10.1.2垂线及其性质 课件（共42张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

10.1.2垂线及其性质
第10章 相交线、平行线与平移
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：10.1.2 垂线及其性质
学科：数学
年级：七年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解垂线的概念，能准确判断两条直线是否垂直，掌握垂线的表示方法。
掌握垂线的基本性质，能运用性质解决实际问题。
经历垂线性质的探究过程，培养观察、操作和归纳能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：垂线的概念和 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的性质。
难点：垂线性质的理解和应用，以及从实际问题中抽象出垂线模型。
幻灯片 4：情境导入
生活中的垂直现象展示：
墙角的两条边形成的角。
黑板的长边与短边形成的角。
十字路口的两条道路形成的角。
电线杆与地面形成的角。
提问：这些图片中相交的线条形成的角有什么共同特点？（都是 90°）今天我们就来研究这种特殊的相交线 —— 垂线。
幻灯片 5：垂线的概念
垂直的定义：如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直。
垂线的定义：其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
图形演示：
如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，∠AOC=90°，则直线 AB 与 CD 互相垂直，记作 “AB⊥CD”（或 “CD⊥AB”），读作 “AB 垂直于 CD”，垂足为 O。
（插入两条直线垂直的图形，标注∠AOC=90°，垂足 O）
关键词解析：
两条直线相交。
所成的角是直角（90°）。
幻灯片 6：垂线的表示方法
符号表示：用 “⊥” 表示垂直关系，如直线 AB 垂直于直线 CD，记作 AB⊥CD，垂足为 O。
几何语言描述：
因为直线 AB 与 CD 相交于点 O，且∠AOC=90°，所以 AB⊥CD（垂直的定义）。
因为 AB⊥CD，垂足为 O，所以∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°（垂直的性质）。
小练习：用符号表示下图中的垂直关系，并指出垂足。（插入一个垂直图形）
幻灯片 7：垂线的画法
工具：直尺、三角板。
过直线上一点画已知直线的垂线步骤：
把三角板的一条直角边与已知直线重合。
让三角板的另一条直角边经过直线上的已知点。
沿着三角板的另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。
标注垂足。
过直线外一点画已知直线的垂线步骤：
把三角板的一条直角边与已知直线重合。
沿已知直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过直线外的已知点。
沿着三角板的另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。
标注垂足。
演示：（插入两种画法的动态演示图或步骤分解图）
幻灯片 8：垂线的性质探究
探究 1：过直线上一点能画几条已知直线的垂线？
动手操作：在纸上画一条直线 l，在直线 l 上取一点 P，过点 P 画直线 l 的垂线，能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
探究 2：过直线外一点能画几条已知直线的垂线？
动手操作：在纸上画一条直线 l，在直线 l 外取一点 Q，过点 Q 画直线 l 的垂线，能画几条？
结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
总结垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（“有且只有” 表示存在性和唯一性）
幻灯片 9：垂线的性质 2
探究 3：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，哪条线段最短？
动手操作：在纸上画一条直线 l，在直线 l 外取一点 P，连接点 P 与直线 l 上的点 A、B、C、D……，用刻度尺测量线段 PA、PB、PC、PD…… 的长度，比较它们的大小。
观察发现：线段 PO（O 为过点 P 作直线 l 的垂线的垂足）的长度最短。
垂线段的定义：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间的线段叫做这点到这条直线的垂线段。
垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
幻灯片 10：垂线性质的应用示例
例 1：如图，已知直线 AB 和直线外一点 P，过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 O，并量出点 P 到直线 AB 的距离。
解：按照过直线外一点画垂线的方法作图（图略），测量得 PO 的长度为 2.5cm，所以点 P 到直线 AB 的距离是 2.5cm。
例 2：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？并说明理由。
解：过点 P 作河岸 AB 的垂线，垂足为 O，沿 PO 挖渠能使渠道最短。理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
幻灯片 11：易错点警示
易错点 1：混淆 “垂线” 和 “垂线段” 的概念。
例如：认为 “垂线就是垂线段”，纠正：垂线是直线，无限长；垂线段是线段，有长度，是垂线的一部分。
易错点 2：对 “点到直线的距离” 理解不清，误将直线外一点与直线上一点的连线长度当作距离。
例如：测量点 P 到直线 l 的距离时，测量的是 PA（A 为直线 l 上一点，PA 不是垂线段）的长度，纠正：点到直线的距离是垂线段的长度，必须先作出垂线段再测量。
幻灯片 12：课堂练习
练习 1：判断下列说法是否正确。
（1）两条直线互相垂直，则它们所成的角都是 90°。（ ）
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（ ）
（3）垂线段最短。（ ）
（4）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段。（ ）
答案：（1）√；（2）√；（3）√；（4）×
练习 2：如图，直线 AB⊥CD，垂足为 O，∠AOE=35°，则∠COE=（ ）°。
答案：55
练习 3：如图，点 P 是直线 l 外一点，PA⊥l，垂足为 A，PB、PC 是连接点 P 与直线 l 上的点 B、C 的线段，若 PA=3cm，PB=5cm，PC=4cm，则点 P 到直线 l 的距离是（ ）cm。
答案：3
幻灯片 13：生活中的应用
实例 1：建筑工人在安装门框时，常用铅垂线来检查门框是否垂直于地面，利用了垂线的性质确保门框安装规范。
实例 2：高速公路上的指示牌，为了让司机清晰看到，指示牌的边缘与地面垂直，利用了垂直的特性保证信息传达的有效性。
实例 3：从楼上向地面引水，水管应尽量与地面垂直，这样能使水管最短，节省材料，利用了 “垂线段最短” 的性质。
幻灯片 14：课堂小结
垂线的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，交点是垂足。
垂线的表示：用 “⊥” 表示，如 AB⊥CD。
垂线的性质：
性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
幻灯片 15：作业布置
教材第 [X] 页习题 10.1 第 4、5、6 题。
观察生活中哪些地方应用了垂线的性质，写一篇简短的数学日记记录下来。
用直尺和三角板画出一个长 5cm、宽 3cm 的长方形（利用垂线的画法）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点）
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用
其解决问题. （重点、难点）
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？
在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当
b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
垂线的概念
1
问题 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，当∠AOC = 90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和补角的性质可知，当∠AOC = 90° 时，∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°.
两条直线相交所成的 4 个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
垂直的定义：
知识要点
如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD.
读作“AB 垂直于 CD”，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
互相垂直的两条直线的交点叫作垂足 (如图中的 O 点).
A
B
C
D
O
l
m
垂直的表示方法：
A
B
C
D
O
符号语言：
① 判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于
点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O.
因为∠AOD = 90°（已知），
所以 AB⊥CD（垂直的定义）.
② 性质：若直线 AB⊥CD，垂足为 O，则∠AOD = 90°.
因为 AB⊥CD（已知），
所以∠AOD = 90°（垂直的定义）.
(∠AOC =∠BOC =∠BOD = 90°)
垂线的定义延伸
符号语言：
例1 (1) 如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1=90°，则m n；
(2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =_____°；
(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝____°，∠BOC 的补角为 °.
O
m
n
1
B
C
A
O
⊥
90
72
162
图1
图2
典例精析
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动1：
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动2：
折一折，试一试
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?
例2 如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数．
解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠NOE＝40°.
所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°.
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.
所以∠AOM 和∠NOC 的度数分别为 50° 和 140°.
问题：
(1) 画已知直线 l 的垂线能画几条?
(2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条?
(3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条?
A
.B
l
.
垂线的画法及一个基本事实
2
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
1. 放
l
O
如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
A
无数条
2. 靠
3. 画
…
l
A
B
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
l
M
N
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 作 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
根据以上操作，你能得出什么结论
关于直线的垂线，有如下基本事实：
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：有时，我们说线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段所在直线、射线所在直线与该直线互相垂直.
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
要点归纳
C
D
E
1. 线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？
2. 你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从 A 点向已知直线 l 引一条垂直的线段 AD（即点 A 到直线 l 的垂线段）和几条不垂直的线段 AB，AC，AE.
B
l
A
点到直线的距离
3
连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 (点到直线的距离) 最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
特别规定：
D
l
A
如图，点 A 到直线 l 的距离是什么？
是垂线段 AD 的长
归纳总结
想一想： 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
1. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，
且∠AOC = ∠BOC.
那么直线 AB 与 CD 有什么位置关系? 为什么?
A
o
B
D
C
解：因为∠AOC =∠BOC，
而∠AOC +∠BOC =180° (平角的定义)，
故 AB 与 CD 互相垂直.
所以∠AOC =∠BOC = 90°，
2. 如图，在三角形 ABC 中， D 是 BC 中点，连接 AD，请分别画出自点 B，C 向 AD 所作的垂线. (垂足为点 E ，F ).
E
F
1星题 基础练
垂直
(第1题)
1.［知识初练］如图，直线????????，???????? 相交于
点????，若∠????????????=????????? ，则????????___???????? ；若
????????⊥???????? ，则
∠????????????=∠????????????=∠????????????=∠????????????= _____.
?
⊥
?
?????????
?
2.如图，????????⊥????????，若∠????=?????????????????′，则∠???? 的度数是( )
?
D
(第2题)
A.?????????????????′ B.?????????????????′ C.?????????????????′ D.?????????????????′
?
3.[2024·雅安中考] 如图，直线????????，???????? 交
于点????，????????⊥????????于点????，若∠????=????????? ，
则∠???? 的度数是( )
?
A
A.????????? B.????????? C.????????? D.?????????
?
垂线的画法
4. 过直线????外一点????画????的垂线???????? ，下列选项中操
作正确的是( )
?
D
A. B. C. D.
5.如图，三角形????????????外有一点????，画出点???? 到三角形三边的垂
线，交点分别为????、????、???? .
?
解：如图所示，????????,????????,???????? 即
为所求.
?
垂线的基本事实
6.如图，在一张透明的纸上画一条直线???? ，在
直线????外的纸面上任取一点????，并折出过点???? 且
与???? 垂直的直线.这样的直线能折出( )
?
B
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【变式题】 在平面内画已知直线???? 的垂线，能画出( )
?
D
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
7.[2024·杭州月考] 如图，在同一平面内，
????????⊥????，????????⊥????，垂足为????，则????????与????????
重合的理由是________________________
_____________________________.
?
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2星题 中档练
(第8题)
8.如图，直线????????,????????交于点???? ，
????????⊥????????于点????.若∠????????????=????????????? ，
则∠???????????? 的度数为_____.
?
?????????
?
9.如图，直线????????，????????相交于点????，????????⊥????????于点???? ，若
∠?????????????∠????????????=????????? ，那么∠???????????? 的度数为______.
?
?????????????
?
(第9题)
10.[2024·福州期末] 如图，从点???? 出
发的四条射线????????，????????，????????，???????? 满
足????????⊥????????，????????⊥???????? ，则下列结论
一定正确的是( )
?
B
A.∠????????????=∠????????????=????????? B.∠????????????+∠????????????=?????????????
C.∠?????????????∠????????????=????????? D.∠????????????+∠????????????=?????????
?
11.如图，直线????????与????????相交于点????，????????，????????
分别是∠????????????，∠???????????? 的平分线.
?
(1)∠???????????? 的补角有______________________；
?
∠????????????，∠????????????，∠????????????
?
(2)若∠????????????=????????? ，求∠????????????和∠???????????? 的度数；
?
解：因为????????是∠????????????的平分线，∠????????????=?????????，
所以∠????????????=????????∠????????????=????????? ，所以
∠????????????=??????????????∠????????????=???????????????????????=?????????????.
?
因为????????是∠???????????? 的平分线，
∠????????????=??????????????∠????????????=???????????????????????=?????????????， 所以
∠????????????=????????∠????????????=????????? .
?
(3)试问射线????????与???????? 之间有什么特殊的位置关系？请说明理由.
?
射线????????与????????互相垂直.理由：因为????????，???????? 分
别是∠????????????，∠???????????? 的平分线，所以
∠????????????=????????∠????????????,∠????????????=????????∠????????????,所以∠????????????=∠????????????+∠????????????=????????∠????????????+????????∠????????????=????????(∠????????????+∠????????????)=????????×?????????????=?????????.
所以????????⊥????????，即射线????????与???????? 互相垂直.
?
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的画法
3. 垂线的性质（两个基本事实）
(1) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2) 垂线段最短.
4. 点到直线的距离
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086