24.1.4 圆周角 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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24.1.4 圆周角
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 牡丹江期中）如图，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O．若∠BED＝25°，则∠ACD的度数为（　　）
A．105° B．115° C．125° D．135°
2．（2025秋 哈尔滨期中）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，∠CAB＝25°，∠ACB的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．（2025 阳泉模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC交于点F．若∠A＝40°，∠E＝55°，则∠F的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
4．（2025 宜秀区二模）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（　　）
A．26° B．38° C．52° D．64°
5．（2025秋 兴隆台区期中）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠D＝（　　）
A．60° B．30° C．40° D．50°
6．（2025 盐山县校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度．
A．30 B．45 C．60 D．90
7．（2024秋 文登区期末）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门MN的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上，球员带球沿AB方向进攻，最好的射点在（　　）
A．点A
B．点B或点C
C．线段AB（异于端点）上一点
D．线段BC（异于端点）上一点
8．（2025秋 平湖市期中）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．72° B．36° C．18° D．54°
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 泰州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为　 　 ．
10．（2025 垦利区三模）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为　 　 ．
11．（2024秋 丹阳市期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，连接AE，若∠C＝125°，则∠BAE＝　 　 °．
12．（2025 东台市模拟）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC＝ 　 　 °．
13．（2025秋 平湖市期中）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠BAD＝35°，则∠B的度数是 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 北京期中）已知A、B、C、D是⊙O上的点，BD为⊙O直径，过点D作BD的垂线交BC延长线于点E．
（1）求证：∠E＝∠A；
（2）若AC∥DE，当AB＝10，AC＝12时，求⊙O半径的长．
15．（2025秋 吴兴区校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D，点E在⊙O上，连结AE，CE，AC＝CE．
（1）求证：∠CAE＝∠D．
（2）若∠CAB＝28°，求∠ACE的度数．
24.1.4 圆周角
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 牡丹江期中）如图，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O．若∠BED＝25°，则∠ACD的度数为（　　）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】连接BC，由圆周角定理可得∠BCD＝∠BED＝25°，∠ACB＝90°，进而根据角的和差关系即可求解．
【解答】解：如图，连接BC，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O．
则∠BCD＝∠BED＝25°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+25°＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2025秋 哈尔滨期中）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，∠CAB＝25°，∠ACB的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由∠CAB＝25°，得∠BOC＝2∠CAB＝50°，则∠AOB＝2∠BOC＝100°，所以∠ACB∠AOB＝50°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠CAB∠BOC，且∠CAB＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝50°，
∴∠AOB＝2∠BOC＝100°，
∴∠ACB∠AOB＝50°，
故选：B．
【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠BOC＝2∠CAB＝50°，进而求得∠AOB＝2∠BOC＝100°是解题的关键．
3．（2025 阳泉模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC交于点F．若∠A＝40°，∠E＝55°，则∠F的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】圆内接四边形的性质；三角形的外角性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDF，根据圆内接四边形的性质和三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝40°，∠E＝55°，
∴∠CDF＝∠A+∠E＝95°，
∵∠A＝40°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠F＝∠BCD﹣∠CDF＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形外角的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（2025 宜秀区二模）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（　　）
A．26° B．38° C．52° D．64°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据垂径定理得出，根据弧与圆心角关系得出∠COB＝∠BOD，利用圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．
【解答】解：连接OC，
∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键．
5．（2025秋 兴隆台区期中）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠D＝（　　）
A．60° B．30° C．40° D．50°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠D＝∠B＝50°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
6．（2025 盐山县校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度．
A．30 B．45 C．60 D．90
【考点】圆周角定理．
【答案】D
【分析】首先连接AB，BC，由AC为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ABC＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠CBD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACE，继而求得答案．
【解答】解：连接AB，BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CBD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACE，
∴∠CAD+∠EBD+∠ACE＝∠CBD+∠EBD+∠ABE＝∠ABC＝90°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．（2024秋 文登区期末）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门MN的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上，球员带球沿AB方向进攻，最好的射点在（　　）
A．点A
B．点B或点C
C．线段AB（异于端点）上一点
D．线段BC（异于端点）上一点
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】连接CN，BM，BN，AM，AN，证明C，M，N，B四点共圆，可得∠MCN＝∠MBN，利用圆周角定理即可解答，
【解答】解：如图，连接CN，BM，BN，AM，AN，
根据勾股定理可得，
，，
由条件可得CB2+BN2＝CN2，
∴∠CBN＝90°，
∵∠CMN＝90°，
∴C，M，N，B四点共圆，
∴∠MCN＝∠MBN，
则可得点A和线段AB（异于端点）上一点都在圆外，
∴点A和线段AB（异于端点）上一点到MN的张角都小于∠MCN，
线段BC（异于端点）上一点到MN的张角都大于∠MCN，
∴最好的射点在线段BC（异于端点）上一点，
故选：D．
【点评】本题考查了四点共圆，圆周角定理，作出正确的辅助线是解题的关键
8．（2025秋 平湖市期中）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．72° B．36° C．18° D．54°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝36°，得∠BAC∠BOC＝18°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAC∠BOC，
∵∠BOC＝36°，
∴∠BAC36°＝18°，
故选：C．
【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠BAC∠BOC是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 泰州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为　100°　 ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】100°．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理求出∠BOD．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝130°，
∴∠A＝50°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（2025 垦利区三模）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为　75°　 ．
【考点】圆周角定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ADB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABD的度数，继而求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝15°，
∴∠ABD＝∠ACD＝15°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝75°．
故答案为：75°．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
11．（2024秋 丹阳市期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，连接AE，若∠C＝125°，则∠BAE＝　35　 °．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】35．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理得到∠DAE＝90°，进而求出∠BAE．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠DAB＝180°，
∵∠C＝125°，
∴∠DAB＝180°﹣125°＝55°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12．（2025 东台市模拟）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC＝ 　25　 °．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】25．
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠B＝65°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用互余计算出∠BAC的度数．
【解答】解：∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．
13．（2025秋 平湖市期中）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠BAD＝35°，则∠B的度数是 　70°　 ．
【考点】圆周角定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】70°．
【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，由∠BCD＝∠BAD＝35°，求得∠ACD＝55°，由CD＝AD，得∠CAD＝∠ACD＝55°，则∠B＝∠D＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝70°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝∠BAD＝35°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝55°，
∵CD＝AD，
∴∠CAD＝∠ACD＝55°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠CAD＝∠ACD＝55°是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 北京期中）已知A、B、C、D是⊙O上的点，BD为⊙O直径，过点D作BD的垂线交BC延长线于点E．
（1）求证：∠E＝∠A；
（2）若AC∥DE，当AB＝10，AC＝12时，求⊙O半径的长．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（1）连接CD，
∵BD为⊙O直径
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝90°，
∴∠BDC＝∠E，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠E＝∠A；
（2）．
【分析】（1）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得∠DBC+∠BDC＝90°，再根据同角的余角相等得∠BDC＝∠E，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠BDC＝∠A，即可得出答案；
（2）连接OA，先说明BD⊥AC，再根据垂径定理得AH＝6，然后根据勾股定理求出BH＝8，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可．
【解答】（1）证明：连接CD，A、B、C、D是⊙O上的点，BD为⊙O直径，过点D作BD的垂线交BC延长线于点E
∵BD为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝90°，
∴∠BDC＝∠E，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠E＝∠A；
（2）连接OA，
连接CD，
∵BD为⊙O直径
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝90°，
∴∠BDC＝∠E，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠E＝∠A；
∵AC∥DE，
∴∠BHC＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥AC，
∵BD为⊙O直径，AC＝12，
∴AH＝6，
在Rt△AHB中，AB＝10，
∴BH＝8，
设⊙O的半径为x，OH＝8﹣x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
15．（2025秋 吴兴区校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D，点E在⊙O上，连结AE，CE，AC＝CE．
（1）求证：∠CAE＝∠D．
（2）若∠CAB＝28°，求∠ACE的度数．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD+∠D＝90°，
∵BD⊥AB，
∴∠CBD+∠CBA＝90°，
∴∠D＝∠CBA，
∵AC＝CE
∴∠CAE＝∠E，
∵∠CBA＝∠E，
∴∠CAE＝∠D；
（2）56°．
【分析】（1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠ACB＝90°，进而可得∠BCD＝90°，即有∠CBD+∠D＝90°，结合BD⊥AB，可得∠CBD+∠CBA＝90°，进一步可得∠D＝∠CBA，然后根据AC＝CE，可得∠CAE＝∠E，即可证明结论；
（2）首先求出∠CBA＝62°，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知∠E＝∠ABC＝62°，结合AC＝CE易得∠CAE＝62°，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD+∠D＝90°，
∵BD⊥AB，
∴∠CBD+∠CBA＝90°，
∴∠D＝∠CBA，
∵AC＝CE
∴∠CAE＝∠E，
∵∠CBA＝∠E，
∴∠CAE＝∠D；
（2）解：∵∠CAB＝28°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝90°﹣28°＝62°，
∴∠E＝∠CBA＝62°，
∴∠CAE＝∠E＝62°，
∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝56°．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
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