24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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24.1.3 弧、弦、圆心角
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 城中区校级期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦．你认为正确的共有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2025秋 牡丹江期中）如图，⊙O中，弦AB＝CD＝8cm，若AB⊥CD于点P，且，则⊙O的半径为（　　）
A．cm B．cm C．5cm D．6cm
3．（2024秋 凉州区期末）如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　）
A．65° B．55° C．110° D．60°
4．（2025秋 龙沙区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　）
A．4 B．5.5 C． D．
5．（2024秋 原阳县校级期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　）
A．32° B．48° C．60° D．64°
6．（2025 渭滨区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　）
A．130° B．80° C．65° D．50°
7．（2025秋 瑞安市期中）如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2AB时，求CD的长（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
8．（2025春 江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ．
9．（2024秋 滨城区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是　 　 ．
10．（2024秋 四平期末）如图，⊙O的直径AB＝4，半径OC⊥AB，点D在弧BC上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，若点E为OC的中点，弧CD的度数为 　 　 ．
11．（2024秋 荆州期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，D为优弧的中点，C为上一点，DE⊥AC于点E，DH⊥BC于点H，连结DB．若HB＝6，则DE＝ 　 　 ．
12．（2024秋 海伦市期末）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ．
13．（2024秋 清水县期末）如图，在⊙O中，，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 嵊州市期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2．求证：AC＝BD．
15．（2025秋 思明区校级期中）如图（1），AB，CD为⊙O的两条弦，且AB＝CD，连接AD，BC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）如图（2），若AB⊥CD，作OE⊥BC于E，求证：．
24.1.3 弧、弦、圆心角
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 城中区校级期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦．你认为正确的共有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】B
【分析】分别根据等弧的概念、圆的概念、圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理判断即可．
【解答】解：①能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故错误；
②直径是圆中最大的弦，正确；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误，
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
所以正确的共有1个．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系、等弧的概念等，掌握相关的定理、概念和性质是解题的关键．
2．（2025秋 牡丹江期中）如图，⊙O中，弦AB＝CD＝8cm，若AB⊥CD于点P，且，则⊙O的半径为（　　）
A．cm B．cm C．5cm D．6cm
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】过圆心O作AB，CD的垂线，利用垂径定理得弦的一半为4cm，结合AB⊥CD知四边形为矩形，再通过勾股定理先求弦心距的平方，最终求出圆的半径即可．
【解答】解：如图：过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，连接OA，OC，⊙O中，弦AB＝CD＝8cm，若AB⊥CD于点P，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴，
，
由条件可知四边形OEPF是正方形，
∴OE＝PF，OF＝PE，
设OE＝PF＝x＞0，OF＝PE＝y＞0，⊙O半径＝r，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2即x2+42＝r2 ①，
在Rt△OCF中，OF2+CF2＝OC2即y2+42＝r2 ②，
由①②可知x2＝y2，
∴x＝y，
，
，
∵x＝y，
∴2x2＝18，
解得x2＝9，
∵x2+42＝r2，
∴r2＝25，
∴r＝5cm．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的弦长性质与勾股定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造矩形和直角三角形，利用弦长、距离与半径的关系列方程求解．
3．（2024秋 凉州区期末）如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　）
A．65° B．55° C．110° D．60°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据已知可得：∠AOD＝70°，从而可得∠BOD＝110°，再根据已知易得：，从而可得∠DOC＝∠BOC∠DOB＝55°，即可解答．
【解答】解：∵70°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠DOC＝∠BOC∠DOB＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
4．（2025秋 龙沙区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　）
A．4 B．5.5 C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得出，从而得出CD＝BE＝8，再利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴，CG＝DG，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴CD＝BE＝8，
∴，
∵OG＝r﹣3，OD＝r，
∴42+（r﹣3）2＝r2，
解得，
∴⊙O的半径为．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2024秋 原阳县校级期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　）
A．32° B．48° C．60° D．64°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理推出∠BOD＝∠AOE＝32°，由对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝32°，即可求出∠COE的度数．
【解答】解：∵，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠AOC＝∠BOD＝32°，
∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝64°．
故选：D．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系定理．
6．（2025 渭滨区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　）
A．130° B．80° C．65° D．50°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆周角相等解答．
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°，
∵，
∴∠BOC＝∠BOD＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．
7．（2025秋 瑞安市期中）如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2AB时，求CD的长（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；函数的图象；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】连接OA，OB，OC，OD，作OE⊥CD，OF⊥AB，则，证明△OED≌△AFO，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设OE＝x，得到DE＝2x，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【解答】解：AB，CD是⊙O中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，
连接OA，OB，OC，OD，作OE⊥CD，OF⊥AB，则：OA＝OB＝OC＝OD，，，
∵，
∴∠COD+∠AOB＝180°，
∴∠DOE+∠AOF＝90°，
∵∠AOF+∠FAO＝90°，
∴∠FAO＝∠DOE，
∵∠DEO＝∠AFO＝90°，OD＝OA，
∴△OED≌△AFO，
∴，
∵CD＝2AB，
∴，
∵当x＝0时，y＝4，此时CD为直径，
∴圆O的直径为，
∴OD＝1，
设OE＝x，则DE＝2x，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【点评】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共6小题）
8．（2025春 江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　30°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，根据AB＝BC＝DA得到，得到∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，根据三角形的内角和列式计算即可．
【解答】解：连接BD、AC，
∵AB＝BC＝AD，
∴，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，
∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°，
解得，∠DBP＝15°．
∴的度数为30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2024秋 滨城区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是　116°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的性质；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1＝∠2，∠3＝∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵△ABC中∠BAC＝52°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3（180°﹣∠A）（180°﹣52°）＝64°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣64°＝116°．
故答案为：116°．
【点评】本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单．
10．（2024秋 四平期末）如图，⊙O的直径AB＝4，半径OC⊥AB，点D在弧BC上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，若点E为OC的中点，弧CD的度数为 　60°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】60°．
【分析】连接OG，交EF于点G，进而得出四边形OEDF是矩形，结合已知条件证明△DEG是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图，连接OD，交EF于点G，
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OEDF是矩形，
∴EF＝OD，
∴OG＝GD＝GF＝EG，
∵点E为OC的中点，OC＝OD，
∴，
∴OE＝OG＝EG，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴弧CD的度数为60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟知以上知识是解题的关键．
11．（2024秋 荆州期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，D为优弧的中点，C为上一点，DE⊥AC于点E，DH⊥BC于点H，连结DB．若HB＝6，则DE＝ 　　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】．
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，OB，CD，证明△ABD是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，根据三角形外接圆的性质可得点O在DG上，利用勾股定理求出OG＝3，进而得到DG＝8，利用勾股定理求出，，由圆周角定理得到∠DAE＝∠CBD，结合∠DEA＝∠DHB＝90°，AD＝BD，证明△ADE≌△BDH（AAS），推出即可．
【解答】解：过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，OB，CD，
由条件可知，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵DG⊥AB，AB＝8，
∴，
由条件可知点O在DG上，
∵⊙O的半径为5，
∴OB＝OD＝5，
∴，
∴DG＝OG+OD＝8，
∴，
∵DH⊥BC于点H，HB＝6，
∴∠BHD＝90°，
∴，
∵，
∴∠DAE＝∠CBD，
∵∠DEA＝∠DHB＝90°，AD＝BD，
∴△ADE≌△BDH（AAS），
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
12．（2024秋 海伦市期末）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　5　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】5．
【分析】过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB．根据垂径定理得，AE＝BEAB8＝4，由圆心角、弧、弦的关系和2得∠BOC＝∠BOF，由角平分线的性质得BD＝BE＝4；设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，将OD用含r的代数式表示出来，在Rt△BOD中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB．
∵OF⊥AB，AB＝8，
∴，AE＝BEAB8＝4，
∵2，
∴，
∴∠BOC＝∠BOF，
∴OB是∠COF的平分线，
∵BD⊥OC，
∴BD＝BE＝4，
设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，
∵CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2，
在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2，
∴42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，角平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
13．（2024秋 清水县期末）如图，在⊙O中，，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 　40°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】40°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴，
∴∠AOB＝2∠BDC，
∵∠BDC＝20°，
∴∠AOB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，理解定理是关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 嵊州市期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2．求证：AC＝BD．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【分析】先证明∠AOC＝∠BOD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15．（2025秋 思明区校级期中）如图（1），AB，CD为⊙O的两条弦，且AB＝CD，连接AD，BC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）如图（2），若AB⊥CD，作OE⊥BC于E，求证：．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，证明AD＝BC；
（2）连接BD，延长CO交⊙O于F，连接BF，根据圆周角定理得到∠CFB＝∠CDB＝45°，∠CBF＝90°，得到BC＝BF，根据垂径定理得到CE＝EB，再根据三角形中位线定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴，
∴，即，
∴AD＝BC；
（2）如图，连接BD，延长CO交⊙O于F，连接BF，
∵，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵AB⊥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝45°，
由圆周角定理得：∠CFB＝∠CDB＝45°，∠CBF＝90°，
∴BC＝BF，
∵OE⊥BC，
∴CE＝EB，
∵CO＝OF，
∴OE是△CFB的中位线，
∴OEBF，
∴OEBC．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．
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