2025-2026学年北师大版九年级数学单元综合教学反馈（8）——二次函数（含答案）

单元综合教学反馈（8）——二次函数
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的表达式为
A. B. C. D.
2.已知二次函数，y随x的增大而减小，则x的取值范围是
A. B. C. D.
3.若二次函数的图象经过原点，则m的值必为
A. 0或2 B. 0 C. 2 D.
4.在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是
A. B. C. D.
5.二次函数与x轴交点个数的情况为
A. 有两个不同的交点 B. 只有一个交点 C. 没有交点 D. 无法确定
6.抛物线与y轴的交点为
A. B. C. D.
7.关于二次函数的最值，下列说法正确的是
A. 最小值为 B. 最小值为3 C. 最大值为1 D. 最大值为3
8.已知，在抛物线的图象上，则与的大小关系为
A. B. C. D.
9.二次函数的图象大致是
A. B. C. D.
10.二次函数的图象如图所示，与x轴左侧的交点坐标为，对称轴是直线下列结论：①；②；③；④为实数其中结论正确的为
A. ①④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.抛物线的对称轴为 .
12.关于x的二次函数的图象过原点，则a的值为 .
13.如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 .
14.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为
15.如图，抛物线经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 .
三、解答题：本大题共21小题，共61.5分。
16.已知抛物线过点，
求抛物线的表达式．
点是否在此抛物线上？
17.已知抛物线
求其对称轴和顶点坐标；
若点，在此抛物线上，比较，的大小．
18.如图，球的飞行路线是一条抛物线，球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有关系
球经过多少秒飞行高度达到15m？
求球从飞出到落地所需要的时间．
球经过 s飞行高度达到最高．
19.已知抛物线
该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 .
选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x … …
y … …
观察图象，当x为何值时，？
20.已知和是抛物线上的两点．
求b的值；
判断关于x的一元二次方程是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
将抛物线向上平移是正整数个单位长度，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．
21.食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等．
求A、B两种速食餐的进价．
该网店计划购进A类速食餐若干份，试销时发现，A类速食餐的销售量份与每份售价元的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，则该公司将A类速食餐售价定为多少时，获得的利润W最大？最大利润为多少？
22.如图1，抛物线过，两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．
求抛物线的表达式．
如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形OBEC的面积．
如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将绕点M逆时针旋转，连接NG，BF，得到当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形？
23.【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．
如图1，抛物线的顶点为P，轴于点C，抛物线与x轴交于点A，B，则AB的长为抛物线关于x轴的跨径，PC的长为抛物线关于x轴的矢高，的值为抛物线关于x轴的矢跨比．
【特例】如图2，已知抛物线与x轴交于点C，点C在点D右侧
①抛物线关于x轴的矢高是________，跨径是________，矢跨比是________；
②有一抛物线经过点C，与抛物线开口方向与大小一样，且其关于x轴的矢高是抛物线关于x轴的矢高的，求它关于x轴的矢跨比．
【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的 倍用含k的代数式表示
【应用】图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420m与280m，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是 .
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质．根据顶点式得出各选项中二次函数的对称轴，再判定即可得出答案．
【解答】
解：A项，图象的对称轴为直线
B项，图象的对称轴为直线
C项，图象的对称轴为直线
D项，图象的对称轴为直线
故选
5.【答案】A
【解析】略
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】D
【解析】略
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】C
【解析】略
10.【答案】A
【解析】略
11.【答案】直线
【解析】略
12.【答案】1
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】10
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】【小题1】
解：将点，代入，得
解得
【小题2】
解：当时，，点不在此抛物线上．

【解析】 略
略
17.【答案】【小题1】
解：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
【小题2】
解：抛物线的对称轴为直线，，，
点A，B在对称轴的右侧．，
抛物线的开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大．

【解析】 略
略
18.【答案】【小题1】
解：令，解得，
当经过1s或3s时，球的飞行高度达到
【小题2】
解：令，则，解得舍去，需要
【小题3】
2

【解析】 略
略

解：，，
当时，球的飞行高度达到最高．故答案为
19.【答案】【小题1】

【小题2】
解：
抛物线的图象如图所示．
【小题3】
解：由图可知，当时，

【解析】 略
略
略
20.【答案】【小题1】
解：点P，Q在抛物线上且纵坐标相同，
点P，Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴的距离相等．
，解得
【小题2】
解：由可知，关于x的一元二次方程为
，方程有实数根．
，即，
【小题3】
解：依题意，设平移后的图象为，
使平移后的图象与x轴无交点，方程无实数根．
，解得是正整数，的最小值为

【解析】 略
略
略
21.【答案】【小题1】
解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元．
依题意，得解得
答：A、B两种速食餐的进价分别是每份15元和10元．
【小题2】
解：依题意，得
类速食餐每份的利用率不低于，
又，即，
，当时，W有最大值，最大值为
答：该公司将A类速食餐售价定为元时，获得的利润W最大，最大利润为元．

【解析】 略
略
22.【答案】【小题1】
解：抛物线的图象过，两点，
解得
抛物线的表达式为
【小题2】
解：如图，连接BE，CE，
，，，
当时，，，，
，即，解得
在中，令，得
【小题3】
解：依题意，得，，，将绕点M逆时针旋转得到，
，四边形NBFG是平行四边形．
若四边形NBFG是菱形，只需，即，
此时，在中，，
，解得
答：当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形．

【解析】 略
略
略
23.【答案】【小题1】
解：①4 4 1
②新抛物线关于x轴的矢高是抛物线关于x轴的矢高的，
抛物线关于x轴的矢高是4，
新抛物线关于x轴的矢高为1，即新抛物线的顶点的纵坐标为
抛物线经过点C，与抛物线开口方向与大小一样，
设新抛物线的表达式为，
将点代入，得，解得不合题意，舍去或
新抛物线的表达式为
令，则，解得或
新抛物线与x轴交于点和点
，新抛物线关于x轴的跨径为
新抛物线关于x轴的矢跨比为
【小题2】
【小题3】

【解析】 略
略
略
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