第23章 图形的相似 同步单元达标练习（含答案）2025-2026学年华东师大版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第23章 图形的相似 同步单元达标练习（含答案）2025-2026学年华东师大版九年级数学上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 901.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-27 13:40:05 | ||
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文档简介
第23章 图形的相似 同步单元达标练习
一．选择题
1．将点M（﹣2，3）向右平移n个单位长度到达点N，若点N的横坐标和纵坐标相等，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．4 C．5 D．﹣6
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
4．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（ ）
A．30cm B． C．20cm D．
5．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点（3，1），过山车位于点（﹣3，﹣1）．则摩天轮位于点（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣1，3） D．（1，3）
6．如图，已知△ABC∽△ADE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠ADE B．∠1＝∠2
C． D．
7．如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝2.4cm，则线段AC的长为（ ）
A．14.4cm B．9.6cm C．7.2cm D．6.4cm
8．下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．有一个内角是105°的两个等腰三角形
B．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形
C．两边对应成比例的两个直角三角形
D．一个内角为50°的两个直角三角形
9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
10．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，分别连接DE，EF，DF，AE，AE与AE相交于点O．有下列四个结论：
①；
②
③当AB＝AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；
④当∠ABC＝90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
二．填空题
11．已知，那么 ．
12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，BD，CB和AC的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH．若AB⊥CD，AB＝8，CD＝12，则四边形EFGH的面积等于 ．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转120°至FE，连接AF与CD交于点G，若，则 ．
16．定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．可证得△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为 ．
17．如图，已知四边形ABCD是矩形，点F在BC的延长线上，DC＝CF，AF与BD相交于点G，与CD相交于点E，且BD⊥AF，则下列结论正确的有 ．（把正确的结论序号填在横线上）
①△BCD≌△ECF；②AD2＝DG DB；③如果AD＝1，则；④∠CGE＝45°．
三．解答题
18．已知A（m+1，n﹣2），B（4，3）两点．
（1）若A，B两点关于x轴对称，求m﹣n的值；
（2）若点A到y轴的距离是3，且AB∥x轴，求点A的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以O为位似中心，在第二象限画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）△A1B1C1的面积为 ．
20．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EF＝60mm时，这个矩形的面积是多少？
21．天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．
初识定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC2＝AB BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，线段AC与AB的比k叫做黄金比．
（1）计算黄金比：如图1，已知点C是线段AB的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令AB＝1，请求出k的值．
（2）简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高160cm，肚脐到脚底的高度是96cm，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到0.1cm）．（可能用到的数值：，，）
（3）迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中x＜y），AE＝x，BE＝y剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明．
22．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆成如图所示的样子，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）若它们的斜边长为，△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），求BE CD的值．（选择下边一种情况解答）
23．某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度AB，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆CD，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得DE＝1.5米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着BF移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，FH＝2.4米，已知小明的目高GH＝1.6米，AB⊥BH，CD⊥BH，GH⊥BH，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树AB的高度．
24．综合与实践
【探究课题】确定匀质薄板的重心位置．
任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置
如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心．
任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置
如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形ABCD匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点O处，且重心O的坐标为，其中x1，x2表示点B，D的横坐标，y1，y2表示点B，D的纵坐标．
任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置
通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为G（x，y），面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为G1（x1，y1），G2（x2，y2）， ，Gn（xn，yn），面积分别为S1，S2， ，Sn，则，．如图3①，“L”形匀质薄板ABCDEF中，AB＝120，BC＝80，CD＝AF＝12，确定该薄板的重心位置的步骤：
①先求出该薄板的面积S＝2256；
②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图3②）；
③确定长方形薄板Ⅰ的重心为G1（6，60），面积S1＝1440；长方形薄板Ⅱ的重心为G2（46，6），面积S2＝816；
④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为（20.5，40.5）．
【解决问题】
（1）如图4所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是 ；
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
（2）如图5，正方形AOBC中，B（8，0），求正方形AOBC的重心坐标；
（3）如图6，多边形ABCDEFGH中，AB＝8，BC＝16，CD＝DE＝GF＝4，EF＝6，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C D B C B C
二．填空题
11．
12．16．
13．1．
14．24．
15．．
16．21°或42°．
17．①②④．
三．解答题
18．解：（1）∵A，B两点关于x轴对称，
∴m+1＝4，n﹣2＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝3﹣（﹣1）＝4；
（2）∵点A到y轴的距离是3，
∴点A的横坐标为3或﹣3，
又∵AB∥x轴，
∴点A的纵坐标为3，
∴A（3，3）或（﹣3，3）．
19．解：（1）根据△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1画出图形即可，如图：△A1B1C1即为所作，
（2）△A1B1C1的面积为，
故答案为：8．
20．（1）证明：∵四边形EFHG是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）解：设EG＝EF＝xmm，
∵△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝48，
∴正方形零件的边长为48mm；
（3）解：设EG＝amm，
∵四边形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴a＝40，
∴40×60＝2400（mm2），
这个矩形的面积是2400mm2．
21．解：（1）设AC＝x，根据黄金分割点的定义可得：
x2＝1 （1﹣x），
解得，（舍去）
∴；
（2）方案：穿高跟鞋，
设高跟鞋的高度为ycm，根据黄金分割点的定义可得：
，
解得y≈7.5cm，
经检验，y＝7.5是该方程的解；
（3）矩形EBCF是黄金矩形，理由如下：
根据左右两个图的面积相等得：（x+y）2＝y（x+2y），
解得：，
∴，
∴，
∴矩形EBCF是黄金矩形．
22．解：（1）△EAD∽△EBA，△BAE∽△CDA，
下面证明△EAD∽△EBA：
∵△ABC和△GAF是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∵∠AED＝∠AEB，
∴△EAD∽△EBA；
（2）∵△ABC和△GAF是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠GAF，
∴∠ADC+∠BAD＝∠BAD+∠BAE，
∴∠ADC＝∠BAE，
∵∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△DCA，
∴BE：AC＝AB：DC，
∴BE CD＝AC AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝ACBC22，
∴BE CD＝2×2＝4．
23．解：∵EF＝3米，
∴BF＝（BE+3）米，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，
∴AB∥CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴．
∵DE＝1.5米，CD＝1.5米，
∴EB＝AB，
∵AB⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABF＝∠GHF＝90°，
又∵∠BFA＝∠HFG，
∴△BFA∽△HFG，
∴，
即，
∴，
解得：AB＝6，
答：树AB的高度为6米．
24．解：（1）图形可知AB边的中线与BC边的中线的交点为D，如图所示，
故点D是△ABC的重心，
故选：A；
（2）∵AOBE是正方形，B（8，0），
∴AC＝BC＝8，
∴C（8，8），
∴重心坐标为（4，4）；
（3）建立平面直角坐标系分割图形如图所示：
∵AB＝8，BC＝16，CD＝DE＝GF＝4，EF＝6，
∴S＝8×8+（16﹣8﹣4）×（4+6）+4×4＝64+40+16＝120，
G1（﹣12，4），S1＝64，
G2（﹣6，5），S2＝40，
G3（﹣2，2），S3＝16，
∴．
∴．
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一．选择题
1．将点M（﹣2，3）向右平移n个单位长度到达点N，若点N的横坐标和纵坐标相等，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．4 C．5 D．﹣6
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
4．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（ ）
A．30cm B． C．20cm D．
5．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点（3，1），过山车位于点（﹣3，﹣1）．则摩天轮位于点（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣1，3） D．（1，3）
6．如图，已知△ABC∽△ADE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠ADE B．∠1＝∠2
C． D．
7．如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝2.4cm，则线段AC的长为（ ）
A．14.4cm B．9.6cm C．7.2cm D．6.4cm
8．下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．有一个内角是105°的两个等腰三角形
B．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形
C．两边对应成比例的两个直角三角形
D．一个内角为50°的两个直角三角形
9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
10．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，分别连接DE，EF，DF，AE，AE与AE相交于点O．有下列四个结论：
①；
②
③当AB＝AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；
④当∠ABC＝90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
二．填空题
11．已知，那么 ．
12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，BD，CB和AC的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH．若AB⊥CD，AB＝8，CD＝12，则四边形EFGH的面积等于 ．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转120°至FE，连接AF与CD交于点G，若，则 ．
16．定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．可证得△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为 ．
17．如图，已知四边形ABCD是矩形，点F在BC的延长线上，DC＝CF，AF与BD相交于点G，与CD相交于点E，且BD⊥AF，则下列结论正确的有 ．（把正确的结论序号填在横线上）
①△BCD≌△ECF；②AD2＝DG DB；③如果AD＝1，则；④∠CGE＝45°．
三．解答题
18．已知A（m+1，n﹣2），B（4，3）两点．
（1）若A，B两点关于x轴对称，求m﹣n的值；
（2）若点A到y轴的距离是3，且AB∥x轴，求点A的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以O为位似中心，在第二象限画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）△A1B1C1的面积为 ．
20．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EF＝60mm时，这个矩形的面积是多少？
21．天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．
初识定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC2＝AB BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，线段AC与AB的比k叫做黄金比．
（1）计算黄金比：如图1，已知点C是线段AB的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令AB＝1，请求出k的值．
（2）简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高160cm，肚脐到脚底的高度是96cm，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到0.1cm）．（可能用到的数值：，，）
（3）迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中x＜y），AE＝x，BE＝y剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明．
22．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆成如图所示的样子，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）若它们的斜边长为，△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），求BE CD的值．（选择下边一种情况解答）
23．某校数学兴趣小组准备去测量教学楼前树的高度AB，测量方案如下：如图，首先，小明在D处竖立了一个1.5米高的标杆CD，此时发现地面上的点E、标杆顶端C和树的顶端A在一条直线上，并测得DE＝1.5米，接着在位于点E前方3米的点F处放置一平面镜（平面镜大小忽略不计），当小明沿着BF移动到点H处时，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A的像，FH＝2.4米，已知小明的目高GH＝1.6米，AB⊥BH，CD⊥BH，GH⊥BH，点B、D、E、F、H在一条直线上，求树AB的高度．
24．综合与实践
【探究课题】确定匀质薄板的重心位置．
任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置
如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心．
任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置
如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形ABCD匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点O处，且重心O的坐标为，其中x1，x2表示点B，D的横坐标，y1，y2表示点B，D的纵坐标．
任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置
通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为G（x，y），面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为G1（x1，y1），G2（x2，y2）， ，Gn（xn，yn），面积分别为S1，S2， ，Sn，则，．如图3①，“L”形匀质薄板ABCDEF中，AB＝120，BC＝80，CD＝AF＝12，确定该薄板的重心位置的步骤：
①先求出该薄板的面积S＝2256；
②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图3②）；
③确定长方形薄板Ⅰ的重心为G1（6，60），面积S1＝1440；长方形薄板Ⅱ的重心为G2（46，6），面积S2＝816；
④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为（20.5，40.5）．
【解决问题】
（1）如图4所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是 ；
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
（2）如图5，正方形AOBC中，B（8，0），求正方形AOBC的重心坐标；
（3）如图6，多边形ABCDEFGH中，AB＝8，BC＝16，CD＝DE＝GF＝4，EF＝6，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C D B C B C
二．填空题
11．
12．16．
13．1．
14．24．
15．．
16．21°或42°．
17．①②④．
三．解答题
18．解：（1）∵A，B两点关于x轴对称，
∴m+1＝4，n﹣2＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝3﹣（﹣1）＝4；
（2）∵点A到y轴的距离是3，
∴点A的横坐标为3或﹣3，
又∵AB∥x轴，
∴点A的纵坐标为3，
∴A（3，3）或（﹣3，3）．
19．解：（1）根据△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1画出图形即可，如图：△A1B1C1即为所作，
（2）△A1B1C1的面积为，
故答案为：8．
20．（1）证明：∵四边形EFHG是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）解：设EG＝EF＝xmm，
∵△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝48，
∴正方形零件的边长为48mm；
（3）解：设EG＝amm，
∵四边形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴a＝40，
∴40×60＝2400（mm2），
这个矩形的面积是2400mm2．
21．解：（1）设AC＝x，根据黄金分割点的定义可得：
x2＝1 （1﹣x），
解得，（舍去）
∴；
（2）方案：穿高跟鞋，
设高跟鞋的高度为ycm，根据黄金分割点的定义可得：
，
解得y≈7.5cm，
经检验，y＝7.5是该方程的解；
（3）矩形EBCF是黄金矩形，理由如下：
根据左右两个图的面积相等得：（x+y）2＝y（x+2y），
解得：，
∴，
∴，
∴矩形EBCF是黄金矩形．
22．解：（1）△EAD∽△EBA，△BAE∽△CDA，
下面证明△EAD∽△EBA：
∵△ABC和△GAF是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∵∠AED＝∠AEB，
∴△EAD∽△EBA；
（2）∵△ABC和△GAF是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠GAF，
∴∠ADC+∠BAD＝∠BAD+∠BAE，
∴∠ADC＝∠BAE，
∵∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△DCA，
∴BE：AC＝AB：DC，
∴BE CD＝AC AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝ACBC22，
∴BE CD＝2×2＝4．
23．解：∵EF＝3米，
∴BF＝（BE+3）米，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，
∴AB∥CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴．
∵DE＝1.5米，CD＝1.5米，
∴EB＝AB，
∵AB⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABF＝∠GHF＝90°，
又∵∠BFA＝∠HFG，
∴△BFA∽△HFG，
∴，
即，
∴，
解得：AB＝6，
答：树AB的高度为6米．
24．解：（1）图形可知AB边的中线与BC边的中线的交点为D，如图所示，
故点D是△ABC的重心，
故选：A；
（2）∵AOBE是正方形，B（8，0），
∴AC＝BC＝8，
∴C（8，8），
∴重心坐标为（4，4）；
（3）建立平面直角坐标系分割图形如图所示：
∵AB＝8，BC＝16，CD＝DE＝GF＝4，EF＝6，
∴S＝8×8+（16﹣8﹣4）×（4+6）+4×4＝64+40+16＝120，
G1（﹣12，4），S1＝64，
G2（﹣6，5），S2＝40，
G3（﹣2，2），S3＝16，
∴．
∴．
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