24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

中小学教育资源及组卷应用平台
24.1.2 垂直于弦的直径
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 通辽期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
2．（2025秋 临洮县期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝24，OC＝13，则OD的长是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．
3．（2025秋 浙江期中）下列说法正确的有（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧
D．弧分为优弧和劣弧
4．（2025 惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　）
A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm
5．（2025 新蔡县三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．（2025 泸县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（　　）cm．
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2024秋 白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A． B．4m C．5m D．6m
8．（2025秋 绥滨县期中）如图所示，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB＝1，四边形ABDC的面积最大值为（　　）
A．． B． C． D．．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 吴兴区校级期中）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径是　 　 m．
10．（2025秋 哈尔滨期中）如图，CD为⊙O的直径，CD＝10，弦AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则弦AB＝　 　 ．
11．（2025秋 绍兴期中）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，AB＝10，CD＝8，则线段AC的长为 　 　 ．
12．（2025秋 龙沙区期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝2，则两条弦之间的距离为　 　 ．
13．（2025秋 绍兴期中）如图，△ABC内接于直径为的圆O，将弦AC顺时针旋转得到弦AD，且AD⊥BC，若AC＝5，则AB＝ 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 滨海新区期中）如图，AD为圆O的直径，E为弦BC的中点，连接AB，AC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）连接BD，CD，若AD＝8，四边形ABDC的面积为24，求DE的长．
15．（2024秋 志丹县期末）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝18cm，碗深CD＝6cm，求OA的长．
24.1.2 垂直于弦的直径
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 通辽期中）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】连接OA，设⊙O的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到r2＝（r﹣4）2+82，解方程即可．
【解答】解：CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，
连接OA，设⊙O的半径是r，
∵OD⊥AB，
∴AE＝BE＝8，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴CD＝2r＝20，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于⊙O的半径的方程．
2．（2025秋 临洮县期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝24，OC＝13，则OD的长是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OA，由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理解答即可．
【解答】解：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB＝24，OC＝13，连接OA，
∴，OA＝OC＝13，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2025秋 浙江期中）下列说法正确的有（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧
D．弧分为优弧和劣弧
【考点】垂径定理；圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理，等弧的定义，圆的弦的定义，即可判断．
【解答】解：A、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误；
B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确；
C、能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误；
D、一条弦把圆分成两条弧，两条弧可能都是半圆，故原命题错误；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，垂径定理，圆的认识，关键是掌握垂径定理，等弧的定义，圆的弦的定义．
4．（2025 惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　）
A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AB、CD交于点D，
由题意得，OC⊥AB，则，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，
即R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
则该铁球的直径为10cm，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
5．（2025 新蔡县三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】根据点P的位置，OP为半径时，最长，OP⊥AB时，最短，求出OP的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；
当OP⊥AB时，由垂线段最短，可知此时OP最短，
∵OP⊥AB，
∴，
∴，
∴3≤OP≤5，
∴OP的长可能是4；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意得出当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；当OP⊥AB时，由垂线段最短是解题的关键．
6．（2025 泸县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE＝（　　）cm．
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】利用垂径定理得到再利用勾股定理计算出OE＝3cm，然后计算OB﹣OE即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴OB＝OC＝5cm，
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE＝4cm，
在Rt△OCE中，OC＝5cm，
∴，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．能够利用垂径定理解决问题是解题的关键．
7．（2024秋 白云区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A． B．4m C．5m D．6m
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设该桨轮船的轮子半径为r，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB，
∴AD＝DBAB＝2m，
设该桨轮船的轮子半径为rm，
在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2
即r2＝（r﹣1）2+22，
解得：，
∴该桨轮船的轮子直径为2＝5（m），
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2025秋 绥滨县期中）如图所示，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB＝1，四边形ABDC的面积最大值为（　　）
A．． B． C． D．．
【考点】垂径定理；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位线定理可知，HF（AE+BG），进而可得出结论．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，如图，
∵AB＝1，⊙O的半径＝1，
∴OH，
∵垂线段最短，
∴HF＜OH，
∴HF（AE+BG），
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S△AOB+S△BOD1×AE11×BG
AEBG
（AE+BG）
＝HFOH．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 吴兴区校级期中）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径是　1.3　 m．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】1.3．
【分析】设半径为rm，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【解答】解：设圆的半径为rm，
由题意可知，DFCDm，EF＝2.5m，
Rt△OFD中，OF，r+OF＝2.5，
∴r＝2.5，
解得r＝1.3．
故答案为：1.3．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．
10．（2025秋 哈尔滨期中）如图，CD为⊙O的直径，CD＝10，弦AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则弦AB＝　8　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】连接OA，因为CD为⊙O的直径，CD＝10，所以OA＝OC＝5，由弦AB⊥CD于点M，得∠OMA＝90°，AM＝BM，因为OM：OC＝3：5，所以OMOC＝3，则AM4，求得AB＝2AM＝8，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，CD＝10，
∴OA＝OCCD10＝5，
∵弦AB⊥CD于点M，
∴∠OMA＝90°，AM＝BM，
∵OM：OC＝3：5，
∴OMOC5＝3，
∴AM4，
∴AB＝2AM＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
11．（2025秋 绍兴期中）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，AB＝10，CD＝8，则线段AC的长为 　4　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】4．
【分析】连接OD，由CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，得CE＝DE，∠AEC＝∠OED＝90°，而AB＝10，CD＝8，则OA＝OD＝5，CE＝DE＝4，所以OE3，则AE＝OA+OE＝8，求得AC4，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OD，
∵CD是圆O的弦，直径AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，∠AEC＝∠OED＝90°，
∵AB＝10，CD＝8，
∴OA＝ODAB＝5，CE＝DECD＝4，
∴OE3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AC4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
12．（2025秋 龙沙区期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝2，则两条弦之间的距离为　或　 ．
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】计算题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，
∵AB＝2，CD＝2，
∴AF＝1，CE，
∵OA＝OC＝2，
∴EO＝1，OF，
∴EF＝OF﹣OE；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，
∵AB＝2，CD＝2，
∴AE＝1，CF，
∵OA＝OC＝2，
∴EO，OF＝1，
∴EF＝OF+OE；
综上所述：AB和CD之间的距离为或．
故答案为：或1．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
13．（2025秋 绍兴期中）如图，△ABC内接于直径为的圆O，将弦AC顺时针旋转得到弦AD，且AD⊥BC，若AC＝5，则AB＝ 　　 ．
【考点】垂径定理；旋转的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接并延长AO交⊙O于点F，连接CD、CF、DF，则∠ADF＝∠ACF＝90°，AF，由旋转得AD＝AC＝5，则DF＝CF2，所以S△ADF＝S△ACF5×2＝5，则S四边形ADFC＝10，可证明AF垂直平分CD，由S四边形ADFCCD＝10，求得CD，因为AD⊥BC于点E，所以∠AEB＝∠AEC＝∠DEC＝90°，由勾股定理得52﹣AE2（5﹣AE）2＝CE2，求得AE，再证明△AEB∽△ACF，得，则ABAF，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接并延长AO交⊙O于点F，连接CD、CF、DF，
∵AF是⊙O的直径，且⊙O的直径为，
∴∠ADF＝∠ACF＝90°，AF，
∵将弦AC顺时针旋转得到弦AD，AC＝5，
∴AD＝AC＝5，
∴DF＝CF2，
∴S△ADF＝S△ACF5×2＝5，
∴S四边形ADFC＝S△ADF+S△ACF＝5+5＝10，
∵AD＝AC，DF＝CF，
∴点A、点F都在CD的垂直平分线上，
∴AF垂直平分CD，
∴S四边形ADFCCD＝10，
∴CD，
∵AD⊥BC于点E，DE＝5﹣AE，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠DEC＝90°，
∴AC2﹣AE2＝CD2﹣DE2＝CE2，
∴52﹣AE2（5﹣AE）2，
∴AE，
∵∠AEB＝∠ACF，∠B＝∠AFC，
∴△AEB∽△ACF，
∴，
∴ABAF，
故答案为：．
【点评】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、旋转的性质、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 滨海新区期中）如图，AD为圆O的直径，E为弦BC的中点，连接AB，AC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）连接BD，CD，若AD＝8，四边形ABDC的面积为24，求DE的长．
【考点】垂径定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）证明：∵E为弦BC的中点，AD为直径，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）．
【分析】（1）由垂径定理得AD⊥BC，BE＝CE，然后由线段垂直平分线的性质可得答案；
（2）连接OB，由AD＝8，四边形ABDC的面积为24，得BC＝6，在Rt△OBE中，由勾股定理求出，然后根据DE＝OD﹣OE即可求解．
【解答】（1）证明：∵E为弦BC的中点，AD为直径，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）解：如图，连接OB，
由条件可知，
∴BC＝6，
∴BE＝3，
∵AD＝8，则OB＝OD＝4，
在Rt△OBE中，，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
15．（2024秋 志丹县期末）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝18cm，碗深CD＝6cm，求OA的长．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】三角形．
【答案】．
【分析】根据垂径定理得出，在Rt△OAC中，由勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：∵D是的中点，
∴OD⊥AB，
∴．
设OA＝rcm，
∵CD＝6cm，则OC＝（r﹣6）cm．
在Rt△OAC中，由勾股定理得OC2+AC2＝OA2，
即（r﹣6）2+92＝r2，解得，
∴OA的长为．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)