第二十一章 一元二次方程 单元测试（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版
文档属性
| 名称 | 第二十一章 一元二次方程 单元测试（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 83.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 19:12:28 | ||
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文档简介
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第二十一章 一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（2025秋 碧江区 期中）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
3．（2025秋 碧江区 期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+4＝7 B．
C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0
4．（2025秋 固安县期中）一元二次方程x（x﹣3）+1＝2x化成一般形式后，二次项的系数为m，一次项的系数为n，常数项是1，则点（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025秋 江北区校级期中）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝6 B．
C． D．
6．（2025秋 海南期中）将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝10
7．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
8．（2025秋 长治期中）太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，则参加人数的月平均增长率为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有 个人患流感．
10．（2025 固原一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝ ．
11．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
12．（2025秋 山阳县期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
13．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
15．（2025秋 集美区校级期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为 元；
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题．
第二十一章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】B．
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵x2﹣2kx＝4x﹣1不含x的一次项，
∴﹣2k﹣4＝0，
解得k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
2．（2025秋 碧江区 期中）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据一元二次方程的定义得出k≠0，再由方程有实数根，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，最后联立得到结果．
【解答】解：由条件可知k≠0．判别式 Δ≥0．
其中 Δ＝32﹣4 k （﹣2）＝9+8k，
∴9+8k≥0，即 8k≥﹣9，
∴．
综上， 且 k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定k≠0，再结合根的判别式求出k的取值范围．
3．（2025秋 碧江区 期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+4＝7 B．
C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项．
【解答】解：A．xy+4＝7含有两个未知数，不符合定义，不符合题意；
B．分母中含未知数，不是整式方程，不符合定义，不符合题意；
C．x2+3x﹣5＝0只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合定义，符合题意；
D．ax2+bx+c＝0中a＝0时不是二次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2025秋 固安县期中）一元二次方程x（x﹣3）+1＝2x化成一般形式后，二次项的系数为m，一次项的系数为n，常数项是1，则点（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一元二次方程的一般形式；点的坐标．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先把方程x（x﹣3）+1＝2x化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），然后确定m和n的值，最后判断点（m，n）所在象限．
【解答】解：将方程x（x﹣3）+1＝2x展开并整理：x2﹣5x+1＝0，
则点（m，n）为（1，﹣5），
因为横坐标1＞0，纵坐标﹣5＜0，
所以该点在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是将给定方程化为一般形式，确定二次项系数和一次项系数．
5．（2025秋 江北区校级期中）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝6 B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据矩形的面积公式列出方程即可．
【解答】解：根据题意，列方程为x（x+1）＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
6．（2025秋 海南期中）将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝10
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式解答即可．
【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝1，
配方得x2﹣6x+9＝1+9 （两边加一次项系数一半的平方），
故配方后的方程为 （x﹣3）2＝10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据新定义得到x （x﹣k）﹣2×4＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x （x﹣k）﹣2×4＝0，
整理得x2﹣kx﹣8＝0，
∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2025秋 长治期中）太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，则参加人数的月平均增长率为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】设参加人数的月平均增长率为x，根据2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设参加人数的月平均增长率为x，
根据题意得：120（1+x）2＝270，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去），
即参加人数的月平均增长率为50%，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有 125 个人患流感．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】其他问题；推理能力．
【答案】125．
【分析】根据两轮传染后的总人数列出方程，求解即可．
【解答】解：（1+x）2＝25，
解得x＝4或﹣6（舍去），
25+25×4＝125人．
故答案为：125．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题的公式并应用，是解决本题的关键．
10．（2025 固原一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝ ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意把x＝1代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0中，得
a2＝1，
∴a＝±1，
由题意得：
a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
11．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 1200（1+x）2＝1452 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1200（1+x）2＝1452．
【分析】设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：1200（1+x）2＝1452，
故答案为：1200（1+x）2＝1452．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
12．（2025秋 山阳县期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0．
【解答】解：由题意可知：x的最高次数为2，即m2﹣2＝2，
m2＝4，
∴m＝±2．
又因为m≠2，
故m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键．
13．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ﹣8 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣5﹣3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）△ABC的周长是9．
【分析】（1）由方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k﹣2）2≥0，进而可证出：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）将k＝4代入原方程，可得出原方程为x2﹣6x+8＝0，利用根与系数的关系，可得出b+c＝6，再结合三角形的周长公式，即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当k＝4时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
∵b，c是这个方程的两个根，
∴b+c＝6，
∴a+b+c＝3+6＝9．
答：△ABC的周长是9．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为，两根之积等于”．
15．（2025秋 集美区校级期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为 320 元；
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题．
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）320；
（2）单价应定为8元．
【分析】（1）根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润＝每千克的利润×销售数量即可得出答案；
（2）该水果单价应定为x元/千克，根据题意列出一元二次方程解答，再结合为了让利于顾客，即可得出答案．
【解答】解：（1）当定价为13元/千克时，
此时可以卖出：160﹣（13﹣7）×20＝160﹣120＝40（千克），
利润为：（13﹣5）×40＝8×40＝320（元），
（2）该水果单价应定为x元/千克，
由题意知，（x﹣5）[160﹣20（x﹣7）]＝420，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得x1＝12，x2＝8．
∵为了让利于顾客，
∴x＝8，
答：单价应定为8元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
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第二十一章 一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（2025秋 碧江区 期中）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
3．（2025秋 碧江区 期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+4＝7 B．
C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0
4．（2025秋 固安县期中）一元二次方程x（x﹣3）+1＝2x化成一般形式后，二次项的系数为m，一次项的系数为n，常数项是1，则点（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025秋 江北区校级期中）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝6 B．
C． D．
6．（2025秋 海南期中）将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝10
7．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
8．（2025秋 长治期中）太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，则参加人数的月平均增长率为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有 个人患流感．
10．（2025 固原一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝ ．
11．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
12．（2025秋 山阳县期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
13．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
15．（2025秋 集美区校级期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为 元；
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题．
第二十一章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】B．
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵x2﹣2kx＝4x﹣1不含x的一次项，
∴﹣2k﹣4＝0，
解得k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
2．（2025秋 碧江区 期中）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据一元二次方程的定义得出k≠0，再由方程有实数根，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，最后联立得到结果．
【解答】解：由条件可知k≠0．判别式 Δ≥0．
其中 Δ＝32﹣4 k （﹣2）＝9+8k，
∴9+8k≥0，即 8k≥﹣9，
∴．
综上， 且 k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定k≠0，再结合根的判别式求出k的取值范围．
3．（2025秋 碧江区 期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+4＝7 B．
C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项．
【解答】解：A．xy+4＝7含有两个未知数，不符合定义，不符合题意；
B．分母中含未知数，不是整式方程，不符合定义，不符合题意；
C．x2+3x﹣5＝0只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合定义，符合题意；
D．ax2+bx+c＝0中a＝0时不是二次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2025秋 固安县期中）一元二次方程x（x﹣3）+1＝2x化成一般形式后，二次项的系数为m，一次项的系数为n，常数项是1，则点（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一元二次方程的一般形式；点的坐标．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先把方程x（x﹣3）+1＝2x化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），然后确定m和n的值，最后判断点（m，n）所在象限．
【解答】解：将方程x（x﹣3）+1＝2x展开并整理：x2﹣5x+1＝0，
则点（m，n）为（1，﹣5），
因为横坐标1＞0，纵坐标﹣5＜0，
所以该点在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是将给定方程化为一般形式，确定二次项系数和一次项系数．
5．（2025秋 江北区校级期中）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝6 B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据矩形的面积公式列出方程即可．
【解答】解：根据题意，列方程为x（x+1）＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
6．（2025秋 海南期中）将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝10
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式解答即可．
【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝1，
配方得x2﹣6x+9＝1+9 （两边加一次项系数一半的平方），
故配方后的方程为 （x﹣3）2＝10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据新定义得到x （x﹣k）﹣2×4＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x （x﹣k）﹣2×4＝0，
整理得x2﹣kx﹣8＝0，
∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2025秋 长治期中）太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，则参加人数的月平均增长率为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】设参加人数的月平均增长率为x，根据2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设参加人数的月平均增长率为x，
根据题意得：120（1+x）2＝270，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去），
即参加人数的月平均增长率为50%，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有 125 个人患流感．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】其他问题；推理能力．
【答案】125．
【分析】根据两轮传染后的总人数列出方程，求解即可．
【解答】解：（1+x）2＝25，
解得x＝4或﹣6（舍去），
25+25×4＝125人．
故答案为：125．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题的公式并应用，是解决本题的关键．
10．（2025 固原一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝ ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意把x＝1代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0中，得
a2＝1，
∴a＝±1，
由题意得：
a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
11．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 1200（1+x）2＝1452 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1200（1+x）2＝1452．
【分析】设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：1200（1+x）2＝1452，
故答案为：1200（1+x）2＝1452．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
12．（2025秋 山阳县期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0．
【解答】解：由题意可知：x的最高次数为2，即m2﹣2＝2，
m2＝4，
∴m＝±2．
又因为m≠2，
故m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键．
13．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ﹣8 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣5﹣3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）△ABC的周长是9．
【分析】（1）由方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k﹣2）2≥0，进而可证出：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）将k＝4代入原方程，可得出原方程为x2﹣6x+8＝0，利用根与系数的关系，可得出b+c＝6，再结合三角形的周长公式，即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当k＝4时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
∵b，c是这个方程的两个根，
∴b+c＝6，
∴a+b+c＝3+6＝9．
答：△ABC的周长是9．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为，两根之积等于”．
15．（2025秋 集美区校级期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为 320 元；
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题．
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）320；
（2）单价应定为8元．
【分析】（1）根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润＝每千克的利润×销售数量即可得出答案；
（2）该水果单价应定为x元/千克，根据题意列出一元二次方程解答，再结合为了让利于顾客，即可得出答案．
【解答】解：（1）当定价为13元/千克时，
此时可以卖出：160﹣（13﹣7）×20＝160﹣120＝40（千克），
利润为：（13﹣5）×40＝8×40＝320（元），
（2）该水果单价应定为x元/千克，
由题意知，（x﹣5）[160﹣20（x﹣7）]＝420，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得x1＝12，x2＝8．
∵为了让利于顾客，
∴x＝8，
答：单价应定为8元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
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