2025-2026学年北师大版九年级数学上学期期末综合教学反馈（三）（含答案）

上学期期末综合教学反馈（三）
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列是一元二次方程的解的是
A. B. C. D.
2.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
3.下列四个物体的俯视图与给出的视图一致的是( )
A. B. C. D.
4.抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是( )
A. B. C. D.
5.若C是线段AB的黄金分割点，且，则
A. B.
C. D. 或
6.如图，九年级班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是
A. B. 20m C. D.
7.关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是
A. 且 B. C. 且 D.
8.如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是
A. B.
C. ∽ D.
9.从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点在函数的图象上的概率是
A. B. C. D.
10.二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上面的恰好是中心对称图形的概率是 .
12.已知反比例函数的图象经过点和，则m的值为 .
13.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价的百分率为 结果精确到
14.若是方程的一个根，则方程的另一个根是 .
15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，的平分线与AB相交于点C，反比例函数经过点C，那么k的值为 .
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
16.解方程：
；
四、解答题：本大题共7小题，共65分。
17.对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A、B、C、D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
甲组抽到A小区的概率是 ；
请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
18.如图，有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成了3等份，B转盘被分成了4等份，并在每一份上标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后当指针指在边界上视为无效，重转，若将A转盘指针指向的数字记为一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记为一次函数表达式中的
请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；
求一次函数的图象经过一、二、四象限的概率．
19.如图，在 ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，
求证：≌
当等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
20.如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹
在图1中，以点C为位似中心，位似比为，在格点上将放大到，请画出；
在图2中，利用格点在线段AB上作点M，使得；
在图3中，利用格点在边AC上作点D，使得∽
21.如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为
求直线AP和双曲线的表达式；
若Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于点H，当以Q，C，H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标．
22.某社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道路．已知铺花砖的面积为
道路的宽是多少米？
该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10105元？同时尽可能让利居民．
23.综合与探究【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．
【示例】的“友好方程”是一元二次方程的“友好方程”是 ；
【探究】已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根；
【猜想】当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为 ；
【证明】当时，方程的两根为，；方程的两根为，① ，
……
请完成上述填空①，并补全证明过程；备注：证明一组关系即可
【拓展】已知关于x的方程的两根是，请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】D
【解析】略
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】D
【解析】略
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】B
【解析】略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】【小题1】
解：，或，
【小题2】
将原方程化为一般形式，得这里，，
，，
即，

【解析】 略
略
17.【答案】【小题1】
【小题2】
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果有1种，
甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为

【解析】 略
略
18.【答案】【小题1】
解：列表如下：
【小题2】
共有12种等可能的结果，一次函数的图象经过一、二、四象限时，，，该结果有4种，则概率为

【解析】 略
略
19.【答案】【小题1】
因为在 ABCD中，O为对角线BD的中点，所以，，所以又因为，所以≌
【小题2】
当时，四边形BFDE为菱形．理由如下：
因为≌，所以又因为，所以四边形BFDE是平行四边形．因为，所以平行四边形BFDE为菱形．

【解析】
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法可得出≌；

首先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，得出四边形BFDE是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质，得出，即可得出答案．
20.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求．
【小题2】
如图所示，点M即为所求．
【小题3】
如图3所示，点D即为所求．

【解析】 略
略
略
21.【答案】【小题1】
解：把点代入中，求得，
直线AP的表达式为
由，把代入中，得，即，
把点P的坐标代入中，得，则双曲线的表达式为
【小题2】
如图，设点，
点在上，
当∽时，，即，
，即整理，得，解得或舍去
当∽时，，即，
，即，整理，得，解得或舍去
综上所述，点Q的坐标为或

【解析】 略
略
22.【答案】【小题1】
解；依题意，得，整理，得，
解得不合题意，舍去，
答：道路的宽是
【小题2】
设每个车位的月租金上涨a元．依题意，得
，整理，得，解得或
尽可能让利居民，
答：当每个车位的月租金上涨15元时，停车场的月租金收入为10105元．

【解析】 略
略
23.【答案】【小题1】
【小题2】
易得“友好方程”是，，解得，
【小题3】
互为倒数
【小题4】
证明如下：当时，方程的两根为，；方程的两根为，，
，
原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数．
【小题5】
关于x的方程的两根是，，
该方程的“友好方程”，
即的两根为，
，
或，
该方程的两根为，

【解析】 略
略
略
略
略
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