2025-2026学年北师大版九年级数学单元综合教学反馈（3）——概率的进一步认识（含答案）

单元综合教学反馈（3）——概率的进一步认识
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是( )
A. B. C. D. 1
2.桌面上有5本书，2本为数学书，2本为物理书，1本为化学书，小明分2次从桌上抽走2本书，则小明2次抽走的都是数学书的概率为( )
A. B. C. D.
3.袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于3的概率为( )
A. B. C. D.
4.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850
发芽的频率
则绿豆发芽的概率估计值是
A. B. C. D.
5.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图，直线，直线c与直线a，b都相交，从所标识的，，，，这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是
A. B. C. D.
7.某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球每一次摸出后不放回某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率为( )
A. B. C. D.
8.从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
9.小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在网上购票时，若系统已将两人分配到同一车厢同一排如图是高铁座位示意图，则小亮和爸爸分配的座位挨在一起过道两侧也可认为是座位挨在一起的概率是( )
A. B. C. D.
10.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，1，随机摸出一个小球不放回，其数字记为p，随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程有实数根的概率是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，共18分。
11.从，，，中随机取两个数，取到的两个数都是无理数的概率是 .
12.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数最有可能是 个．
13.如果m是从1，2，3三个数中任取的一个数，n是2，3两个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程有实数根的概率为 .
14.班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在D座位，三位同学随机坐在A，B，C三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是 .
15.为迎接六一儿童节的到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图1，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得此区域对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图2所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为
16.某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌除牌面数字外，其余都相同背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明获胜；若和小于4，则小红获胜；若和等于4，则小亮获胜．
小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 .
请用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率．
你认为这个游戏公平吗？为什么？
三、解答题：本大题共14小题，共55.5分。
17.三张形状、大小、质地都相同的正方形卡片，正面分别印有“五香牛杂”“清香双皮奶”“美食虫崩 ”三个图案，将它们背面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的名称后放回，再随机抽取一张，求两次抽到的卡片中至少有一张写有“五香牛杂”的概率．
18.新中考理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“观察凸透镜所成的像；用弹簧测力计测力；粗盐的提纯；过氧化氢分解制氧气”四个实验中抽取一个实验完成，假设小刚抽到每个实验的可能性相同．
若小刚从中任意抽取一个实验，则小刚抽到实验C的概率为 ；
若将A、B、C、D四个实验分成两组，每组2个实验，请用列表法或画树状图法求两个物理实验在同一组的概率．
19.如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形，小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲转盘一次、小秋转乙转盘一次为一次游戏当指针指在边界上时视为无效，重转小夏说：“若两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜，否则你获胜．”按小夏设计的规则，两人获胜的可能性分别是多少？
20.有4张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形如图将这4张纸牌背面朝上洗匀后先由小明从中任意摸出一张，放回洗匀后再由小敏从中任意摸出一张，求“小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形”的概率．
21.春节是我国的传统佳节，深圳是一座包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向，其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答问题：
本次参加抽样调查的统计学生有 人；
将两幅不完整的统计图补充完整；
扇形统计图中C所对圆心角的度数为 ；
若有去往A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用画树状图法或列表法求恰好抽到的同学都留在广东省的概率．
22.如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，把上面标有的数字记作一次函数表达式中的
写出k为负数的概率；
求一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率．用画树状图法或列表法求解
23.不透明的口袋里装有如图所示的标有数字的三种颜色的小球大小、形状相同，其中红球有2个，蓝球有1个，从中任意摸出一个是红球的概率为
求袋中黄球的个数；
第一次摸出一个球不放回，第二次再摸一个球，请用画树状图法或列表法求两次摸到的球都是红球的概率；
若小明共摸6次球每次摸1个球，摸后放回，球面得分之和为20，求小明有哪几种摸法．只考虑分数的组合，不考虑6个球被摸出的先后顺序
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】A
【解析】略
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】C
【解析】略
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】D
【解析】略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】4
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】72
【解析】略
16.【答案】【小题1】
【小题2】
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的数字之和大于4的结果有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果有3种，两次摸到的数字之和等于4的结果有3种，
小明获胜的概率为
【小题3】
游戏公平．理由如下：
由可知，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，小亮获胜的概率为，游戏公平．

【解析】 略
略
略
17.【答案】解：把“五香牛杂”和“清香双皮奶”和“美食虫崩炒”分别记为A、B、C，依题意，画树状图如图：
共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片中至少有一张写有“五香牛杂”的结果有5种，
两次抽到的卡片中至少有一张写有“五香牛杂”的概率为

【解析】略
18.【答案】【小题1】
【小题2】
依题意，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中两个物理实验在同一组的结果有4种，
两个物理实验在同一组的概率为

【解析】 略
略
19.【答案】解：依题意，列表：
共有6种等可能的结果，其中两数之和为6或7的结果有4种，
小夏胜，小秋胜

【解析】略
20.【答案】解：依题意，画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形的结果有6种，
小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形的概率为

【解析】略
21.【答案】【小题1】
600
【小题2】
补全统计图如图所示．
【小题3】
【小题4】
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的同学都留在广东省的结果有2种，
恰好抽到的同学都留在广东省的概率为

【解析】 略
略
略
略
22.【答案】【小题1】
解：共有3张卡片，两张为负数，为负数的概率是
【小题2】
依题意，画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中满足一次函数的图象经过第二、三、四象限，即，的结果有2种，
一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为

【解析】 略
略
23.【答案】【小题1】
解：设袋中黄球的个数为a个．依题意，得，解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：袋中黄球的个数为
【小题2】
列表如表：
红1 红2 蓝 黄
红1 红1，红 红1，蓝 红1，黄
红2 红2，红 红2，蓝 红2，黄
蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，黄
黄 黄，红 黄，红 黄，蓝
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球都是红球的结果有2种，
两次摸到的球都是红球的概率为
【小题3】
设小明摸到红球x次，摸到黄球y次，则摸到蓝球次．
依题意，得，即，
，y，均为自然数，当时，，；
当时，，；当时，，
综上所述，小明共有三种摸法：
①摸红球1次，黄球5次；②摸红球2次，黄球3次，蓝球1次；③摸红球3次，黄球1次，蓝球2次．

【解析】 略
略
略
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