第4章 图形的相似 同步单元达标练习（含答案）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第4章 图形的相似 同步单元达标练习
一．选择题
1．下列两个三角形不一定相似的是（　　）
A．有一个内角是105°的两个等腰三角形
B．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形
C．两边对应成比例的两个直角三角形
D．一个内角为50°的两个直角三角形
2．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　）
A．2：3 B．： C．2：5 D．4：9
3．如图，△ADE中，BC∥DE，，S四边形BDEC＝16，则S△ADE为（　　）
A．40 B．30 C．25 D．20
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（　　）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，爸爸拿的光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（　　）
A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少0.5米
6．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果AD：BC＝1：3，那么下列结论中不正确的是（　　）
A．S△BOC＝3S△COD B．S△AOB＝3S△AOD
C．S△AOB＝S△DOC D．S△BOC＝3S△AOD
8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
9．如图，在平行四边形ABCD中，，DE交AC于点F，那么的值是（　　）
A． B． C．1 D．
10．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，点E、O、F在另一条直线上．以下结论：①△AEG∽△DGF；②；③；④EF＝3DF．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一个三角形的最长边为10，则这个相似三角形的最短边为　 　 ．
12．如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米；然后沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得DE＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为　 　 米．
13．已知：，那么　 　 ．
14．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是　 　 千米．
15．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED＝∠B，AF⊥DE，垂足为点F．如果AF＝2，BC＝6，△ABC的面积为9，那么△ADE的面积为 　 　 ．
16．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为　 　 cm．
17．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转120°至FE，连接AF与CD交于点G，若，则　 　 ．
三．解答题
18．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，CD＝18．
（1）求AC的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB；
（3）若DE＝12，求BC长．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于M点位似，请写出M点坐标．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝20cm，点P从点A出发，沿AB的方向匀速运动，速度为5cm/s；同时点M由点C出发，沿CA的方向匀速运动，速度为4cm/s，过点M作MN∥AB交BC于点N．设运动时间为ts（0＜t＜5）
（1）求线段MN的长（用含t的代数式表示）；
（2）连接PN，是否存在某一时刻t，使S四边形AMNP＝48？若存在，求出t的值；若不存在说明理由；
（3）连接PM、PN，是否存在某一时刻t，使点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
21．综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为AB，在支架CD的点C处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离BD为12m，当观察者与支架的水平距离DF为2m时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点A．已知观察者的眼睛到地面的高度EF为1.6m，支架的高度CD为0.4m，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，EF⊥BD交BD的延长线于点F，求路灯AB的高度．
22．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题．
【感知】如图①，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED＝∠B，易证△ABC∽△AED．
【探究】如图②，在△ABC中，点D与点B重合，且∠AEB＝∠ABC．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）如图③，当∠BEA＝∠ABC＝90°时，则图中共有　 　 组相似三角形，线段AB、AC、AE的数量关系为　 　 ．
【应用】（3）如图④，在△ABC中，作CD⊥AB于点D，作DE⊥BC于点E、作DF⊥AC于点F．若AC＝3，BC＝5，则的值为　 　 ．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C B B D C B D
二．填空题
11．6．
12．6.4．
13．．
14．16．
15．4．
16．4．
17．．
三．解答题
18．（1）解：∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴，
∴CE9，
∴AC＝AE+CE＝12；
（2）证明：∵，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
（3）解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴BE＝4，
∵△ABE∽△ACB，
∴，
∵AB＝6，AE＝3，AC＝12，BE＝4，
∴，
∴BC＝8．
19．解：（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）如图2，△A2B2C2即为所求；
（3）M（0，﹣2）．理由如下：
如图3，
∵A1（4，﹣2），B1（2，0），C1（1，﹣1），A2（﹣8，﹣2），B2（﹣4，﹣6），C2（﹣2，﹣4），
∴M（0，﹣2）．
20．解：（1）∵AB＝25cm，AC＝20cm，∠C＝90°，
∴，
由题意，CM＝4tcm，AP＝5tcm，
∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴，即：，
∴MN＝5tcm；
（2）存在；
由（1）知：AP＝5tcm，CM＝4tcm，MN＝5tcm，
∴MN＝AP，AM＝AC﹣CM＝（20﹣4t）cm，
又∵MN∥AB，
∴四边形AMNP为平行四边形，
∴PN∥AC，
∵∠C＝90°，
∴CN⊥CM，
CN3tcm，
∴S四边形AMNP＝AM CN＝（20﹣4t） 3t＝48，
解得t＝1或t＝4；
故当t＝1或t＝4时，S四边形AMNP＝48；
（3）存在；
作MD⊥AB于点D，则：∠ADM＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AMD∽△ABC，
∴，即：，
∴，
当点P在线段MN的垂直平分线上时，则：PM＝PN，
由（2）可知四边形AMNP为平行四边形，
∴PN＝AM，
∴PM＝AM，
∵MD⊥AB，
∴，
∴，
解得；
21．解：如图所示，过点C作MN∥BF，
∵由题意可得：AB⊥MN，CD⊥MN，EF⊥MN，
∴∠AMC＝∠ENC＝90°，
∴四边形MBFN为矩形，
∴MB＝CD＝FN＝0.4m，
由题意可得：∠ACM＝∠ECN，
∴△AMC∽△ENC，
∴，
∵BD＝12m，DF＝2m，
∴CM＝BD＝12m，CN＝DF＝2m，
∵CD＝0.4m，EF＝1.6m，
∴EN＝EF﹣CD＝1.2m，
∴，
∴AM＝7.2，
∴AB＝AM+BM＝7.2+0.4＝7.6（m）．
答：路灯的高度为7.6m．
22．解：（1）∵∠AEB＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△AED．
（2）共有3组相似三角形，线段AB、AC、AE的数量关系为AB2＝AE AC，理由如下：
∵∠BEA＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠BEA＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CBE，
∵∠BEC＝∠BEA，
∴△ABE∽△BCE，
∵∠BAE＝∠BAC，∠BEA＝∠ABC，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AE AC，
∵∠ACB＝∠BCE，∠BEC＝∠ABC，
∴△CBE∽△CAB，
∴共有3组相似三角形，线段AB、AC、AE的数量关系为AB2＝AE AC．
故答案为：3；AB2＝AE AC；
（3）由（2）可知，CD2＝CF AC，CD2＝CE BC，
∴CF AC＝CE BC，
∴．
故答案为：．
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