23《黄金分割》教学设计
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文档简介
《黄金分割》教学设计
一、课标分析
在阅读华师版九年级的“黄金分割”材料时，学生需首先理解其数学抽象定义，即从几何图形中提炼出线段被分割成两部分，且较长部分与整体的比值等于较短部分与较长部分的比值这一核心特征，这一过程锻炼了数学抽象能力，并为逻辑推理奠定基础.接着，学生需通过代数方法推导黄金分割比例关系，验证其性质，同时灵活运用数学知识建立数学模型，分析和解决实际问题，进一步提升逻辑推理能力.此外，将黄金分割应用于艺术作品、建筑设计或自然界比例关系的分析，以及绘制黄金矩形、螺旋等图形，增强了直观想象能力.数学运算与数据分析环节则要求学生计算黄金分割比，分析给定比例差异，探讨黄金分割在实际应用中的价值.最后，了解黄金分割在多领域的广泛应用，不仅增强了学生的数学文化意识，还鼓励他们尝试创新应用，展现创新能力.
二、学情分析
在本节课之前，学生已经掌握了比和比例、二次根式、一元二次方程、相似三角形的判定以及勾股定理等关键基础知识.这些知识为理解黄金分割的概念和计算黄金比奠定了坚实的基础.然而，在更深层次地综合运用一元二次方程和相似三角形的知识来领悟黄金分割的深层含义，特别是在用尺规作图画黄金矩形和验证黄金三角形时，学生可能还需要进一步的合作学习以及教师的悉心指导.此外，学生在发展审美意识、体会黄金分割的文化价值方面，也需要更多的启发和感悟.这要求教师在教学过程中，不仅要注重知识的传授，还要注重引导学生发现并欣赏数学之美，深刻感受黄金分割在各个领域中的广泛应用及其深远影响.通过具体的案例和实践活动，帮助学生将数学知识与现实生活紧密联系起来，从而培养他们的数学素养，提升他们的审美能力.
三、教学目标
1.通过阅读理解，能说出黄金分割的定义、黄金分割点和黄金比；
2.根据黄金分割的性质，能够运用方程思想构建数学模型推导黄金比的准确值；
3.会用尺规作图能作出一条线段的黄金分割点，并会画出黄金矩形和黄金三角形；
4.通过欣赏建筑、艺术等中的黄金分割，能用数学的眼光欣赏世界.
四、教学重难点
重点：理解黄金分割的概念、黄金比、黄金分割点；
难点：会求黄金比准确值，能作出线段黄金分割点.
五、教学策略分析
这节课从数学之美学习黄金分割，从导入欣赏美、探究美、创造美、应用美、升华美和实践美等环节进行学习。采取任务驱动、团队协作、积分奖励和神秘礼物的策略进行教学，每个任务都设计多层的问题串，通过层层追问，让学生在问题情境中解决问题，使学生发现问题、提出问题，引发学生的认知冲突.采用教师启发引导，学生白主探究和小组合作相结合的教学方式，利用希沃多媒体、几何画板、AI数字人、AI工具等现代信息技术辅助教学，充分调动学生学习的积极性，让学生在听觉视觉中感受到“人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”核心理念，促使其体会数学的应用价值和文化价值.
六、教学过程
（一）创设情境，导入新课——欣赏美
人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。请同学们在莫扎特的钢琴曲中欣赏下列图片：
（导语：上面三幅图是摄影师用三分法拍出精美的作品，下面三幅图是建筑师用黄金比例设计出地标性建筑，莫扎特的钢琴曲用各声比例创作优美旋律。这些不同艺术形式的杰作都巧妙运用到 了黄金比例，这就是本节课我们要学习的内容数学之美《黄金分割》（板书课题）.
学习目标（齐读）：
1.通过自主阅读能说出黄金分割定义、黄金分割点和黄金比.（重点）
2.根据黄金分割的性质，能够运用方程思想构建数学模型推导黄金比的准确值.（难点）
3.会用尺规作图作出一条线段的黄金分割点，并会画出黄金矩形和黄金三角形.（难点）
4.通过欣赏建筑、艺术等领域中黄金分割的应用实例，能用数学的眼光欣赏世界.
（导语：根据学习目标，采取任务驱动，团队协作，积分评优的学习路径进行。同学们有没有信心？（有），请看任务（一））
（二）自学感知，合作探究——探索美
任务（一）：阅读理解（3分钟，2分钟开始作答）
请你认真阅读课本P56页阅读材料“黄金分割”，思考以下问题：
1.什么是黄金分割？什么是黄金分割点？什么是黄金比？
2.如何求黄金比值？
3.你能列举黄金分割的例子吗？
2.展学
黄金分割定义：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段与全长之比，即，则比值约等于0.618，这种分割叫做黄金分割，或者称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点.
（板书）点P是线段AB的黄金分割点
（追问：黄金比的近似值是0.618是如何得到的？请看任务（二））
任务（二）：探究黄金比值
已知，点P是线段AB的黄金分割点，求的值.
导语：要求黄金比，线段AB的长度是关键，不妨设AB=1，黄金比=AP=x，则BP=1-x,建立方程求解.请同学们试一试.
（追问1：通过列方程求解，求出黄金比为，为什么黄金比的近似值是0.618？）
（追问2.还有其他方法吗？（此解法点到为止）在解中考几何压轴题时，如果原题没有明确线段数值时，可设线段长度为单位1，对解题计算要简便.）
方法2：如图.
∵点P是线段AB的黄金分割点
∴
设AB=a，AP=x，则PB=a-x，得到方程，解得，（舍去）
∴黄金比≈0.618
问题1：根据黄金分割的性质，列方程求解，求出黄金比为≈0.618，你做对了吗？如果已知一条线段的长度，如何求较长和较短线段的长度呢？请看“国家平台”《黄金分割》精品课讲解。
问题2：在主持节目时，站在舞台的什么位置最自然得体？这样的位置有几个？如果舞台AB长度是10m,那么主持人应该站在什么位置最自然得体？（结果保留根号）
问题3：你能列举生活中黄金分割的例子吗？下面通过视频一起欣赏海南的黄金分割案例。
（导语：黄金分割让我们的生活变得如此美丽，如何用黄金分割创造美？如何确定黄金分割点的位置？）
（三）迁移应用，提升能力——创造美
任务（三）：尺规作图作已知线段的黄金分割点
已知线段AB
求作点P，使点P为AB的黄金分割点.（提示：黄金分割比为，思考其中每个数字如何转化为图形的线段的长度？)
作法：
（1）作RT△ABC，使直角边BC：AB=1：2；
（2）以点C为圆心，线段BC长为半径画弧，交斜边AC于点D；
（3）以点A为圆心，线段AD长为半径画弧，交AB于点P；
∴点P就是所作线段AB的黄金分割点。
（导语：我们用几何画板再演示一次完整的尺规作图。如果在点A处作直角，同样的步骤，我们发现，线段AB上有两个黄金分割点。如何验证所作的点P黄金分割点呢？哪位同学来回答.）
(导语：宽、长的比为黄金比的矩形称这为黄金矩形.如何作出黄金图形？）
任务（四）:尺规作图作宽与长的比是黄金比的矩形.
已知，点P是线段AB的黄金分割点
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的宽、长之比等于黄金比.
（导语：我们用几何画板再演示一次完整的尺规作图。黄金矩形体现在达芬奇如何创作《蒙娜丽莎》作品里，请欣赏数字人达芬奇讲解《蒙娜丽莎》中的黄金分割）
（追问：五角星是由多个底、腰之比是黄金比的等腰三角形，请同学思考如何作出作底、腰之比是黄金比的等腰三角形？）
任务（五）：尺规作图作底、腰之比是黄金比的等腰三角形.
已知，点P是线段AB的黄金分割点.
求作：等腰三角形ABC，使得等腰三角形ABC的腰、底之比等于黄金比.
（小组合作探究，教师巡视指导，学生展学）
（导语:在三角形中，我们把底与腰或腰与底的比为黄金比的三角形，称为黄金三角形.作黄金三角形时，同学们要注意，黄金比是短线段比长的线段，需要对等腰三角形的腰与底哪段是长的进行分类讨论，因此可以作出两种不同的黄金三角形，请看几何画板演示）
（四）检测反馈 个性辅导——应用美
1.小明的的身高为180cm，那么黄金分割点距离小明的脚底多少cm？
2．据有关实验测定,当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时,人体感到最舒适.人体感到最舒适的气温是多少℃？
(五)自我评价，总结反思——升华美
1.请你从知识、思想、方法三个维度谈谈你对这节课的收获、感悟、疑惑.
2.请根据这节课所学习的知识点绘制结构图.
3.这节课你展示 次，参与 次，质疑 次，错题有 题.
4.请你对这节课的表现进行评价（ ）.
A、认真，值得表扬 B、还可以，继续努力 C、有待改进
（导语：黄金分割是一种被广泛应用于生活生产中，希望同学们今后的学习生活中，擅于用数学眼光发现美，用数学思维思考美，用数学之美讲述自然之美.你会发现：最美的风景不在标准的答案里，而在你永不停歇的求索中.最后，我用deepseek撰写一首《满江红·黄金分割》词结束这节课。）
满江红·黄金分割
古韵今传，算筹里，奥秘初藏.观万物，螺旋贝壳.宇宙星辰循此律，自然造化展华章.探几何，一点分割处，美韵长.寻比例，思量忙.黄金梦，墨香扬.绘丹青画卷，雅意非常.建筑雕栏凭此立，诗文韵律亦同襄（xiāng）.叹世间，处处有和谐，皆因美.
（导语：这节课通过尺规作图，可以作出线段的黄金分割点，我们还可以通过折纸的方式折出黄金分割点，课后同学们可以完成综合实践题，同时五一节将来临，同学们可以用黄金分割完成板报设计）
（六）巩固训练，分层进阶——实践美
1.【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：
第一步，准备一张宽MN＝2a，长MR足够的矩形纸片NMRT，利用图1的方法折出一个
正方形NMAD，然后把纸片展平；
第二步，如图2，把正方形NMAD折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到MA，ND的中点P，Q；
第三步，折出矩形QPAD的对角线PD，并把PD折到如图3中的PB处；
第四步，展平纸片，如图4，过点B折出BC⊥MR交NT于点C，得到矩形ABCD．
小军得到两个结论：点A为线段MB的黄金分割点，所得矩形ABCD是黄金矩形．
【问题解决】请你证明小军的上述结论是否正确.
2.（实践作业）五一”劳动节即将到来，请你根据今天所学内容，完成一期黑板报设计，要求主次分明、美观大方的排版.
七、板书设计
黄金分割
定义 性质
数 ∵ ∵点P是线段AB的黄金分割点
∴点P是线段AB的黄金分割点 ∴
形 方程思想
结 合 应用
一、课标分析
在阅读华师版九年级的“黄金分割”材料时，学生需首先理解其数学抽象定义，即从几何图形中提炼出线段被分割成两部分，且较长部分与整体的比值等于较短部分与较长部分的比值这一核心特征，这一过程锻炼了数学抽象能力，并为逻辑推理奠定基础.接着，学生需通过代数方法推导黄金分割比例关系，验证其性质，同时灵活运用数学知识建立数学模型，分析和解决实际问题，进一步提升逻辑推理能力.此外，将黄金分割应用于艺术作品、建筑设计或自然界比例关系的分析，以及绘制黄金矩形、螺旋等图形，增强了直观想象能力.数学运算与数据分析环节则要求学生计算黄金分割比，分析给定比例差异，探讨黄金分割在实际应用中的价值.最后，了解黄金分割在多领域的广泛应用，不仅增强了学生的数学文化意识，还鼓励他们尝试创新应用，展现创新能力.
二、学情分析
在本节课之前，学生已经掌握了比和比例、二次根式、一元二次方程、相似三角形的判定以及勾股定理等关键基础知识.这些知识为理解黄金分割的概念和计算黄金比奠定了坚实的基础.然而，在更深层次地综合运用一元二次方程和相似三角形的知识来领悟黄金分割的深层含义，特别是在用尺规作图画黄金矩形和验证黄金三角形时，学生可能还需要进一步的合作学习以及教师的悉心指导.此外，学生在发展审美意识、体会黄金分割的文化价值方面，也需要更多的启发和感悟.这要求教师在教学过程中，不仅要注重知识的传授，还要注重引导学生发现并欣赏数学之美，深刻感受黄金分割在各个领域中的广泛应用及其深远影响.通过具体的案例和实践活动，帮助学生将数学知识与现实生活紧密联系起来，从而培养他们的数学素养，提升他们的审美能力.
三、教学目标
1.通过阅读理解，能说出黄金分割的定义、黄金分割点和黄金比；
2.根据黄金分割的性质，能够运用方程思想构建数学模型推导黄金比的准确值；
3.会用尺规作图能作出一条线段的黄金分割点，并会画出黄金矩形和黄金三角形；
4.通过欣赏建筑、艺术等中的黄金分割，能用数学的眼光欣赏世界.
四、教学重难点
重点：理解黄金分割的概念、黄金比、黄金分割点；
难点：会求黄金比准确值，能作出线段黄金分割点.
五、教学策略分析
这节课从数学之美学习黄金分割，从导入欣赏美、探究美、创造美、应用美、升华美和实践美等环节进行学习。采取任务驱动、团队协作、积分奖励和神秘礼物的策略进行教学，每个任务都设计多层的问题串，通过层层追问，让学生在问题情境中解决问题，使学生发现问题、提出问题，引发学生的认知冲突.采用教师启发引导，学生白主探究和小组合作相结合的教学方式，利用希沃多媒体、几何画板、AI数字人、AI工具等现代信息技术辅助教学，充分调动学生学习的积极性，让学生在听觉视觉中感受到“人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”核心理念，促使其体会数学的应用价值和文化价值.
六、教学过程
（一）创设情境，导入新课——欣赏美
人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。请同学们在莫扎特的钢琴曲中欣赏下列图片：
（导语：上面三幅图是摄影师用三分法拍出精美的作品，下面三幅图是建筑师用黄金比例设计出地标性建筑，莫扎特的钢琴曲用各声比例创作优美旋律。这些不同艺术形式的杰作都巧妙运用到 了黄金比例，这就是本节课我们要学习的内容数学之美《黄金分割》（板书课题）.
学习目标（齐读）：
1.通过自主阅读能说出黄金分割定义、黄金分割点和黄金比.（重点）
2.根据黄金分割的性质，能够运用方程思想构建数学模型推导黄金比的准确值.（难点）
3.会用尺规作图作出一条线段的黄金分割点，并会画出黄金矩形和黄金三角形.（难点）
4.通过欣赏建筑、艺术等领域中黄金分割的应用实例，能用数学的眼光欣赏世界.
（导语：根据学习目标，采取任务驱动，团队协作，积分评优的学习路径进行。同学们有没有信心？（有），请看任务（一））
（二）自学感知，合作探究——探索美
任务（一）：阅读理解（3分钟，2分钟开始作答）
请你认真阅读课本P56页阅读材料“黄金分割”，思考以下问题：
1.什么是黄金分割？什么是黄金分割点？什么是黄金比？
2.如何求黄金比值？
3.你能列举黄金分割的例子吗？
2.展学
黄金分割定义：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段与全长之比，即，则比值约等于0.618，这种分割叫做黄金分割，或者称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点.
（板书）点P是线段AB的黄金分割点
（追问：黄金比的近似值是0.618是如何得到的？请看任务（二））
任务（二）：探究黄金比值
已知，点P是线段AB的黄金分割点，求的值.
导语：要求黄金比，线段AB的长度是关键，不妨设AB=1，黄金比=AP=x，则BP=1-x,建立方程求解.请同学们试一试.
（追问1：通过列方程求解，求出黄金比为，为什么黄金比的近似值是0.618？）
（追问2.还有其他方法吗？（此解法点到为止）在解中考几何压轴题时，如果原题没有明确线段数值时，可设线段长度为单位1，对解题计算要简便.）
方法2：如图.
∵点P是线段AB的黄金分割点
∴
设AB=a，AP=x，则PB=a-x，得到方程，解得，（舍去）
∴黄金比≈0.618
问题1：根据黄金分割的性质，列方程求解，求出黄金比为≈0.618，你做对了吗？如果已知一条线段的长度，如何求较长和较短线段的长度呢？请看“国家平台”《黄金分割》精品课讲解。
问题2：在主持节目时，站在舞台的什么位置最自然得体？这样的位置有几个？如果舞台AB长度是10m,那么主持人应该站在什么位置最自然得体？（结果保留根号）
问题3：你能列举生活中黄金分割的例子吗？下面通过视频一起欣赏海南的黄金分割案例。
（导语：黄金分割让我们的生活变得如此美丽，如何用黄金分割创造美？如何确定黄金分割点的位置？）
（三）迁移应用，提升能力——创造美
任务（三）：尺规作图作已知线段的黄金分割点
已知线段AB
求作点P，使点P为AB的黄金分割点.（提示：黄金分割比为，思考其中每个数字如何转化为图形的线段的长度？)
作法：
（1）作RT△ABC，使直角边BC：AB=1：2；
（2）以点C为圆心，线段BC长为半径画弧，交斜边AC于点D；
（3）以点A为圆心，线段AD长为半径画弧，交AB于点P；
∴点P就是所作线段AB的黄金分割点。
（导语：我们用几何画板再演示一次完整的尺规作图。如果在点A处作直角，同样的步骤，我们发现，线段AB上有两个黄金分割点。如何验证所作的点P黄金分割点呢？哪位同学来回答.）
(导语：宽、长的比为黄金比的矩形称这为黄金矩形.如何作出黄金图形？）
任务（四）:尺规作图作宽与长的比是黄金比的矩形.
已知，点P是线段AB的黄金分割点
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的宽、长之比等于黄金比.
（导语：我们用几何画板再演示一次完整的尺规作图。黄金矩形体现在达芬奇如何创作《蒙娜丽莎》作品里，请欣赏数字人达芬奇讲解《蒙娜丽莎》中的黄金分割）
（追问：五角星是由多个底、腰之比是黄金比的等腰三角形，请同学思考如何作出作底、腰之比是黄金比的等腰三角形？）
任务（五）：尺规作图作底、腰之比是黄金比的等腰三角形.
已知，点P是线段AB的黄金分割点.
求作：等腰三角形ABC，使得等腰三角形ABC的腰、底之比等于黄金比.
（小组合作探究，教师巡视指导，学生展学）
（导语:在三角形中，我们把底与腰或腰与底的比为黄金比的三角形，称为黄金三角形.作黄金三角形时，同学们要注意，黄金比是短线段比长的线段，需要对等腰三角形的腰与底哪段是长的进行分类讨论，因此可以作出两种不同的黄金三角形，请看几何画板演示）
（四）检测反馈 个性辅导——应用美
1.小明的的身高为180cm，那么黄金分割点距离小明的脚底多少cm？
2．据有关实验测定,当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时,人体感到最舒适.人体感到最舒适的气温是多少℃？
(五)自我评价，总结反思——升华美
1.请你从知识、思想、方法三个维度谈谈你对这节课的收获、感悟、疑惑.
2.请根据这节课所学习的知识点绘制结构图.
3.这节课你展示 次，参与 次，质疑 次，错题有 题.
4.请你对这节课的表现进行评价（ ）.
A、认真，值得表扬 B、还可以，继续努力 C、有待改进
（导语：黄金分割是一种被广泛应用于生活生产中，希望同学们今后的学习生活中，擅于用数学眼光发现美，用数学思维思考美，用数学之美讲述自然之美.你会发现：最美的风景不在标准的答案里，而在你永不停歇的求索中.最后，我用deepseek撰写一首《满江红·黄金分割》词结束这节课。）
满江红·黄金分割
古韵今传，算筹里，奥秘初藏.观万物，螺旋贝壳.宇宙星辰循此律，自然造化展华章.探几何，一点分割处，美韵长.寻比例，思量忙.黄金梦，墨香扬.绘丹青画卷，雅意非常.建筑雕栏凭此立，诗文韵律亦同襄（xiāng）.叹世间，处处有和谐，皆因美.
（导语：这节课通过尺规作图，可以作出线段的黄金分割点，我们还可以通过折纸的方式折出黄金分割点，课后同学们可以完成综合实践题，同时五一节将来临，同学们可以用黄金分割完成板报设计）
（六）巩固训练，分层进阶——实践美
1.【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：
第一步，准备一张宽MN＝2a，长MR足够的矩形纸片NMRT，利用图1的方法折出一个
正方形NMAD，然后把纸片展平；
第二步，如图2，把正方形NMAD折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到MA，ND的中点P，Q；
第三步，折出矩形QPAD的对角线PD，并把PD折到如图3中的PB处；
第四步，展平纸片，如图4，过点B折出BC⊥MR交NT于点C，得到矩形ABCD．
小军得到两个结论：点A为线段MB的黄金分割点，所得矩形ABCD是黄金矩形．
【问题解决】请你证明小军的上述结论是否正确.
2.（实践作业）五一”劳动节即将到来，请你根据今天所学内容，完成一期黑板报设计，要求主次分明、美观大方的排版.
七、板书设计
黄金分割
定义 性质
数 ∵ ∵点P是线段AB的黄金分割点
∴点P是线段AB的黄金分割点 ∴
形 方程思想
结 合 应用