1.2 空间向量基本定理 教学设计（AI赋能）

人民教育出版社A版 选择性必修一 教学设计
空间向量基本定理
一、教学内容
空间向量的正交分解；空间向量基本定理及其证明.借助geogebra软件、豆包、deepseek
等AI大模型软件。
二、教学目标
1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；
2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力；
3.理解空间向量基本定理的意义，培养学生数学抽象的核心素养.
三、教学重点与难点
重点：空间向量基本定理，定理的猜想和证明过程.
难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明.
四、教学过程设计
（一）AI赋能，唤醒旧知
教师提问“平面向量基本定理的内容是什么？”
引导学生回忆“平面内任意向量可由两个不共线向量线性表示，且表示式唯一”。
同时，通过GeoGebra软件实时展示平面内向量的分解过程，点击屏幕即可调整基底和待分解向量，直观呈现定理内涵。
(强调两个向量一定共面，三个向量可能共面，可能异面)
展示无人机飞行轨迹图，提问“无人机在三维空间中的位移向量，能否用类似平面的方式表示？需要几个‘基准向量’？”。
播放AI生成的三维空间向量动态视频，展示空间中向量的复杂运动，引发学生思考“平面到空间的推广逻辑”。这三个空间向量是不共面的,那么这三个空间向量能否表示空间中的其它向量呢
设计意图：根据生活中的实例，引出空间向量基本定理这一课题，培养学生学习的兴趣
（二）探究新知
任务1：探究空间向量基本定理的内容.
思考：类比平面内任一向量都可以用两个不共线的向量，来表示（平面向量基本定理），任意一个空间向量是否也能用任意三个不共面的向量，，来表示呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
探究：AI模拟，直观感知
组织学生分组操作：每组通过GeoGebra 3D软件，自主设定三个不共面的向量（如以正方体顶点为起点的棱向量，，），再任意构造空间向量p，使p=xi+yj+zk软件实时显示向量合成过程，发现“无论p如何变化，都能找到唯一一组x，y，z。
(1)情形一：如图(1)所示，空间中三个不共面的向量两两互相垂直时,能用这三个向量唯一表示吗？
情形二：如图(2)所示，空间中任意三个不共面的向量时，能用这三个向量唯一表示吗？
图1 图2
情形一：空间中三个不共面的向量两两互相垂直时，
如右图，设，，是空间中三个两两互相垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点.对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则.又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得
从而
因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得
我们称，，分别为向量在，，上的分向量.
情形二：空间中任意三个不共面的向量时，
活动一（验证“存在性”）：
在预设的3D坐标空间中，任意拖动一个目标向量 p。
提供三个可调整的不共面向量 a, b, c 作为基底。
尝试用 a, b, c 的线性组合去“匹配”目标向量 p。
设，，不共面，过点作，，，，
过点作直线平行于交平面于点在平面内，
过点作直线，，
存在三个数，，，使得，，，
从而
，
因此，如果，，是空间中任意三个不共面的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得
.
活动二（理解“唯一性”）：
教师提问： “表示法唯一吗？如果我们找到一组（x, y, z），还能找到另一组吗？”
平台设置一个“锁定”的向量 p。学生尝试输入不同的x, y, z组合，看看能否得到同一个 p。
AI会显示“此组合已偏离目标”或进行逻辑提示：“如果存在两组解，会导致什么矛盾？（引导出共面假设的冲突）”。
追问：用不共面的三个向量，，表示空间内任一向量，存在有序实数组，使得，这样的有序实数组是否唯一？
答：唯一.
如何证明唯一性，学生思考。AI辅助提供证明方法。
设另有一组实数，，，使得，
则
，
，，不共面，
，即且且，
故实数，，是唯一的.
因此，类似平面向量基本定理，我们也有空间向量基本定理.即
如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量.
提示1：空间任意不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
提示2：是空间中的一个基底，则，，均为非零向量.
设计意图：先从空间中三个不共面的向量两两互相垂直这一特殊情况进行分析，再分析空间中任意三个不共面的向量的情形，从特殊到一般，层层递进，引出空间向量基本定理的内容，强化学生对抽象概念的理解，并加强对空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示的理解，培养学生数学抽象的核心素养.
任务2：探究单位正交基底及空间向量的正交分解
思考：探究(1)中，空间中的三个基向量两两互相垂直，如果长度为1时，这个基底叫做单位正交基底.反之，空间中任一向量是否也能分解成三个两两互相垂直的向量呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
追问：空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？
答：不可以，还需满足三个向量两两垂直.
设计意图：通过具体的例子，让学生领会用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量的方法，强化直观想象的核心素养.
（三）应用举例
例1 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
提示：根据三个向量共面的充要条件为一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合逐项判定.
对A：，因此A不满足题意；
对B：，选项B不满足题意；
对C：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此选项C正确；
对D：显然有，于是选项D不满足题意．
故选C．
例2 如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，，则( )
A. B.
C. D.
提示：利用重心定理先求出，再利用，即可求出结果．
解：连接并延长交于点，
因为为底面的重心，则为的中点，
所以，
所以，
所以．
故选A．
例3如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示.
解：
【反思总结】
选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量的方法：
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便表示其他的向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
例4 如图所示，在平行六面体中，、分别在和上，且，．
证明、、、四点共面
若，求的值．
提示：(1)通过证明，由此能够证明、、、四点共面；
(2)结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解．
解：证明：
，
所以共面，且为公共点，
所以、、、四点共面；
，
，
，
，
，，，
．
设计意图：通过例题，熟悉空间向量基本定理及选用基底表示空间中任一向量，提高学生学以致用的能力．
（四）课堂练习
1.在正方体中，下列各组向量不能作为空间中所有向量的一组基底的是( )
A. B.
C. D.
解：在正方体中
因为，所以共面，
故不能作为基底，
向量显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底；
向量显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底；
向量显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底．
故选：．
2.已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是 ．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
解：因为在C中，，，不共面，而A、B、D中的向量均为共面向量，根据共面向量不能构成基底，知C中向量可作为基底，
故选：C.
3.如图，三棱锥中，，，，点为中点，点满足，则( )
A. B.
C. D.
解：如图所示：，
又，为中点，
．
故选：．
4.已知是空间的一个基底，且，，，试判断能否作为空间的一个基底．
已知空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，为中点用基底表示以下向量：
．
解：假设，，共面．
则存在不全为实数，使得，
，
，，不共面，
此方程组无解，
，，不共面，可以作为空间的一个基底．
如图所示，
．
．
5.已知是空间的一个基底，且，，，．
求证： ， ， ， 四点共面；
能否作为空间的一个基底若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由．
【答案】解：由，，
而，则，
所以 ， ， ， 四点共面；
若共面，则，即，
所以，则，可得
所以，故不能作为基底
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量基本定理，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
（六）布置作业
1.必做题：教材P15习题1.2：1、2、4.课下结合本节课内容画一个思维导图。画完后利用豆包AI画一下思维导图，并做对比看看还有哪些地方不完善。
2.探究作业：思考“空间向量基本定理在立体几何证明（如线面平行、垂直）中的应用”，查阅AI推荐的相关案例，下节课分享。
关于空间向量基本定理还有哪些疑问，课下可以与豆包AI大模型对话，听一听豆包给的建议，也可以向老师寻求帮助。
【设计意图】 第 1 题可以巩固空间向量基本定理及其正交分解，第 2 题可以激发学生学习的兴趣，提高动手操作能力.
（八）板书设计
1.2 空间向量基本定理（第一课时） 1. 空间向量基本定理 2. 基底、基向量 大屏幕 3.定理唯一性的证明
豆包AI画的本节课的思维导图