江苏省无锡市江阴市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年江苏省无锡市江阴市高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。请将答案填在答题卡相应的位置上
1．已知全集∪={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则 U（A∪B）=______．
2．若复数z=（a+i）i（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=______．
3．函数y=+log2（x﹣1）的定义域是______．
4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，应假设“三角形的______”（用文字作答）．
5．已知tan（π﹣α）=2，则tan2α=______．
6．已知函数f（x）=|log3x|，若存在两个不同的实数a，b满足f（a）=f（b），则ab=______．
7．已知函数f（x）=sin（2x﹣）的图象C1向左平移个单位得图象C2，则C2对应的函数g（x）的解析式为______．
8．已知平面向量，满足||=2，||=4，且（﹣）⊥，则，的夹角是______．
9．已知向量=（1，1），点A（﹣3，﹣1），点B为直线y=2x上的一个动点，若∥，则点B的坐标为______．
10．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是______．
11．设α∈（，π），函数f（x）=（sinα）的最大值为，则α=______．
12．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足关系f（x）﹣g（x）=2x，则f（1） g（0）的值为______．
13．如图，在平行四边形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=2AE，BC=3CF．若=λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ=______．
14．已知函数f（x）=loga（+x）++1（a＞0，a≠1），若f（sin（﹣α））=，则f（cos（α﹣））=______．
　
二、解答题：本大题共6题，计90分。解答应写出必要的文字、证明过程或演算步骤.
15．对于复数z1=m（m﹣2）+（m﹣2）i，z2=m（m+2）+（m2﹣4）i（i为虚数单位，m为实数）．
（1）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
（2）若z1，z2为虚数，且z2=z1 ni，求实数m，n的值．
16．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）解不等式f（x）＜1．
17．已知平面向量=（sinx，﹣1），=（2cosx，1﹣2cos2x），函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的对称轴方程；
（2）当x∈（﹣，﹣）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为k，试判断k的符号，并证明你的结论．
18．如图，锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点A（x1，y1），将射线OA绕原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B（x2，y2），记函数f（α）=y1+y2．
（1）求函数f（α）的值域；
（2）比较f（）和f（）的大小，并说明理由．
19．已知函数f（x）=x|x﹣a|+3x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=3x+1图象的下方．
20．已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣a|，其中a∈R．
（1）若y=g（x）在[1，]上的最大值为，求实数a的值；
（2）设函数p（x）=，若对任意x1∈[2，+∞]，总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得p（x1）=p（x2）成立，求实数a的取值范围．
　
2015-2016学年江苏省无锡市江阴市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。请将答案填在答题卡相应的位置上
1．已知全集∪={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则 U（A∪B）=　{1}　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由A与B求出两集合的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可．
【解答】解：∵A={2，3}，B={3，4}，
∴A∪B={2，3，4}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴ U（A∪B）={1}．
故答案为：{1}
　
2．若复数z=（a+i）i（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=　﹣1　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由实部等于虚部得答案．
【解答】解：z=（a+i）i=﹣1+ai，
∵复数z=（a+i）i的实部与虚部相等，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
　
3．函数y=+log2（x﹣1）的定义域是　（1，2]　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式的性质以及对数对数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：1＜x≤2，
故函数y=+log2（x﹣1）的定义域是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
　
4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，应假设“三角形的　三角形的三个内角都大于60°　”（用文字作答）．
【考点】反证法与放缩法．
【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．
【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，
应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：
三角形的三个内角都大于60°，
故答案为：三角形的三个内角都大于60°
　
5．已知tan（π﹣α）=2，则tan2α=　　．
【考点】二倍角的正切．
【分析】利用诱导公式可求tanα，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=2，可得：tanα=﹣2，
∴tan2α===．
故答案为：．
　
6．已知函数f（x）=|log3x|，若存在两个不同的实数a，b满足f（a）=f（b），则ab=　1　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】由已知中函数f（x）=|log3x|，若a≠b且f（a）=f（b），则log3a与log3b互为相反数，进而根据对数的运算性质，即可得到答案
【解答】解：∵f（x）=|log3x|，
若a≠b且f（a）=f（b），
则log3a+log3b=0
即log3a+log3b=log3（ab）=0，
∴a b=1
故答案为：1
　
7．已知函数f（x）=sin（2x﹣）的图象C1向左平移个单位得图象C2，则C2对应的函数g（x）的解析式为　y=sin（2x+）　．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，
所得图象的函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），
故答案为：y=sin（2x+）．
　
8．已知平面向量，满足||=2，||=4，且（﹣）⊥，则，的夹角是　60°　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量垂直得（﹣） =0，求出，代入向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：∵（﹣）⊥，
∴（﹣） =﹣=0，
∴==4．
∴cos＜＞==，
∴＜＞=60°，
故答案为：60°．
　
9．已知向量=（1，1），点A（﹣3，﹣1），点B为直线y=2x上的一个动点，若∥，则点B的坐标为　（2，4）　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】设B（x，2x），求出的坐标，根据向量平行列方程解出x即可．
【解答】解：设B（x，2x），则=（x+3，2x+1），
∵∥，
∴2x+1﹣（x+3）=0，解得x=2．
∴B点坐标为（2，4）．
故答案为：（2，4）．
　
10．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是　（0，1）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．
【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，
得m=f（x）
作出y=f（x）与y=m的图象，
要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，
所以0＜m＜1，
故答案为：（0，1）．
　
11．设α∈（，π），函数f（x）=（sinα）的最大值为，则α=　　．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】可知y=（sinα）x在定义域上是减函数，且∵x2﹣2x+3≥2，从而求得（sinα）2=，从而解得．
【解答】解：∵α∈（，π），
∴sinα∈（0，1），
∴y=（sinα）x在定义域上是减函数，
∵x2﹣2x+3≥2，
∴（sinα）2=，
∴sinα=，
故α=，
故答案为：．
　
12．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足关系f（x）﹣g（x）=2x，则f（1） g（0）的值为　﹣　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质，利用方程组法进行求解即可．
【解答】解：由题意知f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
∵定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足关系f（x）﹣g（x）=2x，①
∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=2﹣x，
∴﹣f（x）﹣g（x）=2﹣x，②
联立①，②式可得f（x）=，g（x）=﹣，
∴f（1）=，g（0）=﹣1，
∴f（1） g（0）=﹣．
故答案为：﹣．
　
13．如图，在平行四边形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=2AE，BC=3CF．若=λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ=　　．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理，建立方程组，求出λ、μ的值即可．
【解答】解：平行四边形OABC中，AB=2AE，BC=3CF；
∴==，
==，
∴=λ+μ=λ（+）+μ（+）
=λ（+）+μ（+）
=（λ+μ）+（λ+μ），
又=+，
∴，
解得λ=，μ=；
∴λ+μ=．
故答案为：．
　
14．已知函数f（x）=loga（+x）++1（a＞0，a≠1），若f（sin（﹣α））=，则f（cos（α﹣））=　　．
【考点】函数与方程的综合运用；对数的运算性质．
【分析】利用函数的寄偶性进行解答：令sin（﹣α）=t，则cos（α﹣）=﹣t．令g（x）=loga（+x），则g（x）是奇函数；令h（x）=，则h（﹣x）=﹣1﹣h（x）．所以将所求的函数转化为：f（﹣t）=g（﹣t）+h（﹣t）+1的形式，然后利用函数的寄偶性进行解答即可．
【解答】解：cos（α﹣）=﹣sin（﹣α）．
令sin（﹣α）=t，则cos（α﹣）=﹣t．
令g（x）=loga（+x），则g（x）是奇函数．
令h（x）=，则h（﹣x）=﹣1﹣h（x）．
故f（t）=g（t）+h（t）+1=．则g（t）+h（t）=﹣，
f（﹣t）=g（﹣t）+h（﹣t）+1，
=﹣g（t）+[﹣1﹣h（t）]+1，
=﹣[g（t）+h（t）]，
=．
故答案为：．
　
二、解答题：本大题共6题，计90分。解答应写出必要的文字、证明过程或演算步骤.
15．对于复数z1=m（m﹣2）+（m﹣2）i，z2=m（m+2）+（m2﹣4）i（i为虚数单位，m为实数）．
（1）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
（2）若z1，z2为虚数，且z2=z1 ni，求实数m，n的值．
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】（1）由z2在复平面内对应的点位于第四象限的性质能求出m的取值范围．
（2）由虚数定义和复数相等的性质能求出m，n．
【解答】解：（1）∵z2=m（m+2）+（m2﹣4）i，
z2在复平面内对应的点位于第四象限，
∴，
解得0＜m＜2．
∴m的取值范围是（0，2）．
（2）∵复数z1=m（m﹣2）+（m﹣2）i，z2=m（m+2）+（m2﹣4）i，
z1，z2为虚数，且z2=z1 ni，
∴m（m+2）+（m2﹣4）i=[m（m﹣2）+（m﹣2）i] ni，
∴，
∵z1，z2为虚数，
∴，即m≠±2，
解得m=1，n=3．
　
16．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）解不等式f（x）＜1．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由已知令t=x+1，则f（t）=lg（t+1）﹣lg（1﹣t），然后还原；
（2）由（1）得到不等式，借助于对数函数的大小，得到分式不等式解之．
【解答】解：（1）由已知令t=x+1，则f（t）=lg（t+1）﹣lg（1﹣t），
即f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）；
由得到﹣1＜x＜1，所以函数定义域为（﹣1，1）；
（2）f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）=lg＜1，即，解得﹣1＜x＜．
　
17．已知平面向量=（sinx，﹣1），=（2cosx，1﹣2cos2x），函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的对称轴方程；
（2）当x∈（﹣，﹣）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为k，试判断k的符号，并证明你的结论．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由题意，用向量坐标运算写出f（x）的表达式并化简得到f（x）的解析式，用T=求出最小正周期，结合函数图象写出其对称轴方程；
（2）求出x∈（﹣，﹣）时函数的单调性，再由k=判断k的符号．
【解答】解：（1）由题意得，
f（x）= =sinx 2cosx+（﹣1） （1﹣2cos2x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
所以T=π，
对称轴：2x+=+kπ（k∈Z）即x=（k∈Z），
所以对称轴方程为：x=（k∈Z）；
（2）因为x∈（﹣，﹣），
所以2x+∈（﹣，﹣），
所以y=f（x）在（﹣，﹣）为减函数，
所以令x1＞x2且x1，x2∈（﹣，﹣），则f（x1）＜f（x2），
所以k=＜0，
所以k＜0．
　
18．如图，锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点A（x1，y1），将射线OA绕原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B（x2，y2），记函数f（α）=y1+y2．
（1）求函数f（α）的值域；
（2）比较f（）和f（）的大小，并说明理由．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】（1）f（α）=y1+y2=sinα+sin（α+）=sin（α+），即可求函数f（α）的值域；
（2）确定f（α）在（0，]上单调递增，在[，）上单调递减，且关于直线x=对称，f（）=f（﹣），即可比较f（）和f（）的大小．
【解答】解：（1）f（α）=y1+y2=sinα+sin（α+）=sin（α+），
∵α∈（0，），
∴α+∈（，），
∴f（α）∈（，]；
（2）∵α∈（0，），
∴f（α）在（0，]上单调递增，在[，）上单调递减，且关于直线x=对称，
∴f（）=f（﹣），
∵0＜＜﹣＜，
∴f（）＜f（﹣），
即f（）＜f（）．
　
19．已知函数f（x）=x|x﹣a|+3x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=3x+1图象的下方．
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）函数f（x）=x|x﹣a|+3x=，由f（x）在R上是增函数，则，解得实数a的取值范围；
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，进而可得满足条件的实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=x|x﹣a|+3x=
…
由f（x）在R上是增函数，则…
即﹣3≤a≤3，
所以a的取值范围为﹣3≤a≤3．…
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，
f（x）＜g（x）恒成立，即x|x﹣a|＜1，
即|x﹣a|＜，
即﹣＜x﹣a＜，
即x﹣＜a＜x+，
故只要x﹣＜a且a＜x+在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x﹣的最大值小于a且x+的最小值大于a即可，…
而当x∈[1，2]时，y=x﹣单调递增，所以x﹣的最大值为；…
当x∈[1，2]时，y=x+单调递增，所以x+的最小值为2…
所以＜a＜2．…
　
20．已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣a|，其中a∈R．
（1）若y=g（x）在[1，]上的最大值为，求实数a的值；
（2）设函数p（x）=，若对任意x1∈[2，+∞]，总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得p（x1）=p（x2）成立，求实数a的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）g（x）=（）|x﹣a|=，在（﹣∞，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减；结合y=g（x）在[1，]上的最大值为，分类讨论，可得满足条件的实数a的值；
（2）分①a≤0，②a＞0，两种情况，分别求出满足对任意x1∈[2，+∞]，总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得p（x1）=p（x2）成立的实数a的取值，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（1）g（x）=（）|x﹣a|=，
在（﹣∞，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减；
①当a≤1时，当x=1时，gmax（x）==，解得：a=；
②当1＜a＜时，当x=a时，gmax（x）==，无解；
③当a≥时，当x=时，gmax（x）==，解得：a=2；
综上所述，a=2或．
（2）①若a≤0，由x1≥2，p（x1）=f（x1）=≤0，
x2＜2，p（x2）=g（x2）=＞0，
故p（x1）=p（x2）不可能成立；
②若a＞0，当x＞2时，
p（x）=f（x）==，
故p（x）在[2，+∞）上单调递减，
故p（x1）∈（0，f（2）]=（0，]；
1°若a≥2，由x＜2时，p（x）=g（x）=（）|x﹣a|=（）﹣x+a=（）a 2x，
∴p（x）在（﹣∞，2）上单调递增，
从而p（x2）∈（0，（）a﹣2），
要使p（x1）=p（x2）成立，
只需＜（）a﹣2成立即可，
由于函数q（a）=﹣（）a﹣2在[2，+∞）上单调递增，且q（4）=0，
∴2≤a＜4；
2°若0＜a＜2，由x＜2时，p（x）=g（x）=（）|x﹣a|=，
∴p（x）在（﹣∞，a）上单调递增，在（a，2]上单调递减；
从而p（x2）∈（0，g（a）]=（0，1]，
要使p（x1）=p（x2）成立，
只需＜1，且≤（）2﹣a成立即可，
即≤（）2﹣a成立即可，
由0＜a＜2得：＜，（）2﹣a＞，
故当0＜a＜2时，≤（）2﹣a恒成立．
综上所述：0＜a＜4．
　
2016年9月29日