上海市上海理工大学附属杨浦少云中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

少云中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（每题3分）
1.若集合，，则______．
2.不等式的解是______．
3.用反证法证明“若，则或”时，则应假设______．
4.适合条件的集合的个数______个．
5.若集合，求______．
6.已知方程的两实根为，则的值为______．
7.已知命题，命题，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______．
8.已知，，则的取值范围是______．
9.已知集合，，若，则实数组成的集合为 ．
10.若不等式的解集为，则实数取值范围是______．
11.已知，且，则的最大值______．
12.已知，若不等式在实数上的解集不是空集，求的取值范围 ．
二、选择题（每题4分）
13.下列命题中，正确的是（ ）.
A.若，则 B.若，，则
C.若，则 D.若，则
14.“”是“”成立的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.已知集合，，，则实数的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
16.设实数为任意的正数，且，求使恒成立的的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
三、解答题
17.已知集合，，且．
若，求实数的值．
18.已知不等式的解集是，求不等式的解集．
19.设都是正数，且，证明：和中至少有一个成立．
20.命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
21.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知，且，则的最大值______．
【答案】
【解析】，当且仅当时取等号．故应填．
12.已知，若不等式在实数上的解集不是空集，求的取值范围 ．
【答案】
【解析】法一：∵∴的最小值为1，
又不等式的解集不是空集，
法二：由绝对值的几何意义知表示实数轴上的点到-3和到4两点的距离之和，故，由题意，不等式在实数集上的解不为空集，
只要即可，即，故答案为：
二、选择题
13.B 14.A 15.D 16.A
15.已知集合，，，则实数的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，解得，所以
因为，所以等价于，
整理得，解得，所以，
又因为，所以，解得，所以的取值范围是．故选：D．
16.设实数为任意的正数，且，求使恒成立的的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵且，
∴，当且仅当时取等号.
∵不等式恒成立．∴，故选：．
三、解答题
17.
18.
19.证明略
20.命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】命题甲为真命题，则集合为空集，
则，解得，
命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为，
由，解得，
由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，
若甲为真命题，乙为假命题，则无解，
若乙为真命题，甲为假命题，则，得或，
综上所述，实数的取值范围为．
21.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】（1）400吨 （2）不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．
【解析】（1）由题意知
每吨二国化碳的平均处理成本为
当且仅当，即时，等号成立，
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低．
（2）该单位每月的获利
因为，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，即，
所以该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．