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同步探究学案
课题 17.2 用公式法分解因式（第3课时） 单元 第十七章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
重点 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
难点 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说分解因式的方法——提公因式法？ 2．说一说分解因式的方法——公式法？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助提公因式法与公式法，研究较复杂的因式分解问题。 例1：分解因式． （1）x4－y4； （2）a3b－ab． 分析：在（1）中，x4－y4可以写成(___)2－(___)2的形式，可用公式法分解因式；对于（2），a3b－ab的两项有公因式_____，可以先提出公因式，再进一步分解因式． 归纳：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再______为止． 例2：分解因式． （1）3ax2＋6axy＋3ay2； （2）－ax2＋2a2x－a3． 分析：先提出_________，再用__________进一步分解因式． 归纳：因式分解的步骤 一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式； 二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式； 三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解． 例3：求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 归纳：解题技巧 技巧一：整体换元，将看作整体，简化多项式乘法后的结构． 技巧二：公式运用，熟练运用完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，完成因式分解． 技巧三：结合数的性质，利用正整数条件，说明分解结果为正整数的平方，完成证明闭环．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 2．将多项式分解因式，正确的结果是（ ） A． B． C． D． 3．因式分解 (1) (2) 选做题： 4．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 【综合拓展类练习】 5．已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由.
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 2．分解因式： ___________ 3．分解因式及利用因式分解计算： (1) (2) 选做题： 4．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例加：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，根据上述方法．当时，多项式分解因式后形成的加密数据是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数．
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第十七章 因式分解
17.2 用公式法分解因式
（第3课时）
能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
1．说一说分解因式的方法——提公因式法？
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
2．说一说分解因式的方法——公式法？
平方差公式
a2b2=(a+b)(ab)
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
完全平方公式
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法．
例1：分解因式．
（1）x4－y4； （2）a3b－ab．
分析：在（1）中，x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，可用公式法分解因式；
对于（2），a3b－ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式．
解：（1）x4－y4
＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
（2）a3b－ab
＝ab(a2－1)
＝ab(a＋1)(a－1)．
例2：分解因式．
（1）3ax2＋6axy＋3ay2； （2）－ax2＋2a2x－a3．
分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式．
解：（1）3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
（2）－ax2＋2a2x－a3
＝－a(x2－2ax＋a2)
＝－a(x－a)2．
因式分解的步骤
一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式；
二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；
三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解．
例3：求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
证明：
．
∵n为正整数，
∴为正整数，
∴原代数式的值一定是某个整数的平方．
技巧一：整体换元，将看作整体，简化多项式乘法后的结构．
技巧二：公式运用，熟练运用完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，完成因式分解．
技巧三：结合数的性质，利用正整数条件，说明分解结果为正整数的平方，完成证明闭环．
【知识技能类练习】必做题：
1．分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．将多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．因式分解
(1) (2)
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类练习】选做题：
4．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五
D
【综合拓展类练习】
5．已知a,b,c是的三边长.
(1)若，求c的取值范围；
(2)若，试判断的形状并说明理由.
解：（1）
，
，
则，
解得，
∴，；
【综合拓展类练习】
5．已知a,b,c是的三边长.
(1)若，求c的取值范围；
(2)若，试判断的形状并说明理由.
（2）是等腰三角形，理由如下：
，
∴或（不符合三角形三边关系，舍）
∴是等腰三角形．
分解因式
三“检查”
一“提”
二“套”
【知识技能类作业】必做题：
1．分解因式的正确结果是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．分解因式：__________
解：原式
【知识技能类作业】必做题：
3．分解因式及利用因式分解计算：
(1) (2)
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例加：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，根据上述方法．当时，多项式分解因式后形成的加密数据是（ ）
A． B． C． D．
C
【综合拓展类作业】
5．求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数．
证明：∵ ，
又∵ ，且，
∴ ，
∵ n是整数，∴是8的倍数，
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第五课时《17.2 用公式法分解因式（第3课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是人教版八年级上册因式分解第2节用公式法分解因式的第三课时，聚焦提公因式法与公式法的综合运用，以及公式法的多次使用．它建立在学生已掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式单一运用的基础上，是因式分解知识的深化与整合．因式分解作为代数运算的重要工具，本课时内容直接为后续分式化简、一元二次方程求解等知识奠定基础，在整个初中代数知识体系中起到承上启下的关键作用．
学习者分析 学生已掌握提公因式法、平方差公式及完全平方公式的单一运用，具备因式分解的基础认知与代数运算能力，为本课时综合运用两种方法奠定了知识基础．但学生当前存在明显认知短板：一是对“先提公因式还是先套公式”的方法选择缺乏主动判断意识，易机械套用单一方法；二是处理含负系数、多字母或括号的代数式时，常出现符号错误或漏提公因式问题；三是对“分解到不能再分”的标准理解不透彻，易出现分解不彻底的情况．此外，学生抽象思维仍在发展，对代数式结构特征的分析能力有限，需通过具象例题与分层练习引导，逐步突破“灵活运用”的核心难点．
教学目标 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
教学重点 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
教学难点 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说分解因式的方法——提公因式法？ 答案：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 2．说一说分解因式的方法——公式法？ 答案：平方差公式 a2b2=(a+b)(ab) 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 完全平方公式 a2±2ab＋b2＝(a±b)2 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 导言：对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法．学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过回顾提公因式法、运用公式法，为灵活应用提公因式法、公式法分解因式做好准备．环节三：新知讲解教师活动3： 例1：分解因式． （1）x4－y4；（2）a3b－ab． 分析：在（1）中，x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，可用公式法分解因式；对于（2），a3b－ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式． 解：（1）x4－y4 ＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)； 归纳：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． （2）a3b－ab ＝ab(a2－1) ＝ab(a＋1)(a－1)． 例2：分解因式． （1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－ax2＋2a2x－a3． 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式． 解：（1）3ax2＋6axy＋3ay2 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2； （2）－ax2＋2a2x－a3 ＝－a(x2－2ax＋a2) ＝－a(x－a)2． 归纳：因式分解的步骤 一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式； 二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式； 三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解． 例3：求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 证明： ． ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴原代数式的值一定是某个整数的平方． 归纳：解题技巧 技巧一：整体换元，将看作整体，简化多项式乘法后的结构． 技巧二：公式运用，熟练运用完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，完成因式分解． 技巧三：结合数的性质，利用正整数条件，说明分解结果为正整数的平方，完成证明闭环．学生活动3： 学生先尝试独立完成，然后小组内交流，班内汇报，最后听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过例题复习运用提公因式法、公式法分解因式，进而归纳出因式分解的步骤，提高学生灵活应用提公因式法、公式法分解因式的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：17.2用公式法分解因式（第3课时）因式分解的步骤 一“提” 二“套” 三“检查”教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．将多项式分解因式，正确的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．因式分解 (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 答案：D 解：∵， 又∵ ，， ∴原式 ． 根据密码手册：→爱，→我，→五，→泉， 因式分解结果可表示为 ，对应密码信息“我爱泉五”． 【综合拓展类练习】 5．已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 解：（1） ， ， 则， 解得， ∴，； （2）是等腰三角形，理由如下： ， ∴或（不符合三角形三边关系，舍） ∴是等腰三角形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．分解因式： 答案： 解：原式 3．分解因式及利用因式分解计算： (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例加：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，根据上述方法．当时，多项式分解因式后形成的加密数据是（ ） A． B． C． D． 答案：C 解：， 当时，，， ∴将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：． 【综合拓展类作业】 5．求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 证明：∵ ， 又∵ ， 且， ∴ ， ∵ n是整数， ∴是8的倍数， 故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
教学反思 本课时围绕“灵活运用提公因式法与公式法”展开，通过例题拆解与分层练习，多数学生能掌握基础分解流程，但仍存在不足：一是对含负系数代数式的公因式提取，部分学生仍漏变号，需后续强化符号规则专项训练；二是少数学生对“分解彻底”的标准理解模糊，出现只分解一次便停止的情况，需在例题讲解中更突出“每步检验”的意识；三是互动环节中，对方法选择思路的引导不够充分，部分学生仍依赖模仿．后续需增加“错题辨析”环节，让学生自主找出分解错误，深化对方法灵活运用的理解．
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