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第十七章 因式分解
17.2 用公式法分解因式
（第2课时）
1．理解完全平方式的特点．
2．能熟练运用完全平方公式分解因式．
1．说一说什么是因式分解？
把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
2．说一说乘法的完全平方公式？
，
．
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果．类似地，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解因式．
思考：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方．
我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式．
思考：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？
把整式乘法的完全平方公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ．
的等号两边互换，就得到
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
完全平方公式
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
例1：分解因式．
（1）x2＋4x＋4； （2）16x2－24x＋9．
分析：在（1）中，由于4＝22，4x＝2·x·2，所以x2＋4x＋4是一个完全平方式，即 x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22
a2＋2·a·b＋b2
解：（1）x2＋4x＋4
＝x2＋2·x·2＋22
＝(x＋2)2；
例1：分解因式．
（1）x2＋4x＋4； （2）16x2－24x＋9．
分析：在（2）中，由于16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2·4x·3，所以16x2－24x＋9是一个完全平方式．即
16x2－24x＋9 ＝ (4x)2－2·4x·3＋32
a2 ＋ 2· a· b＋b2
解：（2）16x2－24x＋9
＝(4x)2－2·4x·3＋32
＝(4x－3)2．
可套用完全平方公式的式子的特点
（1）含有三部分；
（2）有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两部分的符号相同；
（3）第三部分是这两个数（或式子）的乘积的 2 倍．
例2：分解因式．
（1）(a＋b)2－12(a＋b)＋36； （2）－x2＋4xy－4y2．
分析：在（1）中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36；
对于（2），可通过添括号将原式写成－(x2－4xy＋4y2)，括号内的式子为完全平方式．
解：（1）(a＋b)2－12(a＋b)＋36
＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62
＝(a＋b－6)2；
（2）－x2＋4xy－4y2
＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2．
可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．因式分解：
(1)； (2)．
解：（1）原式
（2）
【知识技能类练习】选做题：
4．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有 个．
2
解：由完全平方公式，设，
比较系数得，解得，
于是，即，
解得，
因此整数的值有2个．
【综合拓展类练习】
5．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．
②求的最小值．
解： ①原式
②原式
，
，
，
即的最小值为2．
【综合拓展类练习】
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：．
(2)用配方法求的最小值．
解：（1）
；
（2）
，
，
，
即的最小值为．
完全平方公式
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
完全平方式
运用完全平方公式分解因式
平方差公式
a2b2=(a+b)(ab)
公式法
【知识技能类作业】必做题：
1．已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
3．因式分解：
(1)； (2)．
解：（1）
（2）原式
【知识技能类作业】选做题：
4．一个正方形面积为平方厘米，它的边长是 厘米．
解：由题意，正方形的边长为，
∵，
∴正方形的边长为厘米．
【综合拓展类作业】
5．若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”．
(1)请你判断29是否为“完美数”；
解：（1），
是完美数，
【综合拓展类作业】
(2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由．
解：（2）时，为“完美数”，理由如下：
，
∵是整数，
∴，也是整数，
∴当，即，是完美数．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 17.2 用公式法分解因式（第2课时） 单元 第十七章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解完全平方式的特点． 2．能熟练运用完全平方公式分解因式．
重点 理解完全平方式的特点．
难点 能灵活应用完全平方公式对多项式进行因式分解．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说什么是因式分解？ 2．说一说乘法的完全平方公式？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助乘法的完全平方公式，研究对形如完全平方式的多项式进行分解因式。 思考：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？ 分析：这两个多项式是两个数的_________加上或减去这两个数的_____的2倍，这恰是两个数的和或差的______，我们把a2＋______＋b2和a2－2ab＋____这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式． 把整式乘法的完全平方公式 (a＋b)2＝____________， (a－b)2＝______________ 的等号两边互换，就得到 a2＋2ab＋b2＝___________， a2－2ab＋b2＝___________． 归纳：完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝________， a2－2ab＋b2＝________． 即两个数的平方_____加上（或减去）这两个数的积的____倍，等于这两个数的____（或_____）的______． 例1：分解因式． （1）x2＋4x＋4；（2）16x2－24x＋9． 分析：在（1）中，由于4＝__2，4x＝2·__·__，所以x2＋4x＋4是一个完全平方式，即 在（2）中，由于16x2＝(___)2，9＝__2，24x＝2·___·__，所以16x2－24x＋9是一个完全平方式．即 归纳：可套用完全平方公式的式子的特点 （1）含有三部分； （2）有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两部分的符号相同； （3）第三部分是这两个数（或式子）的乘积的 2 倍． 例2：分解因式． （1）(a＋b)2－12(a＋b)＋36；（2）－x2＋4xy－4y2． 分析：在（1）中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式__2－____＋____；对于（2），可通过添括号将原式写成－(____________)，括号内的式子为完全平方式． 归纳：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列多项式中，是完全平方式的为（ ） A． B． C． D． 2．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 3．因式分解： (1)； (2)． 选做题： 4．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有 个． 【综合拓展类练习】 5．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知是完全平方式，则m的值为（ ） A．2 B． C．6 D． 2．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．因式分解： (1)； (2)． 选做题： 4．一个正方形面积为平方厘米，它的边长是______厘米． 【综合拓展类作业】 5．若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由．
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分课时教学设计
第四课时《17.2 用公式法分解因式（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级上册第17章“因式分解”第2节用公式法分解因式的第二课时，属于整式运算的重要延伸内容．因式分解作为整式乘法的逆运算，是后续分式化简、解方程、代数式变形等知识的基础，而完全平方公式是因式分解中第二个具体公式法，它既衔接了学生已掌握的整式乘法完全平方公式，又为后续公式法分解因式、因式分解综合运用奠定基础，同时渗透转化、整体等重要数学思想，对提升学生代数运算与逻辑推理能力具有重要意义．
学习者分析 已掌握整式乘法中的完全平方公式，对(a±b)2＝a2±2ab＋b2的正向运算有一定基础，这为逆向推导因式分解公式提供了知识铺垫．但学生对“逆向思维”的应用仍存在不足，易混淆乘法公式与因式分解公式的变形逻辑，尤其在判断多项式是否为完全平方式时，可能忽略中间项需是“两平方项底数乘积的2倍”这一关键条件．此外，学生在处理含负号或需整体代换的多项式时，容易出现符号错误或思路卡顿．同时，八年级学生虽具备初步的观察和归纳能力，但在复杂式子的结构分析与公式灵活适配方面，仍需通过针对性引导和阶梯式练习强化能力．
教学目标 1．理解完全平方式的特点． 2．能熟练运用完全平方公式分解因式．
教学重点 理解完全平方式的特点．
教学难点 能灵活应用完全平方公式对多项式进行因式分解．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解完全平方式的特点． 2．能熟练运用完全平方公式分解因式．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说什么是因式分解？ 答案：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 2．说一说乘法的完全平方公式？ 答案：， ． 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 导言：对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果．类似地，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解因式．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习乘法的完全平方公式，为探究用完全平方公式对多项式进行因式分解做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？ 讲解：这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式． 把整式乘法的完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 的等号两边互换，就得到 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2． 归纳：完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2． 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 例1：分解因式． （1）x2＋4x＋4；（2）16x2－24x＋9． 分析：在（1）中，由于4＝22，4x＝2·x·2，所以x2＋4x＋4是一个完全平方式，即 在（2）中，由于16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2·4x·3，所以16x2－24x＋9是一个完全平方式．即 解：（1）x2＋4x＋4 ＝x2＋2·x·2＋22 ＝(x＋2)2； （2）16x2－24x＋9 ＝(4x)2－2·4x·3＋32 ＝(4x－3)2． 归纳：可套用完全平方公式的式子的特点 （1）含有三部分； （2）有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两部分的符号相同； （3）第三部分是这两个数（或式子）的乘积的 2 倍． 例2：分解因式． （1）(a＋b)2－12(a＋b)＋36；（2）－x2＋4xy－4y2． 分析：在（1）中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36；对于（2），可通过添括号将原式写成－(x2－4xy＋4y2)，括号内的式子为完全平方式． 解：（1）(a＋b)2－12(a＋b)＋36 ＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2； （2）－x2＋4xy－4y2 ＝－(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝－(x－2y)2． 归纳：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．学生活动3： 学生独立思考后，小组合作探究，班内交流汇报，然后听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过思考，让学生掌握利用完全平方公式分解因式的方法．通过例题，让学生灵活运用完全平方公式对多项式进行因式分解．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：17.2用公式法分解因式（第2课时）一、完全平方式 二、完全平方公式 三、公式法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列多项式中，是完全平方式的为（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．因式分解： (1)； (2)． 解：（1）原式 （2） 选做题： 4．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有 个． 答案：2 解：由完全平方公式，设， 比较系数得，解得， 于是，即， 解得， 因此整数的值有2个． 【综合拓展类练习】 5．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 解：（1） ； （2） ， ， ， 即的最小值为．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知是完全平方式，则m的值为（ ） A．2 B． C．6 D． 答案：B 2．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．因式分解： (1)； (2)． 解：（1） （2）原式 选做题： 4．一个正方形面积为平方厘米，它的边长是 厘米． 答案： 解：由题意，正方形的边长为， ∵， ∴正方形的边长为厘米． 【综合拓展类作业】 5．若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 解：（1）， 是完美数， （2）时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数．
教学反思 本节课围绕完全平方式特点与公式应用展开，通过旧知（整式乘法公式）引入新知，帮助学生建立知识关联，多数学生能掌握完全平方式判断方法与基础分解步骤．但在突破难点时存在不足：对含负号或需整体代换的多项式，部分学生仍因符号处理不当、整体思维薄弱出错，说明变式训练的引导深度不够．此外，课堂互动多集中于集体问答，对学困生的个性化关注不足．后续需优化变式例题的分层讲解，增加小组讨论与个别指导，强化易错点专项练习，提升学生公式应用的灵活性与准确性．
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