2025-2026学年人教版九年级数学第二十一章 一元二次方程单元综合教学反馈（含答案）

第二十一章一元二次方程单元综合教学反馈
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
A. 3，，1 B. 3，1， C. 3，， D. 3，4，1
2.方程的根是
A. B.
C. ， D. ，
3.用配方法解方程，变形后的结果正确的是
A. B. C. D.
4.方程的根的情况是
A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
5.两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x，则可列方程为
A. B. C. D.
6.若是一元二次方程，则m的值为
A. 2 B. C. D.
7.有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有81台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，则下列方程正确的是
A. B. C. D.
8.若是方程的一个根，则c的值为
A. B. C. D.
9.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是
A. B. C. D.
10.在 ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程的两根之和与两根之积，则对角线AC的长的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.方程的解为 .
12.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
13.若实数a，b是一元二次方程的两根，则 .
14.若矩形的面积为12，长和宽的比为，则矩形的周长为 .
15.如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数如12，13，14，19，20，21，26，27，若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为 .
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
16.解方程：
；
四、解答题：本大题共14小题，共55.5分。
17.已知关于x的方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
18.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月增长率．
若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
19.如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．
要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽；
农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍，使其面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门就行．”如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽．
20.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
求m的取值范围；
设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值．
21.如图是一张长12dm、宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．
无盖长方体纸盒盒底的长为 dm，宽为 dm；用含x的式子表示
若要制作一个底面积是的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长
22.【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为…①
解方程①可得，
当时，，；
当时，，
原方程的解为，，，
【解决问题】
在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的填“降次”或“消元”，体现了数学的转化思想．
请仿照材料的方法，解下列方程：
①；
②
23.综合与实践：阅读材料，并解答以下问题．
【学习研究】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记录了关于一元二次方程的几何解法，以为例，求解过程如下：
①变形：将方程变形为；
②构图：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图1中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形的面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程表示边长，，即
这种数形结合的方法虽然只能得到原方程的其中一个正根，但是由新方程可以得到原方程的另一个根是 .
【类比迁移】根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根．写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图，标明各边长
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造如图2所示的图形求解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么 ， ，方程的一个正根为 .
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程.
直接利用因式分解法即可求解.
【解答】
解：，
即或，
解得，
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【解答】
解：，
，
，
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了由实际问题抽象一元二次方程，对于连续偶数之间的关系，在做此类问题时，一定要清楚两个连续偶数之间的关系是相差2，所以明白了这个关系，再根据实际的要求，列出方程即可.
【解答】
解：设较小的偶数为x，则另一个偶数为，
根据题意得：
6.【答案】B
【解析】解：由题意得：，
解得：
故选：
根据一元二次方程的定义进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义：一般地，形如、b、c都是常数，的方程叫做一元二次方程．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是由实际问题抽象出一元二次方程的有关知识，设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，根据题意列出方程即可.
【解答】
解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，
由题意得
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和为2，求出另一个根为，再利用两根之积即可求出c的值.
【解答】
解：方程的两根之和是2，所以另一根为，
所以
9.【答案】D
【解析】解：设有x个队参赛，则
故选：
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
10.【答案】D
【解析】略
11.【答案】，
【解析】略
12.【答案】且
【解析】解：由题意可知：，
，
，
且，
故答案为：且；
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
13.【答案】5
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】7
【解析】略
16.【答案】【小题1】
解：配方，得，
由此可得，，
【小题2】
解：整理，得
因式分解，得，
即
于是得，或，，

【解析】 略
略
17.【答案】解：将代入方程，得，解得
原方程为
因式分解，得，
解得，
方程的另一个根为

【解析】略
18.【答案】【小题1】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去
答：该品牌头盔销售量的月增长率为
【小题2】
解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．

【解析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据6月份销售量月份销售量建立方程，解方程即可得；

设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，根据利润售价-进价销售量建立方程，解方程求出y的值，再选择较小的y的值即可．
19.【答案】【小题1】
解：设矩形猪舍垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为，且，即
依题意，得，
整理，得，
解得不符合题意，舍去，
答：猪舍的长为10m，宽为
【小题2】
设矩形猪舍垂直于墙的一边长为ym，则平行于墙的一边长为，且，即
依题意，得，整理，得，
解得不符合题意，舍去，
答：小红设计的猪舍的长为10m，宽为

【解析】 略
略
20.【答案】【小题1】
解：关于x的一元二次方程有两个实数根
，
解得；
【小题2】
解：是方程的一个实数根，则，则，
则，即，
解得：舍去或
故m的值为

【解析】
本题考查了方程的根的定义以及根的判别式．
若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

p是方程的一个实数根，则，则，代入，求得m的值．
21.【答案】【小题1】
【小题2】
依题意，得，
整理，得，
解得，不合题意，舍去
答：剪去的正方形的边长为

【解析】 略
略
22.【答案】【小题1】
降次
【小题2】
①设，
则原方程可化为
解方程，得，
当时，，；
当时，，此方程无解．
原方程的解为，
②设，
则原方程可化为
解方程，得，
当时，，，；
当时，，此方程无解．
原方程的解为，

【解析】 略
略
23.【答案】【小题1】
【小题2】
将方程变形为，
画四个长为x，宽为的矩形，按如图3所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形的面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程
表示边长，，即
【小题3】
2

【解析】 略
略
略
第1页，共1页