一元二次函数的简单最值不含参 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
一元二次函数简单最值
年 级：高一
学 科：高中数学
学习目标
1.通过回顾初中所学知识，
能够说出一元二次函数的定义.
（重点）
2.能画出函数图像，
并观察图像能说出一元二次函数的性质.
（重点）
3.能求出一元二次函数在整个实数范围和
具体范围内的最值,并解决实际问题.
（难点）
一元二次函数定义
探本溯源:
一般地，形如 的函数叫做一元二次函数.
二次项系数
决定 开口方向
常数项c为纵截距；
a>0时，开口向上；
a<0时，开口向下.
函数图像与y轴的交点坐标.
（0，c）为
对称轴：
顶点坐标：
函数图像与性质
探本溯源:
符号 >0 <0
图像
增减性 （1）当 ,随着x增大，则y增大（图像上升） （2)当 ,随着x增大，则y减小（图像下降） （1）当 ，随着x增大，则y减小（图像下降）
（2) 当 ，随着x增大，则y增大（图像上升）
对称性 关于 对称 最值（x∈R)
典例分析:
基础巩固
例1：求下列函数的最值和对应的自变量的值
法1
配方法：
，故该函数有最小值1，
此时=-1，无最大值.
法2
公式法：
由于二次项系数，
故开口向上，有最低点；
将各项系数代入顶点坐标公式
解得为（-1，1），即，此时
无最大值.
解（1）：
典例分析:
基础巩固
例1：求下列函数的最值和对应的自变量的值.
，此时无最大值.
答（1）：
解（2）：
法1
配方法：
=
，此时，无最小值.
法2
公式法：
由于二次项系数小于，
故开口向下，有最高点；
将各项系数代入顶点坐标公式：
，
解得为即 ，
此时无最小值.
学会选择最优解法！
x
y
x
y
O
-1
-1
O
1
-3
-2
2
5
5
2
已知函数y=x2+2x+2,求此函数在下列范围上的最值：
① -3≤x ≤ -2； ② 0 ≤ x ≤ 1 ；
典例分析:
变式突破1
x
y
-1
x
O
-1
y
-2
1
-3
1
5
5
1
已知函数y=x2+2x+2,求此函数在下列范围上的最值：
③ -2 ≤ x ≤ 1 ； ④-3 ≤ x ≤ 0.5
典例分析:
变式突破1
典例分析:
变式突破2
已知函数,求此函数在下列范围上的最值：
① -2≤x ≤ -1； ② 1< x ≤ 2 ；
解：
最大值
典例分析:
变式突破2
已知函数,求此函数在下列范围上的最值：
③ - ≤ x < 0； ④- ≤ x < 2
，无最小值.
步骤小结：
求一元二次函数简单最值的过程：
(1)确定开口方向与对称轴 ,
画出图形；
(2)确定自变量x的范围
及对应的函数图像；
(3)写出最值.
(1)若对称轴在取值范围内
则最值在 和 处取得.
(2)若对称轴不在取值范围内
则最值在 处取得.
判断一元二次函数最值在何处取得？
方法小结：
对称轴
较远端点
端点
(3)若没有等号则需注意端点是否能被取到.
典例分析:
综合提升
例2：如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为60 m，如果可利用的墙壁长为 25 m，怎样围才能使车棚的面积最大？
解：设垂直于墙的一边长为 x m，另一边长为(60－2x)m，
应有x>0，且0<60－2x≤25，故17.5≤x<30，车棚的面积为S m2
则S＝ x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，
∵a=-2<0，15<17.5， 当17.5 ≤ x<30时，随着x增大y减小；
∴当 x =17.5时，面积 S 最大，最大值为437.5．
因此，当垂直于墙的一边长为 17.5 m，另一边为25 m 时，
车棚面积最大，最大面积为437.5m2.
x
60-2x
典例分析:
综合提升
例3：
将一根长为的铁丝折成如图的形状（上半部为半圆形，下部分为长方形），求此图形的面积的最大值.
分析：图形的面积可以随着BC长的变化而变化，由此可选择BC的长作为自变量,并确定的取值范围，将图形的面积y表示成的一个函数，利用函数的知识求出在限定范围内的最大值.
解：
半圆AD长为：
设BC= ,则AB=
此时图形的面积：
() +.
时，
满足
此时.
因此当BC长为时，
折成的图形面积最大，
其最大值为： .
利用函数知识求解实际应用问题的最大（最小）值的一般步骤：
(1)选取适当的变量作为自变量，
并确定取值范围；
(2)将目标函数表示成自变量的函数；
(3) 范围内；求得函数的最值.
高中问道:
思维进阶
例4：
（1）
若函数y=在上的最大值为2，则实数c的值为（ ）
A.-1 B.0 C.2 D.3
在取值范围内
解：
对称轴=1
最大值在较远端点处取得，故将=3代入得3+c=2，所以c=-1.
A
高中问道:
思维进阶
例4：
（2）已知一元二次函数
当-2≤x≤7时有最小值-5，则它的最大值为_________
对称轴：
最大值在较远端点处取得
故最小值在对称轴处取得
x=7时取得最大值.
因对称轴在取值范围内
解：
20
4+8-m=-5 m=-1
高中问道:
思维进阶
例5
（1）已知二次函数y=，
若对于任意实数，函数值恒大于0，
则m的取值范围是_________
解：函数值恒大于0，即函数的最小值大于0
配方得： y=
故： >0m<1
（2）若函数y=,则y的取值范围
是_____
m<1
解：
令t=，则t, 所以y=,
对称轴为：t=，即t取值范围在对称轴的右边，
所以t=0时，y有最小值-1，即y

y
一元二次函数
简单最
值的求解
求最值
步骤
注意：1.求最值时，要结合自变量的取值范围（可画出大致函数图象），确定取最值的位置.
2.高（偶数）次时也可考虑换元，构造二次函数求解最值.
一配方，二判断，三求值.
1.选取适当的变量作为自变量x；
根据数量关系表示出目标函数y；
2.根据求最值步骤，在限定范围内求得最值.
课堂总结
实际应用
步骤
学海拾珠:
感谢聆听！