上海市同济大学第二附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

同济二附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.两条异面直线所成的角的范围是______．
2.已知平面平面，直线，直线，则直线与的位置关系是______．
3.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥的侧面积为______．
4.边长为2的正方形绕边旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为______．
5.用斜二测画法画出水平放置的的直观图（如图所示），其中，若原的面积为2，则______．
（第5题） （第8题） （第9题） （第10题）
6.正方体中，直线与平面所成角大小为______．
7.三个平面两两垂直，它们的交线交于一点，空间中一点到三个平面的距离分别为3、4、5，则的长为______．
8.如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为______．
9.如图，已知是所在平面外一点，，、分别是、的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为______．
10.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的体积为______．
11.点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体的边长为2，则的取值范围是______．
12.棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为______．
二、选择题（本题满分18分，共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）
13.直线平面，直线，直线，则“”是“、”的（ ）条件．
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要
14.设是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，不在面上，，则
15.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为（ ）时，所遮阴影面面积达到最大．
A. B. C. D.
16.如图，等腰直角三角形中，，点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ）
A.存在点和，使得
B.存在点和，使得
C.存在点和，使得
D.存在点和，使得
三、解答题（本题满分78分，共5小题）
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知正方体的棱长为2．
（1）证明：．
（2）求点到平面的距离．
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图所示，等腰梯形是由正方形和两个全等的和组成，，．现将沿所在的直线折起，点移至点，使二面角的大小为．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求四棱锥的体积．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面平面；
（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，．点是棱上的动点．
（1）求证：平面；
（2）试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为；
（3）记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点的位置，使得．
参考答案
一、填空题
1.; 2.平行或异面; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体的边长为2，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，
可知：平面与直线垂直，所以在线段上，正方体的棱长为2，
所以的最小值为，最大值为2．则的取值范围是．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.D 15.B 16.B
15.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为（ ）时，所遮阴影面面积达到最大．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过点C作交于，连接，
由题知，因此就是遮阳篷与地面所成的角，
因为，则求遮阴影面＂面积最大，即是求最大，
又，设，
由正弦定理得，
当且仅当时取等号，此时所遮阴影面＂面积最大，．故选：．
16.如图，等腰直角三角形中，，点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ）
A.存在点和，使得
B.存在点和，使得
C.存在点和，使得
D.存在点和，使得
【答案】B
【解析】对于，取为中点，，则，而，故，
故在几何体中，，而，
故为二面角的平面角，故，
故，而平面，
故平面，而平面，故，故成立；
因为，平面，故平面，
而平面，故，故成立；
对于，过作为垂足，取，同理可证平面，
而平面，故，故成立；
对于，过作平面，垂足为，因为平面，故，
若，因为平面，
故平面，而平面，故，而，故在上，
因为平面，故平面，
而平面，故，故，但矛盾，
故不成立，即不成立．故选：．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面平面；
（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最小值为．
【解析】（1）因为是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，
所以圆柱的底面半径，圆柱的高，
圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为，
所以圆柱的表面积为；
（2）证明：由题意可知，底面底面，则，
因为点是圆柱底面圆周上的点，则，
又平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面
（3）将绕着旋转到，使其与共面，且在的反向延长线上，
当三点共线时，的最小值为，
因为,
所以，所以在三角形中，
由余弦定理可得
所以的最小值为．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，．点是棱上的动点．
（1）求证：平面；
（2）试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为；
（3）记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点的位置，使得．
【答案】（1）证明见解析 （2）当为棱的中点
（3）为靠近点的三等分点时
【解析】（1）证明：因为平面平面，所以平面；
（2）因为平面平面，所以，
又，所以
又，所以，
所以，所以，
连接，所以，
又使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为，
所以，
设三棱锥的高为，则，解得，
所以到平面的距离为，又点是棱上的动点，所以为棱的中点，
即当为棱的中点时截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为；
（3）如图建立空间直角坐标系，则
则，设平面的法向量为，则，
则，取，
又平面的一个法向量为，显然二面角为锐二面角，
所以，
设，则，
又，设平面的法向量为，则，
则，取，
又二面角为锐二面角，所以，
又，所以，
所以，解得或（舍去），
所以当，即为靠近点的三等分点时，满足．