24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版
文档属性
| 名称 | 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 19:11:24 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 牡丹江期中）如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
2．（2025秋 长沙期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024秋 唐县期末）如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA＝12．则AF的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
4．（2025秋 武安市期中）如图，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点P，且BC为⊙O的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若∠A＝40°，则∠BQP的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（2024秋 吉林校级期末）如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，CD为⊙O的切线，则∠BCD度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．（2025 阳西县一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（ ）
A．38° B．45° C．52° D．64°
7．（2024秋 万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2024秋 太和县期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．55° D．60°
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 红河县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆且与AB，BC，AC相切于点D，E，F，若AF＝3，BD＝2，CE＝4，则△ABC的周长为 ．
10．（2025秋 连云港校级期中）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为 cm．
11．（2025秋 富锦市期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AB＝5，OC＝2，则AC＝ ．
12．（2025秋 绥滨县期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC＝5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为 ．
13．（2025 西峡县一模）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝78°，则∠C的度数为 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 泰州期中）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径和AD的长．
15．（2025秋 北京期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E，延长ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC为等边三角形，AE＝6，求⊙O半径的长．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 牡丹江期中）如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】由切线的性质得∠OAP＝∠OCP＝90°，由等腰三角形的性质得，即可求解．
【解答】解：连接OC，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OC⊥CP，
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°
＝110°，
∴
＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2025秋 长沙期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】切线的性质；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得⊙C半径为4，由三角形中位线的定理可求OD，当PH过点C时，PH有最大值，即可求解．
【解答】解：如图，取点H（8，0），连结PH，
∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣8，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线过原点与点A（﹣8，0），
∴对称轴为，
当x＝﹣4时，．
∴顶点C（﹣4，5），
∵⊙C与y轴相切，
∴⊙C的半径为4，
∵点D为PA的中点，
∴，
∴PH最大时，OD有最大值，
∴当PH过点C时，PH有最大值，
∴PH的最大值为，
∴OD的最大值为，
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，y＝ax2+bx+c的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线．
3．（2024秋 唐县期末）如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA＝12．则AF的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【考点】切线长定理；三角形的内切圆与内心．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】设AF＝a，根据切线长定理得出AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，求出BD＝BF＝6﹣a，CD＝CE＝12﹣a，根据CD+BD＝BC，代入求出a即可．
【解答】解：设AF＝a，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，
∵AB＝6，BC＝10，CA＝12，
∴BD＝BF＝6﹣a，CD＝CE＝12﹣a，
∵BD+CD＝BC＝10，
∴（6﹣a）+（12﹣a）＝10，
解得：a＝4，
即AF＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，用了方程思想．
4．（2025秋 武安市期中）如图，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点P，且BC为⊙O的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若∠A＝40°，则∠BQP的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】连接PC，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可．
【解答】解：如图，BC为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点P，连接PC．
∴∠ACB＝∠BPC＝90°，
∴∠BCP+∠PBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCP＝40°，
∴∠BQP＝∠BCP＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
5．（2024秋 吉林校级期末）如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，CD为⊙O的切线，则∠BCD度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；应用意识．
【答案】B
【分析】已知CD为切线，则可连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°；根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠ABC＝40°，由∠BCD＝90°﹣∠OCB即可求得∠BCD的度数．
【解答】解：AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，CD为⊙O的切线，如图，连接OC，
∴OC＝OB，∠OCB＝∠ABC＝40°，OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠OCB＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查圆的切线的性质，解决此题用到的知识点是切线的性质定理．
6．（2025 阳西县一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（ ）
A．38° B．45° C．52° D．64°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝52°，进而求出∠COD，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵∠CAB＝26°，
∴∠COB＝2∠CAB＝52°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝90°﹣52°＝38°，
∵CD是半圆的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣38°＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．（2024秋 万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【考点】切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】B
【分析】设钟表的中心为点O，连接BC，OD，根据题意可得：点O在BC上，∠DOC＝60°，然后利用圆周角定理可得∠DBC＝30°，再利用切线的性质可得∠BCP＝90°，最后在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：设钟表的中心为点O，连接BC，OD，
由题意得：点O在BC上，∠DOC＝2×30°＝60°，
∴，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠BCP＝90°，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2024秋 太和县期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．55° D．60°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，最后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解答】解：连接OB，OA，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 红河县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆且与AB，BC，AC相切于点D，E，F，若AF＝3，BD＝2，CE＝4，则△ABC的周长为 18 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】18．
【分析】利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，且与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝3，BD＝BE＝2，CE＝CF＝4，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，
BC＝BE+CE＝2+4＝6，
AC＝AF+CF＝3+4＝7，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝5+6+7＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
10．（2025秋 连云港校级期中）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为 cm．
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】．
【分析】首先连接OC，交AB于点D，连接OA，由切线的性质与垂径定理可求得AD的长，然后设该圆的半径为rcm，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：如图，设⊙O与刻度尺的下边缘相切于点C，连接OC，交AB于点D，连接OA，
∵刻度尺上下边缘平行，
∴OD⊥AB，
∴，
设OA＝rcm，
∵刻度尺的宽为2cm，即CD＝2cm
则OD＝（r﹣2）cm，
在Rt△OAD中，由勾股定理可得：
即r2﹣（r﹣2）2＝32，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
11．（2025秋 富锦市期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AB＝5，OC＝2，则AC＝ ．
【考点】切线的性质；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OB，根据题意可得OB⊥AB，由已知条件利用勾股定理求得AO的长度，再由已知半径长可求得AC的长度．
【解答】解：如图，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
又∵OC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∵AB＝5，
，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的性质及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．（2025秋 绥滨县期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC＝5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为 11 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】11．
【分析】根据切线的性质得到CN＝CM＝5.5，根据切线长定理得到EN＝EQ，DQ＝DM，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CN＝CM＝5.5，
∵DE为⊙O的切线，切点为Q，
∴EN＝EQ，DQ＝DM，
∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝CE+EQ+DQ+CD＝CE+EN+CD+DM＝CN+CM＝11，
故答案为：11．
【点评】此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键．
13．（2025 西峡县一模）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝78°，则∠C的度数为 51° ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由圆周角定理可得出，根据圆的切线性质定理可得出∠BAC＝90°，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【解答】解：已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，，
∴．
∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣39°＝51°．
故答案为：51°．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 泰州期中）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径和AD的长．
【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）CE是⊙O的切线．
证明：连接CO，
∵OA＝OC．
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）⊙O的半径为2.5，AD的长为3．
【分析】（1）连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；
（2）连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．
【解答】（1）CE是⊙O的切线．
证明：连接CO，
∵OA＝OC．
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
在Rt△ACE中，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠CEA，
∵∠CAE＝∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴，
∴，
∴AB＝5，
∴AO＝2.5；即⊙O的半径为2.5．
作OH⊥AD于H，
∴AD＝2AH，
∴四边形COHE是矩形，
∴OH＝EC，OC＝OA＝EH，AH＝EH﹣EA，
∴AH＝2.5﹣1＝1.5，
∴AD＝2AH＝3．
∴⊙O的半径为2.5，AD的长为3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
15．（2025秋 北京期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E，延长ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC为等边三角形，AE＝6，求⊙O半径的长．
【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODF＝∠AEF＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）⊙O半径的长为4．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，而DE⊥AC于点E，则∠ODF＝∠AEF＝90°，即可证明DE是⊙O的切线．
（2）由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，可证明△BOD是等边三角形，则OA＝OD＝OB，由∠AEF＝∠DED＝90°，推导出∠F＝∠BDF＝∠CDE＝30°，则AF＝2AE＝12，BF＝BD＝OB，所以OA＝BF＝OBAF＝4，则⊙O半径的长为4．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODF＝∠AEF＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB，
∵∠AEF＝∠DED＝90°，AE＝6，
∴∠F＝90°﹣∠BAC＝30°，∠BDF＝∠CDE＝90°﹣∠C＝30°，
∴AF＝2AE＝12，∠F＝∠BDF，
∴BF＝BD＝OB，
∴OA＝BF＝OBAF12＝4，
∴⊙O半径的长为4．
【点评】此题重点等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 牡丹江期中）如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
2．（2025秋 长沙期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024秋 唐县期末）如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA＝12．则AF的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
4．（2025秋 武安市期中）如图，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点P，且BC为⊙O的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若∠A＝40°，则∠BQP的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（2024秋 吉林校级期末）如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，CD为⊙O的切线，则∠BCD度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．（2025 阳西县一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（ ）
A．38° B．45° C．52° D．64°
7．（2024秋 万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2024秋 太和县期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．55° D．60°
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 红河县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆且与AB，BC，AC相切于点D，E，F，若AF＝3，BD＝2，CE＝4，则△ABC的周长为 ．
10．（2025秋 连云港校级期中）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为 cm．
11．（2025秋 富锦市期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AB＝5，OC＝2，则AC＝ ．
12．（2025秋 绥滨县期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC＝5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为 ．
13．（2025 西峡县一模）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝78°，则∠C的度数为 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 泰州期中）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径和AD的长．
15．（2025秋 北京期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E，延长ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC为等边三角形，AE＝6，求⊙O半径的长．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 牡丹江期中）如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】由切线的性质得∠OAP＝∠OCP＝90°，由等腰三角形的性质得，即可求解．
【解答】解：连接OC，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OC⊥CP，
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°
＝110°，
∴
＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2025秋 长沙期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】切线的性质；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得⊙C半径为4，由三角形中位线的定理可求OD，当PH过点C时，PH有最大值，即可求解．
【解答】解：如图，取点H（8，0），连结PH，
∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣8，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线过原点与点A（﹣8，0），
∴对称轴为，
当x＝﹣4时，．
∴顶点C（﹣4，5），
∵⊙C与y轴相切，
∴⊙C的半径为4，
∵点D为PA的中点，
∴，
∴PH最大时，OD有最大值，
∴当PH过点C时，PH有最大值，
∴PH的最大值为，
∴OD的最大值为，
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，y＝ax2+bx+c的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线．
3．（2024秋 唐县期末）如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA＝12．则AF的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【考点】切线长定理；三角形的内切圆与内心．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】设AF＝a，根据切线长定理得出AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，求出BD＝BF＝6﹣a，CD＝CE＝12﹣a，根据CD+BD＝BC，代入求出a即可．
【解答】解：设AF＝a，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，
∵AB＝6，BC＝10，CA＝12，
∴BD＝BF＝6﹣a，CD＝CE＝12﹣a，
∵BD+CD＝BC＝10，
∴（6﹣a）+（12﹣a）＝10，
解得：a＝4，
即AF＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，用了方程思想．
4．（2025秋 武安市期中）如图，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点P，且BC为⊙O的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若∠A＝40°，则∠BQP的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】连接PC，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可．
【解答】解：如图，BC为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点P，连接PC．
∴∠ACB＝∠BPC＝90°，
∴∠BCP+∠PBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCP＝40°，
∴∠BQP＝∠BCP＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
5．（2024秋 吉林校级期末）如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，CD为⊙O的切线，则∠BCD度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；应用意识．
【答案】B
【分析】已知CD为切线，则可连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°；根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠ABC＝40°，由∠BCD＝90°﹣∠OCB即可求得∠BCD的度数．
【解答】解：AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，CD为⊙O的切线，如图，连接OC，
∴OC＝OB，∠OCB＝∠ABC＝40°，OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠OCB＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查圆的切线的性质，解决此题用到的知识点是切线的性质定理．
6．（2025 阳西县一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（ ）
A．38° B．45° C．52° D．64°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝52°，进而求出∠COD，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵∠CAB＝26°，
∴∠COB＝2∠CAB＝52°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝90°﹣52°＝38°，
∵CD是半圆的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣38°＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．（2024秋 万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【考点】切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】B
【分析】设钟表的中心为点O，连接BC，OD，根据题意可得：点O在BC上，∠DOC＝60°，然后利用圆周角定理可得∠DBC＝30°，再利用切线的性质可得∠BCP＝90°，最后在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：设钟表的中心为点O，连接BC，OD，
由题意得：点O在BC上，∠DOC＝2×30°＝60°，
∴，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠BCP＝90°，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2024秋 太和县期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．65° C．55° D．60°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，最后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解答】解：连接OB，OA，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 红河县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆且与AB，BC，AC相切于点D，E，F，若AF＝3，BD＝2，CE＝4，则△ABC的周长为 18 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】18．
【分析】利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，且与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝3，BD＝BE＝2，CE＝CF＝4，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，
BC＝BE+CE＝2+4＝6，
AC＝AF+CF＝3+4＝7，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝5+6+7＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
10．（2025秋 连云港校级期中）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为 cm．
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】．
【分析】首先连接OC，交AB于点D，连接OA，由切线的性质与垂径定理可求得AD的长，然后设该圆的半径为rcm，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：如图，设⊙O与刻度尺的下边缘相切于点C，连接OC，交AB于点D，连接OA，
∵刻度尺上下边缘平行，
∴OD⊥AB，
∴，
设OA＝rcm，
∵刻度尺的宽为2cm，即CD＝2cm
则OD＝（r﹣2）cm，
在Rt△OAD中，由勾股定理可得：
即r2﹣（r﹣2）2＝32，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
11．（2025秋 富锦市期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AB＝5，OC＝2，则AC＝ ．
【考点】切线的性质；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OB，根据题意可得OB⊥AB，由已知条件利用勾股定理求得AO的长度，再由已知半径长可求得AC的长度．
【解答】解：如图，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
又∵OC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∵AB＝5，
，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的性质及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．（2025秋 绥滨县期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC＝5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为 11 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】11．
【分析】根据切线的性质得到CN＝CM＝5.5，根据切线长定理得到EN＝EQ，DQ＝DM，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CN＝CM＝5.5，
∵DE为⊙O的切线，切点为Q，
∴EN＝EQ，DQ＝DM，
∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝CE+EQ+DQ+CD＝CE+EN+CD+DM＝CN+CM＝11，
故答案为：11．
【点评】此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键．
13．（2025 西峡县一模）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝78°，则∠C的度数为 51° ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由圆周角定理可得出，根据圆的切线性质定理可得出∠BAC＝90°，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【解答】解：已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，，
∴．
∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣39°＝51°．
故答案为：51°．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理．
三．解答题（共2小题）
14．（2025秋 泰州期中）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径和AD的长．
【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）CE是⊙O的切线．
证明：连接CO，
∵OA＝OC．
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）⊙O的半径为2.5，AD的长为3．
【分析】（1）连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；
（2）连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．
【解答】（1）CE是⊙O的切线．
证明：连接CO，
∵OA＝OC．
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
在Rt△ACE中，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠CEA，
∵∠CAE＝∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴，
∴，
∴AB＝5，
∴AO＝2.5；即⊙O的半径为2.5．
作OH⊥AD于H，
∴AD＝2AH，
∴四边形COHE是矩形，
∴OH＝EC，OC＝OA＝EH，AH＝EH﹣EA，
∴AH＝2.5﹣1＝1.5，
∴AD＝2AH＝3．
∴⊙O的半径为2.5，AD的长为3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
15．（2025秋 北京期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E，延长ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC为等边三角形，AE＝6，求⊙O半径的长．
【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODF＝∠AEF＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）⊙O半径的长为4．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，而DE⊥AC于点E，则∠ODF＝∠AEF＝90°，即可证明DE是⊙O的切线．
（2）由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，可证明△BOD是等边三角形，则OA＝OD＝OB，由∠AEF＝∠DED＝90°，推导出∠F＝∠BDF＝∠CDE＝30°，则AF＝2AE＝12，BF＝BD＝OB，所以OA＝BF＝OBAF＝4，则⊙O半径的长为4．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODF＝∠AEF＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB，
∵∠AEF＝∠DED＝90°，AE＝6，
∴∠F＝90°﹣∠BAC＝30°，∠BDF＝∠CDE＝90°﹣∠C＝30°，
∴AF＝2AE＝12，∠F＝∠BDF，
∴BF＝BD＝OB，
∴OA＝BF＝OBAF12＝4，
∴⊙O半径的长为4．
【点评】此题重点等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录