上海市南洋中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含部分答案）

南洋中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题，满分52分，1-8题每题4分，9-12题每题5分）
1．若两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________．
2．半径为2的球的体积为________．
3．线段在平面的一侧，它的两个端点、到平面的距离分别为和，则此线段中点到平面的距离为________．
4．正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为________．
5．设斜线段所在直线与平面所成角的大小为，斜线段长为2，则该斜线段在平面内的投影的长是________．
6．如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为________．
（第6题） （第7题）
7．如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为________．
8．给定空间三点、、．若向量与向量、都垂直，且，则向量的坐标为________．
9．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为16cm，深为4cm的空穴，则这个球的表面积为________cm．
10．棱长为的正四面体中，为棱的中点，则________．
11．如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是________．
12．动点在棱长为2的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）
13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
14．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
15．如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（ ）
A． B．
C． D．
16．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点．若空间三个不同的点、、，存在不全为0的实数、、，使得，则、、．已知，，则属于集合的点可以是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点．
（1）求该三棱柱的体积；
（2）求点到平面的距离．
18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为0，正六边形内接于下底面圆．
（1）试用表示圆柱的侧面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
19．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．
（1）设平面与直线相交于点，求证；
（2）若，，，求直线与平面所成角的大小．
20．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）．
（1）应取多少厘米？
（2）制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗）
21．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第三小题6分）
四棱锥中，平面平面，，，，，，，是中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值；
（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请阴理由．
参考答案
一、填空题
1.平行或异面; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.D 14.C 15.A 16.D
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20．【答案】（1） 2）
21．【答案】（1）证明略 （2） （3）存在