2025-2026学年人教版九年级数学 第二十一章 一元二次方程 核心知识点综合测试（含答案）

第二十一章核心知识点综合测试
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的解是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.方程化为一般式后的一次项系数和常数项依次是
A. ， B. ，1 C. 2， D. 2，1
4.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为
A. B. 1 C. 0 D. 无法确定
5.一元二次方程的根的情况是
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
6.若用配方法解方程，配方后的方程为，则的值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.若a是关于x的方程的一个根，则的值是
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
8.第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段采用分组单循环赛制每个小组的任意两人之间都只进行一场比赛，已知每个小组都需要进行15场比赛.若设每个小组的人数为x，则可列方程为
A. B. C. D.
9.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和则此方程正确的解为( )
A. B. ， C. ， D. 此方程无解
10.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.一元二次方程的解为 .
12.在一幅长为60cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是 .
13.已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 .
14.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 .
15.如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动.当的面积为时，运动时间为
三、计算题：本大题共3小题，共15分。
16.解下列方程：
；
；
四、解答题：本大题共6小题，共60分。
17.已知是关于x的一元二次方程的一个根，求n的值和该方程的另一个根.
18.如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成.已知墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为
若苗圃园的面积为，求x的值.
苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由.
19.已知关于x的一元二次方程
求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
当矩形ABCD的对角线AC长为，且矩形的两条边AB，BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长.
20.某超市销售一种商品，该商品每千克的成本为30元，经试销发现，该种商品每天的销售量单位：与销售单价单位：元之间满足一次函数关系，其每天的销售单价与销售量的四组对应值如下表：
销售单价元 40 45 55 60
销售量 80 70 50 40
求y与x之间的函数关系式.
若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售该商品，要使每天获得的利润为800元，该商品每天的销售量应为多少？
21.材料1：若关于x的一元二次方程的两个根分别为，，则有，
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，求的值.
解：方程的两个实数根分别为m，n，则，，
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ， ， .
类比应用：已知实数s，t分别满足，且，求的值；
思维拓展：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且满足，求m的值.
22.综合与实践：制作收纳盒
九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒.

【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒.如图①，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.
任务二：设计有盖长方形收纳盒.如图②，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分.
【问题解决】
若任务一中设计的收纳盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？
若任务二中设计的收纳盒的底面积为
①该收纳盒的高是多少？
②请判断能否把一个尺寸如图③所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】B
【解析】解：，，或，解得，故选
3.【答案】A
4.【答案】A
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：
根据题意可得：把代入方程得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】C
6.【答案】A
【解析】解：，
，
则，即，
，，
故选
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得：，
，
故选：
把代入，得，把所求式子化为代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8.【答案】A
9.【答案】C
【解析】解：由题意得：，，
A、，，故该选项不符合题意；
B、，，故该选项不符合题意；
C、，，故该选项符合题意；
D、由C分析可知，故该选项不符合题意；
故选：
根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，是解题的关键．
10.【答案】B
11.【答案】，
12.【答案】
13.【答案】2024
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】【小题1】
解： ，，方程有两个不等的实数根，即，
【小题2】
移项，得配方，得，由此可得，，
【小题3】
整理，得因式分解，得于是得，或，，

17.【答案】解：是关于x的一元一次方程的一个根，解得则原方程为解方程得，该方程的另一个根为
18.【答案】【小题1】
解：根据题意，得整理，得解得，当时，，不符合题意，舍去.当时，，符合题意的值为
【小题2】
苗圃园的面积不能达到理由如下：假设苗圃园的面积能达到，根据题意，得整理，得，原方程没有实数根假设不成立，即苗圃园的面积不能达到

19.【答案】【小题1】
证明：根据题意，得无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
【小题2】
解：画出矩形ABCD如图所示矩形的两条边AB，BC恰好是这个方程的两个根，，在中，，即，解得当时，当时，，不符合题意，舍去.综上所述，矩形ABCD的周长为

20.【答案】【小题1】
解：设y与x之间的函数关系式为将，代入，得解得与x之间的函数关系式为
【小题2】
由题意，得整理，得解得，商店的销售单价不低于成本价，且不高于60元，答：该商品每天的销售量应为

21.【答案】【小题1】
【小题2】
实数s，t分别满足，，且，，t是一元二次方程的两个不相等的实数根，，
【小题3】
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，，，，即解得，或，

22.【答案】【小题1】
解：设剪去的小正方形的边长为根据题意，得解得，不符合题意，舍去答：剪去的小正方形的边长为
【小题2】
①设收纳盒的高为acm，则收纳盒底面的长为，宽为根据题意，得解得，不符合题意，舍去收纳盒的高为②，不能把该玩具机械狗完全立着放入该收纳盒.

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