第6章 实数【章末复习】 课件（共39张PPT）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

(共39张PPT)
章末复习
第6章 实数
新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
第 6 章 实数 章末复习
知识梳理
平方根
概念：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫作\(a\)的平方根，也叫作二次方根。即如果\(x^2 = a\)，那么\(x\)叫作\(a\)的平方根。
性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
零的平方根是\(0\)。
负数没有平方根。
表示方法：正数\(a\)的平方根用 “\(\pm\sqrt{a}\)” 表示，其中正平方根记作 “\(\sqrt{a}\)”，读作 “根号\(a\)”；负平方根记作 “\(-\sqrt{a}\)”，读作 “负根号\(a\)”。
算术平方根：正数\(a\)的正平方根 “\(\sqrt{a}\)” 叫作\(a\)的算术平方根，\(0\)的算术平方根是\(0\)。算术平方根具有双重非负性，即\(\sqrt{a}\)中，\(a\geq0\)，\(\sqrt{a}\geq0\)。
开平方：求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方与开平方互为逆运算。
立方根
概念：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫作\(a\)的立方根，也叫作三次方根。即如果\(x^3 = a\)，那么\(x\)叫作\(a\)的立方根。
性质：
正数的立方根是正数。
负数的立方根是负数。
\(0\)的立方根是\(0\)。
每个数都有且只有一个立方根。
表示方法：数\(a\)的立方根记作 “\(\sqrt[3]{a}\)”，读作 “三次根号\(a\)”，其中根指数\(3\)不能省略。
特殊性质：\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)，即负数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数。
开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方与开立方互为逆运算。
实数
无理数：无限不循环小数叫作无理数。常见类型有开方开不尽的数的方根、特定结构的无限不循环小数、圆周率\(\pi\)及含\(\pi\)的数等。
实数概念：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点一一对应。
实数分类：
按定义分：实数分为有理数（整数、分数）和无理数。
按性质分：实数分为正实数、\(0\)、负实数，正实数和负实数又分别包括正有理数、正无理数和负有理数、负无理数。
实数的大小比较：
数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。
法则比较法：正数大于\(0\)，负数小于\(0\)，正数大于负数；两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的数反而小；含根号正数可比较平方大小。
实数的运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用，运算顺序为先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次进行，有括号先算括号里面的。
实数的性质：
相反数：实数\(a\)的相反数是\(-a\)，若\(a\)与\(b\)互为相反数，则\(a + b=0\)。
绝对值：正实数的绝对值是本身，负实数的绝对值是相反数，\(0\)的绝对值是\(0\)。
倒数：乘积为\(1\)的两个实数互为倒数，\(0\)没有倒数。
易错点分析
平方根与算术平方根混淆：平方根是互为相反数的两个数（\(0\)除外），而算术平方根只是其中的正数，例如\(4\)的平方根是\(\pm2\)，算术平方根是\(2\)，不能说\(4\)的平方根是\(2\)。
忽略平方根的双重非负性：在\(\sqrt{a}\)中，\(a\geq0\)且\(\sqrt{a}\geq0\)，解题时容易忽略被开方数的非负性，例如在\(\sqrt{x - 2}\)中，要保证\(x - 2\geq0\)即\(x\geq2\)。
立方根符号问题：负数的立方根是负数，容易错误地认为负数没有立方根，实际上任何数都有立方根，例如\(-8\)的立方根是\(-2\)。
无理数判断错误：认为带根号的数都是无理数，实际上开方开得尽的数是有理数，例如\(\sqrt{4}=2\)是有理数；也不要认为无限小数都是无理数，无限循环小数是有理数。
实数运算顺序错误：在进行实数混合运算时，要遵循运算顺序，先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，避免因顺序错误导致结果出错。
综合例题讲解
例 1
求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）\(64\)；（2）\(0.25\)；（3）\((-3)^2\)
解：
（1）因为\((\pm8)^2 = 64\)，所以\(64\)的平方根是\(\pm8\)，算术平方根是\(8\)。
（2）因为\((\pm0.5)^2=0.25\)，所以\(0.25\)的平方根是\(\pm0.5\)，算术平方根是\(0.5\)。
（3）\((-3)^2 = 9\)，因为\((\pm3)^2 = 9\)，所以\((-3)^2\)的平方根是\(\pm3\)，算术平方根是\(3\)。
例 2
求下列各数的立方根：
（1）\(-125\)；（2）\(0.008\)；（3）\(\frac{27}{64}\)
解：
（1）因为\((-5)^3=-125\)，所以\(-125\)的立方根是\(-5\)，即\(\sqrt[3]{-125}=-5\)。
（2）因为\(0.2^3 = 0.008\)，所以\(0.008\)的立方根是\(0.2\)，即\(\sqrt[3]{0.008}=0.2\)。
（3）因为\((\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}\)，所以\(\frac{27}{64}\)的立方根是\(\frac{3}{4}\)，即\(\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{3}{4}\)。
例 3
把下列各数分别填入相应的集合里：\(3.14\)，\(-\sqrt{5}\)，\(0\)，\(\sqrt[3]{8}\)，\(\pi\)，\(-\frac{22}{7}\)，\(0.1010010001 \)（相邻两个\(1\)之间\(0\)的个数逐次加\(1\)）
有理数集合：\(\{\quad\}\)
无理数集合：\(\{\quad\}\)
正实数集合：\(\{\quad\}\)
负实数集合：\(\{\quad\}\)
解：
先化简\(\sqrt[3]{8}=2\)。
有理数集合：\(\{3.14, 0, \sqrt[3]{8}, -\frac{22}{7}\}\)
无理数集合：\(\{-\sqrt{5}, \pi, 0.1010010001 \)（相邻两个\(1\)之间\(0\)的个数逐次加\(1\)）\(\}\)
正实数集合：\(\{3.14, \sqrt[3]{8}, \pi, 0.1010010001 \)（相邻两个\(1\)之间\(0\)的个数逐次加\(1\)）\(\}\)
负实数集合：\(\{-\sqrt{5}, -\frac{22}{7}\}\)
例 4
比较下列各组数的大小：
（1）\(\sqrt{13}\)和\(4\)；（2）\(-\sqrt{7}\)和\(-2.6\)；（3）\(3\sqrt{2}\)和\(2\sqrt{3}\)
解：
（1）因为\((\sqrt{13})^2 = 13\)，\(4^2 = 16\)，\(13<16\)，所以\(\sqrt{13}<4\)。
（2）因为\(\vert-\sqrt{7}\vert=\sqrt{7}\approx2.645\)，\(\vert-2.6\vert = 2.6\)，\(2.645>2.6\)，所以\(-\sqrt{7}<-2.6\)。
（3）因为\((3\sqrt{2})^2=9\times2 = 18\)，\((2\sqrt{3})^2=4\times3=12\)，\(18>12\)，所以\(3\sqrt{2}>2\sqrt{3}\)。
例 5
计算下列各式：
（1）\(\sqrt{25}-\sqrt[3]{27}+\vert-\sqrt{9}\vert\)；（2）\((\sqrt{5}+\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}\)；（3）\((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\)
解：
（1）\(\sqrt{25}-\sqrt[3]{27}+\vert-\sqrt{9}\vert=5 - 3+\vert-3\vert=5 - 3 + 3=5\)。
（2）\((\sqrt{5}+\sqrt{3})-2\sqrt{3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)。
（3）\((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2 - 1=1\)。
例 6
已知\(\vert x - 2\vert+\sqrt{y + 3}=0\)，求\(x + y\)的立方根。
解：
因为\(\vert x - 2\vert\geq0\)，\(\sqrt{y + 3}\geq0\)，且\(\vert x - 2\vert+\sqrt{y + 3}=0\)，所以\(\vert x - 2\vert=0\)，\(\sqrt{y + 3}=0\)。
即\(x - 2=0\)，\(y + 3=0\)，解得\(x = 2\)，\(y=-3\)。
则\(x + y=2+(-3)=-1\)，\(-1\)的立方根是\(-1\)，所以\(x + y\)的立方根是\(-1\)。
巩固练习
填空题
（1）\(16\)的平方根是______，算术平方根是______。
（2）\(-8\)的立方根是______，\(0\)的立方根是______。
（3）在实数\(\sqrt{7}\)，\(0\)，\(-\pi\)，\(3.1415\)，\(-\sqrt{25}\)中，无理数有______。
（4）比较大小：\(\sqrt{5}\)\(2.3\)；\(-\sqrt{3}\)\(-1.7\)。
（5）若\(a\)的算术平方根是\(3\)，则\(a=\)______。
选择题
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数都是无理数
B. 带根号的数都是无理数
C. 无理数是无限不循环小数
D. 实数包括正实数和负实数
（2）下列计算正确的是（ ）
A. \(\sqrt{4}=\pm2\)
B. \(\sqrt[3]{-8}=2\)
C. \(\sqrt{(-3)^2}=-3\)
D. \(\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1\)
（3）若\(x^2=16\)，则\(5 - x\)的平方根是（ ）
A. \(\pm1\)
B. \(\pm3\)
C. \(1\)或\(9\)
D. \(\pm1\)或\(\pm3\)
解答题
（1）求下列各数的平方根和立方根：
① \(100\)；② \(-\frac{1}{64}\)
（2）计算：\(\sqrt{36}+\sqrt[3]{-64}-\sqrt{(-2)^2}+\vert\sqrt{2}-1\vert\)
（3）已知\(2a - 1\)的平方根是\(\pm3\)，\(3a + b - 1\)的算术平方根是\(4\)，求\(a + 2b\)的值。
（4）比较\(\sqrt{11}-2\)与\(1\)的大小，并说明理由。
参考答案
填空题
（1）\(\pm4\)，\(4\)
（2）\(-2\)，\(0\)
（3）\(\sqrt{7}\)，\(-\pi\)
（4）\(>\)，\(<\)
（5）\(9\)
选择题
（1）C
（2）D
（3）D
解答题
（1）① \(100\)的平方根是\(\pm10\)，立方根是\(\sqrt[3]{100}\)；② \(-\frac{1}{64}\)没有平方根，立方根是\(-\frac{1}{4}\)。
（2）\(\sqrt{36}+\sqrt[3]{-64}-\sqrt{(-2)^2}+\vert\sqrt{2}-1\vert=6-4 - 2+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}-1\)。
（3）因为\(2a - 1\)的平方根是\(\pm3\)，所以\(2a - 1=9\)，解得\(a = 5\)。又因为\(3a + b - 1\)的算术平方根是\(4\)，所以\(3a + b - 1=16\)，将\(a = 5\)代入得\(15 + b - 1=16\)，解得\(b = 2\)。则\(a + 2b=5 + 4=9\)。
（4）因为\(\sqrt{9}=3\)，\(\sqrt{16}=4\)，所以\(3<\sqrt{11}<4\)，则\(\sqrt{11}-2>3 - 2=1\)，所以\(\sqrt{11}-2>1\) 。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 平方根的概念及性质
2. 算术平方根的概念及性质
(2) 性质：一个正数 a 的平方根有两个，它们互为 相反数；0 的平方根是 0，负数没有平方根.
(2) 性质：0 的算术平方根是 0，只有非负数才有
算术平方根，且算术平方根也是非负数.
一、平方根
(1) 定义：若 r2 = a，则 r 叫做 a 的一个平方根.
(1) 定义：一个正数a 的正平方根叫做 a 的算术平方根.
1. 立方根的概念及性质
(1)定义：如果 b3 = a，那么 b 叫做 a 的立方根.
二、立方根
(2)性质：每一个实数都有一个与它本身符号相同的立方根.
2. 用计算器求立方根
用计算器求一个数 a 的立方根，其按键顺序为
SHIFT
a
=
三、实数
1. 实数的分类
无理数：
无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数
实数
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果
有规律但不循环的无限小数
……
化简后含有 的数
按定义分：
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
按符号分类：
0
负无理数
正无理数
正实数
负实数
0
1
2. 实数与数轴
(1) 实数和数轴上的点是一一对应的关系；
(2) 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.
3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则
同样适用.
【例1】1. 求下列各数（式）的平方根：
2. 求下列各数（式）的立方根：
【归纳拓展】解题时，要注意题目的要求，是求平方根、立方根还是求算术平方根，要注意所求结果处理.
答案：(1) ；(2) ；(3)±10.
答案：(1) ；(2)0.3；(3) .
考点一 平方根与立方根
1.求下列各式的值：
答案：① 20；② ；③ ；④ .
针对训练
例2 已知一个正数的两个平方根分别是 a + 3 和 2a -18，求这个正数.
解：根据平方根的性质，有 a + 3 + 2a - 18 = 0，
解得 a = 5. 所以 a + 3 = 8，82 = 64.
所以这个正数是 64.
方法总结： 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个非负数的算术平方根只有一个. 另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.
3. 的平方根是（ ）
A. 4 B. 2 C.±2 D.±4
2. 下列说法正确的有（ ）
① -64 的立方根是 -4；
② 49 的算术平方根是±7；
③ 的立方根是 ；
④ 的平方根是 .
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
C
针对训练
例3 若 a，b 为实数且 + |b-1| = 0，则 (ab)2023 = .
4. 若 与 (b - 27)2 互为相反数，则 .
-5
【解析】先根据非负式的性质求出 a，b 的值，再根据乘方的定义求出 (ab)2023 的值. ∵ + |b - 1| = 0，∴ a + 1 = 0，且 b - 1 = 0. ∴ a = -1，b = 1.
∴ (ab)2023 = (-1×1)2023 = (-1)2023 = -1.
-1
针对训练
例4 在实数 ， ， 中，分数有 （ ）
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
C
【解析】 是分数； 虽然含有分母 2，但它的分子是无理数 ，所以是无理数；同理 也是无理数.
考点二 实数的概念及性质
例5 如图所示，数轴上的点 A，B 分别对应实数 a，b，下列结论正确的是（ ）
A. a > b B. | a | > | b | C. -a < b D. a + b < 0
b
a
0
B
A
C
【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故 A 不正确；
根据点 A，B 与原点的距离知 | a |<| b |，B 不正确；
-a > 0，根据 | a | < | b |，知 -a < b，C 正确，D不正确.
5. 实数 π， ，0，-1 中，无理数是 ( )
A. π B. C. 0 D. -1
A
6. 若 | a | = -a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在 ( )
A. 原点左侧 B. 原点或原点左侧
C. 原点右侧 D. 原点或原点右侧
B
针对训练
例6 估计 的值在（ ）
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
B
【解析】因为4<6<9,所以
因此 的值在 3 到 4 之间. 故选 B.
方法总结：像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知数的平方作比较.
考点三 实数的计算及估算
7. 满足 的整数 x 是 .
8. 规定用符号[ x ]表示一个实数 x 的整数部分，例如：
[ 3.14 ] = 3， = 0. 按此规定 [ ] 的值为 .
针对训练
例7 计算 .
【解析】对于被开方数是带分数的二次根式，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方运算.
9. 计算 .
______
针对训练
大单元整合复方根、算术平方根、立方根
1.[2024·宣城期中] 下列各式正确的为( )
D
A. B.
C. D.
2.9的算术平方根是( )
A
A.3 B. C. D.
3.121的平方根为_____， 的立方根为____.
4.[2024·安庆期末] 已知，则 的值
是______.
5.[2024·宿州月考] 已知为4的算术平方根，2为
的立方根.
(1)求， 的值；
解：因为为4的算术平方根，2为 的立方根，所
以，，解得， .
(2)求 的平方根.
因为，，所以 ，所
以的平方根是 .
实数的相关概念及分类
6.[2024·烟台中考] 下列实数中的无理数是( )
C
A. B.3.14 C. D.
7.的绝对值是________， 的相反数是_________，
的倒数是______.
8.把下列各数分别填入相应的横线上：
，，，，0，，， .
有理数：____________________________；
负无理数：____________；
正实数：_______________.
，，0， ，
，
，，
9.若与互为相反数，求 的值.
解：因为与互为相反数，所以 与
互为相反数，所以 ,
所以.又,所以 .
实数与数轴上点的对应关系
10.若将，， 表示在如图所示的数轴上，则其中
能被墨迹覆盖的数是( )
A
A. B. C. D.都不可能
11.如图，数轴上表示的点为点，若点 为在数轴上到点
的距离为1个单位长度的点，则点 所表示的数是( )
D
A. B.
C.或 D.或
实数的估算及大小比较
12.下列四个实数中最小的是( )
A
A. B.0 C. D.
13.估计 的值应在( )
C
A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间
14.设，， ，则( )
A
A. B. C. D.
15.比较大小：___(填“ ”“ ”或“ ”).
16.[2024·宣城期中] 满足的整数 有___个.
4
17. 估算法的步骤
问题：求与 最接近的整数.
与 最接近的整数是___.
6
实数的相关计算
18. 的值为( )
C
A.5 B. C.1 D.
19.计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
数学思想
20. ［转化思想］如图是 的正方形网格，
每个小正方形的边长都为1，阴影部分是正方
形，且顶点在格点上，求该阴影正方形的边长.
解：因为阴影正方形的面积为 ，
所以该阴影正方形的边长为 .
21. ［分类讨论思想］比较,， 的大小.
解：由题易得.当时， ;
当时，;当时， .
易错题
22. 的平方根是_______.
或4
易忽略原式化简而致错.
23.若与是某一个正数的平方根，则 的值是
_____.
2或
题中未指出两平方根相同或互为相反数，需分类
讨论.
聚焦安徽中考
24.[2022·安徽中考] 下列为负数的是( )
D
A. B. C.0 D.
25.[2023·安徽中考] 计算： ___.
3
26.[2024·安徽中考] 我国古代数学家张衡将圆周率取值为
，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较
大小：___(填“ ”或“ ”).
取非负
平方
开方
平方根
立方根
开平方
开立方
互为逆运算
算术平方根
实数
有理数
无理数
运算
立方
互为逆运算
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阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086