2025-2026学年人教版九年级数学 第二十二章 二次函数 核心知识点综合测试（含答案）

第二十二章核心知识点综合测试
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列各式中，y是x的二次函数的是
A. B. C. D.
2.抛物线与y轴的交点坐标是
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是
A. B. C. D.
4.二次函数图象的顶点所在的象限是
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是
A. B. C. D. 或
6.若点，，都在二次函数的图象上，则
A. B. C. D.
7.如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
8.已知二次函数，自变量x与函数值y的对应关系如下表所示.设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是
x … 0 …
y … …
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点A在x轴负半轴上，顶点D在y轴正半轴上.若抛物线经过点C，D，则点B的坐标为
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤为任意实数其中正确结论的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.已知是二次函数，则m的值为 .
12.若抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 .
13.一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 .
14.如图①为一停车棚的示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，按如图②所示的平面直角坐标系，棚顶的竖直高度单位：与距离停车棚支柱AO的水平距离单位：近似满足的函数关系式是，且棚顶最远点B的坐标为若一辆箱式货车需在该停车棚下避雨，货车截面可以看作长，高的矩形，则可以判定货车 完全停到该车棚内填“能”或“不能”
15.如图，在矩形ABCD中，，，动点P从点A出发，沿AD向终点D移动，连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE，DF，则面积的最小值为
三、解答题：本大题共5小题，共55分。
16.二次函数的图象如图所示.
求该二次函数的解析式；
求该函数的最小值.
17.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为
求点A，B，C的坐标；
是该二次函数图象上一动点，当的面积为12时，求出所有符合条件的点P的坐标.
18.某商店销售一种毛绒玩具，进价为25元/件.经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天销量件是每件售价元且x为正整数的一次函数，其部分对应数据如下表：
每件售价元 … 36 37 38 …
每天销售量件 … 78 76 74 …
求y与x之间的函数关系式；
求出每天销售的总利润元与x之间的函数关系式；
求该商店每天销售这种毛绒玩具的最大利润.
19.某小组计划制作一个水流装置，并探究其中蕴含的数学问题.下面是该小组制作装置的活动过程及探究的问题：
活动目的 制作简易水流装置
设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，点O，E，A，B在同一平面内.从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形.以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处.
示意图
已知 轴，，，B为水流所在抛物线的顶点，点A，B，O，E，M均在同一平面内，水流所在抛物线的函数解析式为
任务一 求水流所在抛物线的函数解析式.
任务二 现有一个底面半径为4cm，高为10cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由圆柱形水杯的厚度忽略不计
请根据活动过程完成任务一和任务二.
20.如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为
求点C的坐标及直线AC的函数解析式.
是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的面积的最大值.
是抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在点F，使以A，C，F，G四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的概念，一般地，如果是常数，，那么y叫做x的二次函数.
根据定义的一般形式进行判断即可.
【解答】
解：是一次函数，故本选项错误；
B.不是二次函数，故本选项错误；
C.是二次函数，故本选项正确；
D.x的最高次是3，不是二次函数，故本选项错误.
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求与坐标轴的交点坐标只需令或即可．此题可以令，求得y值，则即可求出与y轴的交点坐标．
【解答】
解：令，，则抛物线与y轴的交点坐标是
故选
3.【答案】C
4.【答案】B
【解析】，图像的顶点坐标为，顶点在第二象限．故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式，掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键.根据抛物线与x轴的交点坐标，结合函数图象即可得出答案.
【解答】
解：由可得：，，
观察函数图象可知，当或时，函数值
故选
6.【答案】A
【解析】先求得抛物线开口方向和对称轴.再根据二次函数的增减性即可判断.
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性.
解：二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴.
当时，y随x的增大而增大，
，
，
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数基础知识是解题的关键．
由题干条件可以得出二次函数解析式，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断．
【解答】
解：选项A：顶点坐标为，对称轴为，故选项A错误；
选项B：由对称性可知，关于对称的点为，故选项B错误；
选项C：开口向下，当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
选项D：设二次函数解析式为，将代入得，，令得，二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．
故选：
8.【答案】D
【解析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的对称性，即可判断方程两个根的范围．
【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为
，
由表中数据可知：在与之间，
对应的的值在与之间，即；
和时，，
二次函数图象关于y轴对称，
；
故选：
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】2040
13.【答案】
答案不唯一
14.【答案】能
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：由图象可知函数图象经过点，对称轴为直线解得，将代入，得解得该二次函数的解析式为
【小题2】
由，得，该函数的最小值为

17.【答案】【小题1】
解：由题意知，顶点C的坐标为令，即，解得，，
【小题2】
由知，设点P的坐标为的面积为12，即，解得负值不符合题意，已舍去解得或点P的坐标为或

18.【答案】【小题1】
解：设y与x之间的函数关系式为把和代入，得解得与x之间的函数关系式为且x为正整数
【小题2】
根据题意，得即每天销售的总利润元与x之间的函数关系式为且x为正整数
【小题3】
由知，，当时，总利润w最大，最大为1200元.答：该商店每天销售这种毛绒玩具的最大利润为1200元.

19.【答案】解：任务一 轴，，点B为水流所在抛物线的顶点，该抛物线的对称轴为，即将代入，得将代入，得解得水流所在抛物线的函数表达式为
任务二 由题意可知，圆柱形水杯最左端到点O的水平距离是当时，，水流能流到圆柱形水杯内.

20.【答案】【小题1】
解：将代入，得解得该抛物线的解析式为将点C的横坐标代入，得设直线AC的函数解析式为将，代入，得解得直线AC的函数解析式是
【小题2】
由题意知当PE取得最大值时，的面积取得最大值.设点P的横坐标为，则点P，E的坐标分别为，点P在点E的上方当时，PE取得最大值，最大值为此时，即的面积的最大值是
【小题3】
存在.设，以A，C，F，G四个点为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况：①如图1，当以AC为对角线时，即解得舍，或

图1 图2
②如图2，当以AG为对角线时，即解得舍，或③如图3和图4，当以AF为对角线时，即解得或

图3 图4
综上，点F的坐标为或或或

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