因为????+????<10 ，且该四位数各位数字之和是3的整数倍，该
四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，
所以4????+2????=3????(????为整数)，10????+????+????=10(????+????)+???? .
所以????=0 .
因为????为整数，且1≤????≤9 ，
所以????=3，????=0或????=6，????=0或????=9，????=0 .
故这个三位对称数是303或606或909.
?
设计自己的运算程序
1. 运算程序
2. 数学本质：列代数式与代数式的运算
3. 数学思想：从特殊到一般、数学抽象、数学建模
4. 设计步骤
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
第六章 变量之间的关系
新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
综合与实践：设计自己的运算程序
一、活动目标
经历设计运算程序的全过程，理解运算程序的构成要素和设计原理，培养逻辑思维能力和创新意识。
能结合已学的数学运算（如加、减、乘、除、乘方等），设计出具有一定规律或趣味性的运算程序。
通过对运算程序的验证、优化和拓展，体会数学的严谨性和灵活性，提升问题解决能力。
在合作与交流中分享设计思路和成果，感受数学运算的魅力，增强学习数学的兴趣。
二、活动引入
在数学学习中，我们接触过各种运算规则，比如 “先乘除后加减，有括号先算括号” 的运算顺序，还有用公式表示的固定运算关系（如圆的面积公式\(S=\pi r^2\)）。这些其实都是特定的运算程序。如果我们自己动手设计一套运算程序，让输入的数经过一系列运算后得到独特的结果，会是一件很有趣的事情。例如，有一种简单的运算程序：“输入一个数，先乘 2，再加 5，最后输出结果”，当输入 3 时，输出结果就是\(3\times2 + 5=11\)。本节课我们就来尝试设计自己的运算程序，探索运算背后的规律和创意。
三、运算程序的设计思路
（一）明确运算程序的构成
一个完整的运算程序通常包括以下要素：
输入：可以是一个数（整数、分数、小数等）或一组数，是运算的起始数据。
运算步骤：由一系列数学运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）组成的规则，每一步运算都以前一步的结果为基础。
输出：经过所有运算步骤后得到的最终结果。
例如，运算程序 “输入一个数\(x\)，先加 3，再乘 4，最后减 2” 的构成如下：
输入：数\(x\)
运算步骤：\(x\rightarrow x + 3\rightarrow(x + 3)\times4\rightarrow(x + 3)\times4-2\)
输出：\(4(x + 3)-2=4x + 10\)
（二）设计原则
简洁性：运算步骤不宜过于复杂，确保程序清晰易懂，便于验证和操作。
逻辑性：运算步骤之间要连贯，每一步运算都要有明确的依据，避免无意义的随意运算。
独特性：尽量设计出具有个性化的运算程序，比如能得到特定结果（如固定数、与输入数相关的数）或具有某种规律的结果。
可行性：运算步骤中要避免出现无意义的运算（如除数为 0、负数开偶次方等），确保对于合理的输入都能得到有效输出。
（三）设计方向
结果固定型：无论输入什么数（在合理范围内），经过运算后都得到一个固定的结果。例如：“输入一个数，先乘 2，再加 6，再减这个数的 2 倍，最后加 1”，输出结果恒为 7（验证：设输入数为\(x\)，则\(2x + 6-2x + 1=7\)）。
结果与输入相关型：输出结果与输入数存在特定的数量关系（如倍数关系、和差关系等）。例如：“输入一个数，先乘 5，再加 10，最后除以 5”，输出结果为输入数加 2（验证：设输入数为\(x\)，则\((5x + 10)\div5=x + 2\)）。
趣味规律型：输出结果呈现某种有趣的规律，或与输入数的特征相关（如数字之和、奇偶性等）。例如：“输入一个两位数，用十位数字乘 100，再加个位数字的平方”，输入 23 时输出\(2\times100+3^2=209\)，输入 45 时输出\(4\times100 + 5^2=425\)。
四、设计步骤与示例
（一）设计步骤
确定设计目标：明确运算程序的输出特点（如固定结果、与输入相关、规律型等）。
构思运算步骤：根据目标选择合适的运算，逐步构建运算链条，可先从简单运算开始尝试。
用字母表示验证：设输入数为字母（如\(x\)），按照运算步骤推导输出结果的表达式，检查是否符合设计目标。
代入具体数值测试：选取不同的输入数代入程序，验证输出结果是否与推导一致，排查运算步骤中的错误。
优化程序：根据验证结果调整运算步骤，简化复杂环节，确保程序准确、简洁。
（二）设计示例
示例 1：结果固定型运算程序
设计目标：无论输入什么数，输出结果都为 5。
运算步骤构思：
第一步：输入数\(x\)
第二步：乘 2（得到\(2x\)）
第三步：加 10（得到\(2x + 10\)）
第四步：减输入数的 2 倍（得到\(2x + 10-2x=10\)）
第五步：除以 2（得到\(10\div2=5\)）
验证：
表达式推导：\(((x\times2 + 10)-2x)\div2=(2x + 10-2x)\div2=10\div2=5\)
数值测试：输入 3 时，\(((3\times2 + 10)-2\times3)\div2=(6 + 10-6)\div2=10\div2=5\)；输入\(-2\)时，\(((-2\times2 + 10)-2\times(-2))\div2=(-4 + 10 + 4)\div2=10\div2=5\)，结果均为 5，验证通过。
最终程序：输入一个数，先乘 2，再加 10，再减这个数的 2 倍，最后除以 2，输出结果。
示例 2：结果与输入相关型运算程序
设计目标：输出结果是输入数的 3 倍减 1。
运算步骤构思：
第一步：输入数\(x\)
第二步：加 2（得到\(x + 2\)）
第三步：乘 3（得到\(3(x + 2)=3x + 6\)）
第四步：减 7（得到\(3x + 6-7=3x-1\)）
验证：
表达式推导：\((x + 2)\times3-7=3x + 6-7=3x-1\)
数值测试：输入 2 时，\((2 + 2)\times3-7=12-7=5\)，而\(3\times2-1=5\)；输入 5 时，\((5 + 2)\times3-7=21-7=14\)，而\(3\times5-1=14\)，结果一致，验证通过。
最终程序：输入一个数，先加 2，再乘 3，最后减 7，输出结果。
示例 3：趣味规律型运算程序
设计目标：输入一个正整数，输出其各位数字之和的平方。
运算步骤构思：
第一步：输入正整数\(n\)（以两位数为例，设十位数字为\(a\)，个位数字为\(b\)，则\(n = 10a + b\)）
第二步：取十位数字\(a\)（\(a=\lfloor n\div10\rfloor\)，其中\(\lfloor\ \rfloor\)表示取整数部分）
第三步：取个位数字\(b\)（\(b=n\%\ 10\)，其中\(\%\)表示取余数）
第四步：计算各位数字之和\(a + b\)
第五步：计算和的平方\((a + b)^2\)
验证：
数值测试：输入 36 时，十位数字 3，个位数字 6，和为 9，平方为 81，程序输出 81；输入 125 时（三位数），百位数字 1，十位数字 2，个位数字 5，和为 8，平方为 64，程序输出 64，符合规律，验证通过。
最终程序：输入一个正整数，分别取出其各位数字，计算各位数字之和，再求这个和的平方，输出结果。
五、运算程序的验证与优化
（一）验证方法
代数验证：用字母表示输入数，按照运算步骤推导出输出结果的表达式，检查表达式是否符合设计预期。这种方法能确保程序对所有符合条件的输入都有效，避免个别数值的偶然性。
数值验证：选取不同类型的输入数（如正数、负数、零、整数、分数等）代入程序，计算输出结果，与预期结果对比。例如，对于结果固定型程序，需验证正数、负数、零等不同输入是否都得到固定结果。
反向验证：根据输出结果反推输入数，检查是否能通过运算程序还原，确保程序的逻辑性和可逆性（适用于非固定结果型程序）。
（二）常见问题及优化
运算步骤冗余：若程序中存在可简化的步骤，需进行合并或删减。例如，程序 “输入\(x\)，先乘 3，再加 6，再除以 3” 可简化为 “输入\(x\)，先加 2”（因为\((3x + 6)\div3=x + 2\)）。
存在无效运算：若某一步运算对最终结果无影响，应去除该步骤。例如，程序中 “加 5 后又减 5” 的步骤可直接省略。
适用范围狭窄：若程序对某些输入数会出现无意义运算（如除数为 0），需限制输入范围或调整运算步骤。例如，程序中若有除法运算，需注明除数不能为 0，或通过调整步骤避免除数为 0 的情况。
结果不唯一或无规律：若数值验证中发现结果与预期不符，需重新检查运算步骤的逻辑，修正错误的运算顺序或运算符号。
六、拓展与应用
（一）小组合作设计复杂程序
小组内成员分工协作，设计包含多个变量或多步运算的复杂程序，例如：
输入两个数，计算它们的和与积的差，再乘这两个数的商（需注明除数不为 0）。
输入一个数，先判断其奇偶性，若为奇数则乘 3 加 1，若为偶数则除以 2，重复操作直到结果为 1（这是著名的 “角谷猜想” 相关程序）。
（二）用程序解决实际问题
结合生活中的实际场景设计运算程序，例如：
购物优惠程序：某商店购物满 100 元减 20 元，不满 100 元按原价付款。输入购物金额\(x\)元，输出实际付款金额\(y\)元。
程序：若\(x\geq100\)，则\(y=x - 20\)；若\(x<100\)，则\(y=x\)。
温度转换程序：输入摄氏温度\(c\)，输出华氏温度\(f\)（转换公式：\(f = c\times1.8+32\)）。
程序：输入摄氏温度\(c\)，先乘 1.8，再加 32，输出结果。
（三）探究程序背后的数学规律
对于设计的运算程序，尝试探究其结果与输入数之间的数学关系，例如：
对于结果固定型程序，分析为什么无论输入什么数结果都固定（本质是运算步骤中消去了输入变量）。
对于与输入相关的程序，通过表达式推导明确结果与输入数的函数关系（如一次函数、二次函数等）。
七、活动总结与反思
设计成果展示：以小组或个人为单位，展示自己设计的运算程序，说明设计目标、运算步骤、验证过程和独特之处。
经验交流：分享设计过程中的思路、遇到的问题及解决方法，学习他人设计中的创新点（如独特的运算组合、有趣的结果规律等）。
自我反思：
自己设计的程序是否达到了预期目标？在验证过程中发现了哪些问题？
运算步骤是否简洁合理？是否存在可以优化的地方？
通过本次活动，对数学运算的逻辑性和灵活性有了哪些新的认识？
设计自己的运算程序不仅是对已有数学知识的综合运用，更是一次创新思维的实践。通过从构思到验证、优化的全过程，我们能更深刻地理解运算的本质，体会数学的严谨性和趣味性。希望同学们在今后的学习中继续保持这种探索精神，发现更多数学的奥秘。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
用一系列图形、流程线和文字说明描述程序的基本操作和控制流程，它是程序分析和过程描述最基本的方式.
程序流程图
流程图的 7 种基本元素
连接点
起止框
判断框
处理框
输入/输出框
注释框
流向线
点击视频观看
2024 年春晚，魔术师表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合.小亮同学运用数学知识也设计了个魔术节目，同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
小亮立刻说出同学想的那个数. 想不想知道魔术师
的秘密?
乘以3
减去6
除以3
加上7
告诉小亮结果
综合与实践:设计自己的运算程序
1
活动1：任意写下一个四位数(四位数字不相同)，重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程……你得到了什么结果? 你有怎样的猜想?
就用 3210－1023＝2187；
8721－1278＝7443；
7443－3447＝3996；
9963－3699＝6264；
6642－2466＝4176；
7641－1467＝6174.
就用 7651－1567＝6084；
8640－4068＝4572；
7542－2457＝5086；
8650－5068＝3582；
8532－2358＝6174；
7641－1467＝6174.
仿佛掉进了黑洞，永远出不来.
例如选 1，2，3，0，
例如选 7，6，5，1，
四个不同的数字，最多七步必得 6174.
活动 2：任意写下一个三位数，
百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字. 在上面每次相乘的过程中，
若积大于 9，则将积的个位数字与十位数字相加；
若和仍大于 9，则继续相加直到得出一位数.
重复这个过程……
你得到了什么结果? 你有怎样的猜想?
3
2
6
1
2
3
326
963
999
例如，以 832 开始，运用以上的规则依次可以得到：
766，669，999，999……
如果，以 123 开始，运用以上的规则依次可以得到：326，963，999……
思考1：联系两个活动，你有怎样进一步的猜想?
如果可以，请你用信息科技课学过的流程图将以上用文字语言描述的运算程序表达出来，并与同伴进行交流.
活动1 设计程序流程图如下：
开始
选一个四位数(要求各数位上的数字不相同)，如7913
将各数位上的数字按从大到小排列，如9731
将各数位上的数字按从小到大排列，如1379
把两个数相减，如 9731-1379＝8352
你认为这是一个有规律的数吗?
猜想规律
结束
是
否
请同学们小组合作，设计出活动2的运算程序流程图.
活动 3：请同学们设计自己的运算程序，使运算结果不超过三位数且出现循环.
1. 用文字语言、流程图表达所设计的运算程序.
2. 根据你设计的运算程序，会得到怎样的结果?与同伴一起验证所设计的运算程序.
请以小组为单位设计程序，要求：
1. 优先确定输入与输出；
2. 分步骤、用文字呈现；
3. 清楚设计原理并能进行分享.
设计运算程序的步骤：
(1) 阅读信息，明确输入与输出的限制条件；
(2) 由特殊到一般，分步探究设计恰当的程序；
(3) 验证程序的正确性，完善程序规则.
归纳总结
思考 2：对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的“运算程序”，由此程序产生的数字总会停留在某个数字或某几个数字上，或者以某种重复的方式循环. 你认为会这样吗? 试给出你的理由.
“抽屉原理”
例 根据流程图中的程序，当输入 x 的值为 －2 时，输出 y 的值为( )
B
A.4 B.6 C.8 D.10
典例精析
1.将 2023×2024×2025×2026＋1 表示成一个自然数的平方，结果是多少? 请你任意选取四个连续整数，将它们的积再加上 1，并用一个自然数的平方表示所得的结果. 你能从中发现什么规律?
解：第1个算式为：1×2×3×4＋1＝(1+1×3+1)?＝5?，
第2个算式为：2×3×4×5+1＝(4+2×3+1)?＝11?，
第3个算式为：3×4×5×6+1＝(9+3×3+1)?＝192，
......
依此类推：
第 n 个算式为：n(n+1)(n+2)(n+3)+1＝(n?+3n+1)?，
当 n = 2023 时，
2023×2024×2025×2026 +1＝(2023?+3×2023+1)?.
2. 输入任意一个三位数，如 325，重复该数，得到
325325，将该数除以 7，然后除以 11，再除以 13，结果又回到原来输入的数. 你能解释这个现象吗?
假设我们从任意一个四位数开始，如3245，我们要把它乘以多少，才能够得到 32453245? 如果任意取一个五位数呢?
解：∵ 325325÷325＝1001，∴ 325325÷1001＝325.
∴ 325325÷1001＝325325÷7÷11÷13＝325.
对于一个四位数，∵ 32453245÷3245＝10001.
∴任意一个四位数，乘以 10001，即可得到将它重复一次之后的八位数.
设一个任意的五位数为 x，则重复一次得到的十位数为：
100000x + x = 100001x.
∴任意一个五位数乘以 100001，得到将这个五位数重复一次后的十位数.
黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数
学中也存在有趣的黑洞现象：
素材1
任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不
相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个
数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最
小的数，
素材1
用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数
（例如：若选的数为729，则972?279=693 ），
再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这
样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，
这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
素材1
续表
素材2
任意找一个能够被3整除的正整数，先把这个数的每
一个数位上的数字都自乘三次（如?????????????? ），再将
所得的值相加，得到一个新数；然后把这个新数的
每一个数位上的数字再自乘三次，将所得的值再相
加……如此重复运算下去，就能得到一个固定的数
????，我们称它为数字黑洞，???? 为何具有如此魅力，通
过认真地观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
素材2
续表
素材3
若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称
这个数是对称数.如22是两位对称数，797是三位对称
数，12?321是五位对称数?? ，最小的对称数是
11，但没有最大的对称数，因为数位是无穷的.
素材3
根据上述的素材，解决以下问题：
续表
（1）该“卡普雷卡尔黑洞数”为_____；
495
【点拨】任选一个数972，由题意可得，
972?279=693 ，
963?369=594 ，
954?459=495 ，
954?459=495 ，
所以该“卡普雷卡尔黑洞数”为495.
?
（2）该固定数???? 的值为_____；
?
153
【点拨】任选一个正整数3，由题意，得33=27 ，
23+73=351 ，
33+53+13=153 ，
13+53+33=153 .
所以????=153 .
?
（3）①最小的四位对称数与最大的两位对称数的和为_______；
1 100
【点拨】因为最小的四位对称数与最大的两位对称数分别是
1 001和99，
所以1?001+99=1?100 .
?
②若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两
位数表示的数，请你说明：这两个数的差一定能被9整除；
【解】设四位对称数分解成的前两位数所表示的数为
10????+????，后两位数所表示的数为10????+???? ，
由题意得(10????+????)?(10????+????)=9?????9????=9(?????????) .
因为????，???? 为整数，
所以????????? 是整数.
所以9(?????????) 一定能被9整除.
所以这两个数的差一定能被9整除.
?
③设一个三位对称数为????????????(????+????<10) ，该对称数与11相乘
后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所
表示的数相等，且该四位数各位数字之和是3的整数倍，求
所有满足条件的三位对称数.
?
【解】这个三位对称数为100????+10????+???? ，则
11(100????+10????+????)=1?000????+100(????+????)+10(????+????)+???? .
因为????+????<10 ，且该四位数各位数字之和是3的整数倍，该
四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，
所以4????+2????=3????(????为整数)，10????+????+????=10(????+????)+???? .
所以????=0 .
因为????为整数，且1≤????≤9 ，
所以????=3，????=0或????=6，????=0或????=9，????=0 .
故这个三位对称数是303或606或909.
?
设计自己的运算程序
1. 运算程序
2. 数学本质：列代数式与代数式的运算
3. 数学思想：从特殊到一般、数学抽象、数学建模
4. 设计步骤
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
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