回归本质分析,几何代数并行——以2025年北京卷第17题为例 课件(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 回归本质分析,几何代数并行——以2025年北京卷第17题为例 课件(共30张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-30 14:48:27 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
回归本质分析, 几何代数并行
——以2025年北京卷第17题为例
环节一：试题呈现
环节二：命题立意
环节二：命题立意
1.承上启下，体现知识体系的连贯性：立体几何大题既考查学生能否将前期所学知识（如平面几何、向量、三角函数等）融会贯通，又为后续学习（如空间解析几何、微积分中的空间概念、大学线性代数、物理学中的力学、电磁学等）奠定了坚实的空间观念和几何基础。
2.模块化与综合性：高中立体几何知识通常分散在必修和选择性必修模块中（如空间几何体、点线面位置关系、空间向量、空间角与距离、空间几何体的表面积与体积等）。大题的设计立意在于打破模块界限，将多个知识点、多种方法（综合几何法、向量法、坐标法）有机地组合在一个问题中，考查学生对整个立体几何知识体系的掌握程度和综合运用能力。例如，证明线面关系的同时要求计算二面角或点到平面的距离。
从课程结构看
环节二：命题立意
立体几何的学习是一个从直观感知到操作确认，再到思辨论证的过程。大题处于能力要求的高阶阶段，是深度考查空间观念、逻辑推理、几何直观、运算能力及数学思想方法综合运用的核心阵地。
考查学生能否超越直观，进行严谨的逻辑推理和论证（如证明线线垂直、面面平行）。
考查学生能否在复杂的空间图形中进行有效的抽象、分解和组合（如作辅助线、辅助面，将复杂几何体拆解为基本几何体）。
考查学生能否将空间位置关系和度量关系进行精确的代数化表达和计算（如建立空间直角坐标系，用向量坐标运算求解）。
从学科内容看
环节二：命题立意
1.素养立意：立体几何大题是考查直观想象、逻辑推理、数学运算三大核心素养的绝佳载体，同时也渗透了数学抽象（从具体图形抽象出几何关系）、数学建模（将实际问题抽象为几何模型）的要求。
2.能力立意：
·强调对空间概念本质的理解：考查学生对公理、定理、概念的理解深度，而非简单记忆。
·注重思维过程：通过设置合理的设问梯度（如先证明后计算），考查学生的分析思路、探索过程和论证的严谨性。
·突出创新意识与实践能力：在开放性或探索性问题中，考查学生能否灵活运用所学知识，创造性地解决问题（如构造不常见的辅助线或截面）。
从《课标》看
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
选必一 P29
教材溯源
环节三：解题探究
选必一 P29
教材溯源
选必一 P30
教材溯源
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节四：方法总结
利用空间向量求线面角的解题模型：
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节四：方法总结
（1） 推证方略
①用数量找位置, 用距离找角度, 如根据所给边长关系迅速判断勾股定理逆定理；
②用抽取降难度，利用转化思想, 将空间图形平面化, 抽取出一个个平面图形，在平面图形中证明线线平行或线线垂直关系.
常用的知识： 等腰（边）三角形的性质， 菱形对角线互相垂直平分，平行四边形的对边平行，三角形中位线与底边平行、直角三角形的中线长性质、直径所对圆周角是直角、勾股定理等.
环节四：方法总结
（2）利用空间向量求线面角的解题模型：
环节四：方法总结
（3） 建系技巧
建立空间直角坐标系的常用方法：
a. 利用共顶点且相互垂直的三条棱建系： （见图8）
b. 利用线面垂直建系： （见图9）
环节四：方法总结
（3） 建系技巧
建立空间直角坐标系的常用方法：
c. 利用面面垂直建系： （见图10）
d. 利用图形中的对称关系建系： （正四棱锥见图11）
环节五：试题变式
变式1（条件变更）：若PA与底面不垂直，改为PB⊥平面ABCD，如何求线面角？
变式2（图形拓展）：将四棱锥改为三棱锥P ABC，保留PA⊥平面ABC，求侧棱与底面的夹角.
变式3（结论延伸）：求平面PAB与平面PCD的夹角余弦值.
变式4（逆向问题）：已知线面角的正弦值，反求几何体的参数（如 PA的长度）.
环节六：试题溯源
环节七：教学启示
(1)回归教材,构建完整知识体系
在进行立体几何的教学时,可以对同一版本的不同教材、不同版本的教材的教学资料进行融合、改编和再创造,如进行“立体几何初步”模块的教学时,可以引入部分选择性必修第一册的素材,鼓励学生用几何法解决问题,培养学生的空间观念和直观想象、逻辑推理能力;同时,在梳理知识联系、探寻基本的解决问题方法的同时,引导学生关注教材例题、习题,以及阅读材料等素材,挖掘其中蕴含的思想方法,并鼓励学生改编、挖掘教材素材.
(2)回归本质,代数与几何齐飞
在进行立体几何的教学时,鼓励学生灵活选择向量法与几何法,从不同的角度解决立体几何问题,引导多维度的思考,回归定义,凸显问题本质,提升学生解决数学问题的核心能力和素养.
(3)逆向反推,找到条件与结论的联系
在进行立体几何解题教学时,可以引导学生通过画思维导图的方式,建立条件与结论的关联,如本题解法探究中,在利用定义法或者等体积法求解线面角时, 应重点分析如何通过条件的转化构建线面垂直,进而求出垂线段的长;同时,鼓励学生将分析问题的思维进行可视化呈现,引导学生分析如何根据结论反推需要的条件.
感谢倾听 恳请指正
浙江省宁海中学
回归本质分析, 几何代数并行
——以2025年北京卷第17题为例
环节一：试题呈现
环节二：命题立意
环节二：命题立意
1.承上启下，体现知识体系的连贯性：立体几何大题既考查学生能否将前期所学知识（如平面几何、向量、三角函数等）融会贯通，又为后续学习（如空间解析几何、微积分中的空间概念、大学线性代数、物理学中的力学、电磁学等）奠定了坚实的空间观念和几何基础。
2.模块化与综合性：高中立体几何知识通常分散在必修和选择性必修模块中（如空间几何体、点线面位置关系、空间向量、空间角与距离、空间几何体的表面积与体积等）。大题的设计立意在于打破模块界限，将多个知识点、多种方法（综合几何法、向量法、坐标法）有机地组合在一个问题中，考查学生对整个立体几何知识体系的掌握程度和综合运用能力。例如，证明线面关系的同时要求计算二面角或点到平面的距离。
从课程结构看
环节二：命题立意
立体几何的学习是一个从直观感知到操作确认，再到思辨论证的过程。大题处于能力要求的高阶阶段，是深度考查空间观念、逻辑推理、几何直观、运算能力及数学思想方法综合运用的核心阵地。
考查学生能否超越直观，进行严谨的逻辑推理和论证（如证明线线垂直、面面平行）。
考查学生能否在复杂的空间图形中进行有效的抽象、分解和组合（如作辅助线、辅助面，将复杂几何体拆解为基本几何体）。
考查学生能否将空间位置关系和度量关系进行精确的代数化表达和计算（如建立空间直角坐标系，用向量坐标运算求解）。
从学科内容看
环节二：命题立意
1.素养立意：立体几何大题是考查直观想象、逻辑推理、数学运算三大核心素养的绝佳载体，同时也渗透了数学抽象（从具体图形抽象出几何关系）、数学建模（将实际问题抽象为几何模型）的要求。
2.能力立意：
·强调对空间概念本质的理解：考查学生对公理、定理、概念的理解深度，而非简单记忆。
·注重思维过程：通过设置合理的设问梯度（如先证明后计算），考查学生的分析思路、探索过程和论证的严谨性。
·突出创新意识与实践能力：在开放性或探索性问题中，考查学生能否灵活运用所学知识，创造性地解决问题（如构造不常见的辅助线或截面）。
从《课标》看
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
选必一 P29
教材溯源
环节三：解题探究
选必一 P29
教材溯源
选必一 P30
教材溯源
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节四：方法总结
利用空间向量求线面角的解题模型：
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节三：解题探究
环节四：方法总结
（1） 推证方略
①用数量找位置, 用距离找角度, 如根据所给边长关系迅速判断勾股定理逆定理；
②用抽取降难度，利用转化思想, 将空间图形平面化, 抽取出一个个平面图形，在平面图形中证明线线平行或线线垂直关系.
常用的知识： 等腰（边）三角形的性质， 菱形对角线互相垂直平分，平行四边形的对边平行，三角形中位线与底边平行、直角三角形的中线长性质、直径所对圆周角是直角、勾股定理等.
环节四：方法总结
（2）利用空间向量求线面角的解题模型：
环节四：方法总结
（3） 建系技巧
建立空间直角坐标系的常用方法：
a. 利用共顶点且相互垂直的三条棱建系： （见图8）
b. 利用线面垂直建系： （见图9）
环节四：方法总结
（3） 建系技巧
建立空间直角坐标系的常用方法：
c. 利用面面垂直建系： （见图10）
d. 利用图形中的对称关系建系： （正四棱锥见图11）
环节五：试题变式
变式1（条件变更）：若PA与底面不垂直，改为PB⊥平面ABCD，如何求线面角？
变式2（图形拓展）：将四棱锥改为三棱锥P ABC，保留PA⊥平面ABC，求侧棱与底面的夹角.
变式3（结论延伸）：求平面PAB与平面PCD的夹角余弦值.
变式4（逆向问题）：已知线面角的正弦值，反求几何体的参数（如 PA的长度）.
环节六：试题溯源
环节七：教学启示
(1)回归教材,构建完整知识体系
在进行立体几何的教学时,可以对同一版本的不同教材、不同版本的教材的教学资料进行融合、改编和再创造,如进行“立体几何初步”模块的教学时,可以引入部分选择性必修第一册的素材,鼓励学生用几何法解决问题,培养学生的空间观念和直观想象、逻辑推理能力;同时,在梳理知识联系、探寻基本的解决问题方法的同时,引导学生关注教材例题、习题,以及阅读材料等素材,挖掘其中蕴含的思想方法,并鼓励学生改编、挖掘教材素材.
(2)回归本质,代数与几何齐飞
在进行立体几何的教学时,鼓励学生灵活选择向量法与几何法,从不同的角度解决立体几何问题,引导多维度的思考,回归定义,凸显问题本质,提升学生解决数学问题的核心能力和素养.
(3)逆向反推,找到条件与结论的联系
在进行立体几何解题教学时,可以引导学生通过画思维导图的方式,建立条件与结论的关联,如本题解法探究中,在利用定义法或者等体积法求解线面角时, 应重点分析如何通过条件的转化构建线面垂直,进而求出垂线段的长;同时,鼓励学生将分析问题的思维进行可视化呈现,引导学生分析如何根据结论反推需要的条件.
感谢倾听 恳请指正
浙江省宁海中学
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