上海晋元中学2025-2026学年高二上学期数学期中试卷（含答案）

晋元中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知点、，则线段的垂直平分线的点法式方程是______．
2.已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______．
3.若圆的半径为3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为______．
4.双曲线的两条渐近线方程为______．
5.已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
6.已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线左支于两点，若，则的周长为______．
7.已知，，椭圆的焦距为，若，则该椭圆的离心率______．
8.已知实数满足，则的取值范围是______．
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围是______．
10.已知点，，点为椭圆上的动点，则的取值范围是______．
11.已知，双曲线，点、是右支上任意两点，若恒有，则的取值范围是______．
12.在平面直角坐标系中，射线，，半圆．现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围是______．
二、选择题（本大题共18分，13-14每题4分，15-16每题5分）
13.若直线与直线的夹角为，则实数的取值集合
为（ ）.
A. B. C. D.
14.椭圆的焦点坐标为（ ）.
A. B. C. D.
15.已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于两点，且，则（ ）.
A. B. C. D.
16.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点、且与平行的平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（ ）.
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共78分，17-19题每题14分，20-21每题18分）
17.（本题14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知直线的方程为．
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围．
18.（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知点，，．
（1）求的外接圆方程；
（2）设直线与圆相交于两点，若，求实数的值．
19.（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（结果精确到0.1米）
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计最大拱高和拱宽？（结果精确到0.1米）
（以下结论可以直接使用：椭圆的面积公式）
20.（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知双曲线的离心率为2，点在上，直线交双曲线的右支于不同的两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过，求的取值范围；
（3）若线段的垂直平分线过点，求的取值范围．
21.（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围；
（3）过点的动直线与椭圆有两个交点，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知，双曲线，点、是右支上任意两点，若恒有，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】设点，则，则或为锐角．如图所示：
设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，
设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点．
由题就可知，，则，解得．
12.在平面直角坐标系中，射线，，半圆．现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】将半圆依次沿着作对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示，
当光线与相切时，光线所在直线斜率为，
由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，
则入射光线所在直线为与圆相切，
当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时，此时，所以光线斜率为,
当光线与相切时，光线斜率为，
所以由图可知的取值范围是
故答案为：．
二、选择题
13.A 14.A 15.C 16.C
16.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点、且与平行的平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设，该曲线与圆锥的底面圆交于点，
因为，所以，即为等边三角形，
又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，
过点作轴，以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为所以，
又，所以
则点，所以，解得（负值舍去），
所以双曲线的离心率故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）最大拱高米，拱宽米
20.（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知双曲线的离心率为2，点在上，直线交双曲线的右支于不同的两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过，求的取值范围；
（3）若线段的垂直平分线过点，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，
又离心率为2，则，联立，解得，
故双曲线方程为
21.（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围；
（3）过点的动直线与椭圆有两个交点，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，
其中为半焦距，则所以
，解得故，故椭圆方程为．
（2）设，由，有．，故而，所以，
所以．
又，所以的取值范围是．
（3）①若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，,化简整理可得，
故
故
恒成立，故解得;
②若过点的动直线的斜率不存在，
则或，此时
若恒成立．结合①②可知，．故点纵坐标的取值范围为．