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沪科版数学八年级上册第14章全等三角形章末综合检测卷
数学考试
考试时间：120分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·宿迁期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等
C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等
【答案】B
【知识点】全等图形的概念；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意；
B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意；
C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意；
D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等图形的定义及特征（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）逐项分析判断即可.
2．（2024八上·邯郸月考）如图所示的两个三角形全等，且对应，则（ ）
A． B． C．对应 D．对应
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，且，对应，
∴，
A．∵，∴，该选项错误，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，该选项正确，故本选项符合题意；
C．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意；
D．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的定义以及对应角、对应边的判定方法逐项分析判断即可.
3．（2025八上·淳安期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：边b所对的角度为：，
∵图中的两个三角形全等，
∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等和三角形的内角和定理解题即可．
4．（2025八上·镇海区开学考）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图：
共有7个点符合，
所以 图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 7个，
故选：C．
【分析】分别以、、为公共边，根据全等三角形判定，找出与全等的格点三角形即可．
5．（2024八上·钱塘期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：点E为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
同理可证，
，
，
，
故选：C．
【分析】通过“AAS”证明，，得到，，根据全等三角形的性质可得，和矩形的面积相等，进行求解．
6．（2025八上·游仙期中）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可判断△OMP≌△ONP，依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：
在 和 中，
故选： D.
【分析】根据垂直定义得出再根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可.
7．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
8．（2025八上·石家庄月考）如图，， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
故选C．
【分析】先利用证明，得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可．
9．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠ADB=90°；
∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，
∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等），
∴∠EAH=∠DCH（等量代换）；
∵在△BCE和△HAE中
，
∴△AEH≌△CEB（AAS）；
∴AE=CE；
∵EH=EB=3，AE=4，
∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．
故答案为：A．
【分析】利用等角的余角相等可证∠EAH=∠DCH，再利用AAS证明△AEH≌△CEB，利用全等三角形的性质，可得出AE=CE，再求出CH的长。
10．（2024八上·吴兴期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（ ）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，，
∴∠AFG=∠AHG=90°，
在和中，
，
∴S△AFG=S△AHG，
同理：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，用边角边可证得，由全等三角形的对应边相等可得，由三角形的面积公式可得，结合已知，用可证得，于是可得这两个三角形的面积相等，同理可证得，于是可得，然后根据四边形DGBA的面积的和差得S四边形DGBA=2S△AFG可求得△AFG的面积，根据 可得关于FG的方程，解方程即可求解．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2024七上·文登期中）如图，是一个的正方形网格，则 ．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
由图可得：，，，
∴，
∴，
∴，
由图可得：，
∴.
故答案为：．
【分析】利用方格纸的特点利用“SAS”判断出△ADH≌△CED，由全等三角形的对应角相等得，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出，同理得，进而得出答案．
12．（2025八上·通渭期中）如图，小刚在河边的A点处，在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步.如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为 米.
【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意可得：AC=40步，CD=40步，总步数为140步，
则AC+CD+DE=140步
DE=140-40-40=60步，
∵小刚一步大约50厘米，
∴DE的实际长度为60×0.5=30米，
在△ABC和△DEC中，
∠BAC=∠EDC=90°，AC=DC，∠ACB=∠DCE
∴△ABC≌△DEC
∴AB=DE=30米
故答案为：30
【分析】由题意可得“总步数=AC+CD+DE”且AC=40步，CD=40步，进而可得DE的步数为140-40-40=60步，再结合步数与每步长度计算出DE的实际距离，最后根据“角边角（ASA）”证明△ABC≌△DEC，从而得到AB=DE，即可得出答案，
13．（2025八上·石家庄月考）如图，BE交AC于点M，交CF于点D，AB交CF于点N，，给出的下列五个结论中正确结论的序号为 ．
①；②；③；④；⑤．
【答案】①②③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴，
∴，故②正确，
∴，即，故①正确，
∵，
∴，
又∵
∴，故③正确，
根据题意，得不到不能证明成立，故④错误，
∵
∴，故⑤正确．
结论中正确结论的序号为①②③⑤．
故答案为①②③⑤．
【分析】根据题中条件，利用“AAS”可以得到，然后根据全等三角形的性质可判断①②；③根据ASA即可证明可以判断；④无法证明该结论；⑤根据ASA证明即可判断．
14．（2024八上·沭阳月考）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
．
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据SAS得到，然后根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理解答即可．
15．（2023八上·黄梅月考）如图，在中，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：24．
【分析】根据平行线的性质得，从而推出，进而得，于是利用三角形面积公式求出的值.
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、综合题
得分
16．（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．
（1）求证：≌．
（2）连结、，求证：．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD＝BF
∴CD+CF＝BF+CF，
∴DF＝BC，
又∵AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．
（2）证明：∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF，
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD＝∠EFB，
又∵CD=BF，
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD＝BE．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF＝BF+CF，可得DF＝BC，再根据HL证明三角形全等即可；
（2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝∠EFB，进而用“SAS”定理证明△ACD≌△EFB，即可得出结论．
17．（2024八上·前郭尔罗斯月考）作角：已知：
求作：，使．
作法：
1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
2、画一条射线，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点；
3、以点 为圆心， 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点；
4、过点画射线，则．
这样作出的和就是相等的．依据是（ ）．
【答案】；；；
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
18．（2023八上·沙市区期中）如图，在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，用于刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹；
（1）在图1中，作与全等（点D与点C不重合）；
（2）在图2中，作的高；
（3）在图3中，作（点F为小正方形的顶点，且不与点B重合）．
【答案】（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
【知识点】角的概念及表示；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定（边边边），如点D即为所求.
（2）取格点G，连接交于点E，则即为所求；
（3）利用网格的特点，，即可求解．
（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
19．（2024八上·东辽期末） 如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
≌；
（2）解：≌，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质
（1）由平行线的性质可知：∠B=∠ECD，结合已知条件，可通过SAS证得△ABC≌△DCE即可证得结论；
（2）由全等三角形的性质，全等三角形对应边相等可知：AB=CD=8，由线段的和差可知：BC=BD-CD代入即可得出答案.
20．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，AE＝CE.
（1）求证：；
（2）若BE=8，CH=3，求线段AB的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠EAH+∠EHA=90°，∠EAH+∠B=90°，
∴∠EHA=∠B，
在△BEC和△HEA中，
，
∴（AAS）.
（2）解：由（1）可知：，
∴BE=EH=8，
∵CH=3，
∴CE=AE=3+8=11，
∴AB=AE+BE=11+8=19.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△BEC≌△HEA；
（2）利用全等三角形的性质可得BE=EH=8，从而得出CE=AE=CH+EH=11，利用AB=AE+BE即可求解.
21．（2023八上·桐乡市月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
【答案】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；
任务二：，
，
，
；
应用：如图，延长、交于点，
∵CE⊥BD交BD延长线于点E，
，
平分，
，
在和中，
，
，
∴EF=CE，
∵CE=6，
，
，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，
∵∠ABD=180°-∠BAC-∠ADB，∠ACF=180°-∠BEC-∠CDE，∠ADB=∠CDE，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等、全等三角形的性质进行求解即可；
任务二：根据角平分线、垂直的定义，易证，得，，从而得，进而有，最后求出；
应用：延长、交于点，根据垂直、角平分线的定义，易证，得，从而得，接下来求出∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，根据三角形内角和定理、对顶角相等，得∠ABD=∠ACF，从而推出，进而得BD=CF=12.
22．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(0，4)，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E.
（1） 若C点坐标为(3，0)，求点E的坐标；
（2） 如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜4，其它条件不变，求证：DO平分；
（3） 若点C在x轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数.
【答案】（1）解：
在 和 中，
∴点C坐标为(3，0)，
∴E(0，3)；
（2）证明：如图2，过O作 于M，'于N，
由 (1) 知，
又AE=BC，
又
∴DO平分
（3）30°
【知识点】点的坐标；三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】（3）解：如图，延长DC至F， 使得CF =OC，
∴∠F =∠COF，
∴∠DCO=∠F+∠COF =2∠F，
∵OC+CD=AD，
∴CF+CD=AD，
即DF=AD，
由 (2) 知，
∠ADO =∠ODC，
∵OD=OD，
∴△ADO≌△FDO(SAS)，
∴∠F =∠OAE，
∵∠OAE=∠OBC，
∴∠F =∠OBC，
在△BOF中，
∠F+∠BOF+∠OBC =180°，
∴∠OBC+(90°+∠OBC)+∠OBC =180°，
∴∠OBC=30°.
【分析】(1)可证明△AOE≌△BOC， 从而得出OE=OC，进而求得；
(2)过O作OM⊥DA于M， ON⊥DC于N， 根据△AOE △BOC， 得， 从而得出OM = ON， 进而得证；
(3)延长DC至F， 是CF=OC， 从而得出△ADO≌△FDO， 进而得出∠OBC =∠F =∠COF， 在△BOF中，根据三角形内角和求得结果.
23．（2025八上·安州期中）在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF=CD．
（1）如图1，求证：∠DAC=∠CBE；
（2）如图1，求∠ABC的度数；
（3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH=BE，BF=5，AE=2，CG=10，求BH的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，如图1所示：
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∴∠DAC+∠1=90°，∠CBE+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DAC=∠CBE
（2）解：在△DAC和△DBE中，
∴△DAC≌△DBE（AAS），
∴BD=AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
（3）解：CE、CG、BH的数量关系是：CE+CG=BH，证明如下：
在HB上截取HM=CE，连接CM，如图2所示：
∵BE是△ABC的高，GH⊥BH，
∴∠H=∠BEC=90°，∠BGH=90°-∠3，
在△BEC和△GHM中，
∴△BEC≌△GHM（SAS），
∴GM=BC，∠1=∠2，
由（2）可知：∠ABC=45°，即∠2+∠3=45°，
∴∠BGM=∠BGH-∠1=90°-∠3-∠1=90°-（∠3+∠2）=45°，
∴∠BGM=∠ABC=45°，
即∠BGM=∠GBC，
在△BGM和△GBC中，
∴△BGM≌△GBC（SAS），
∴CG=MB，
∴CE+CG=MH+MB=BH．
∵AC=BF=5，AE=2，
∴CE=3，
∵CG=10，
∴BH=CE+CG=13．
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形；余角；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
(2)证△DAC和△DBE全等得BD = AD， 从而得△ABD为等腰直角三角形，进而可得∠ABC的度数；
(3)在HB上截取HM=CE， 连接CM， 先证△BEC和△GHM全等得， GM = BC， 再证∠BGM= ∠ABC = 45°， 进而可依据““SAS"判定△BGM和△GBC全等，从而得CG =MB，由此可得线段CE、CG、BH的数量关系.
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数学考试
考试时间：120分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·宿迁期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等
C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等
2．（2024八上·邯郸月考）如图所示的两个三角形全等，且对应，则（ ）
A． B． C．对应 D．对应
3．（2025八上·淳安期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八上·镇海区开学考）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2024八上·钱塘期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
6．（2025八上·游仙期中）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可判断△OMP≌△ONP，依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
7．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·石家庄月考）如图，， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018八上·天台期中）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八上·吴兴期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（ ）
A．8 B． C． D．6
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2024七上·文登期中）如图，是一个的正方形网格，则 ．
12．（2025八上·通渭期中）如图，小刚在河边的A点处，在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步.如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为 米.
13．（2025八上·石家庄月考）如图，BE交AC于点M，交CF于点D，AB交CF于点N，，给出的下列五个结论中正确结论的序号为 ．
①；②；③；④；⑤．
14．（2024八上·沭阳月考）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．
15．（2023八上·黄梅月考）如图，在中，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为 ．
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、综合题
得分
16．（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．
（1）求证：≌．
（2）连结、，求证：．
17．（2024八上·前郭尔罗斯月考）作角：已知：
求作：，使．
作法：
1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
2、画一条射线，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点；
3、以点 为圆心， 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点；
4、过点画射线，则．
这样作出的和就是相等的．依据是（ ）．
18．（2023八上·沙市区期中）如图，在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，用于刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹；
（1）在图1中，作与全等（点D与点C不重合）；
（2）在图2中，作的高；
（3）在图3中，作（点F为小正方形的顶点，且不与点B重合）．
19．（2024八上·东辽期末） 如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
20．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，AE＝CE.
（1）求证：；
（2）若BE=8，CH=3，求线段AB的长.
21．（2023八上·桐乡市月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
22．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(0，4)，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E.
（1） 若C点坐标为(3，0)，求点E的坐标；
（2） 如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜4，其它条件不变，求证：DO平分；
（3） 若点C在x轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数.
23．（2025八上·安州期中）在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF=CD．
（1）如图1，求证：∠DAC=∠CBE；
（2）如图1，求∠ABC的度数；
（3）如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH=BE，BF=5，AE=2，CG=10，求BH的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全等图形的概念；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意；
B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意；
C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意；
D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等图形的定义及特征（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，且，对应，
∴，
A．∵，∴，该选项错误，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，该选项正确，故本选项符合题意；
C．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意；
D．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的定义以及对应角、对应边的判定方法逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：边b所对的角度为：，
∵图中的两个三角形全等，
∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等和三角形的内角和定理解题即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图：
共有7个点符合，
所以 图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 7个，
故选：C．
【分析】分别以、、为公共边，根据全等三角形判定，找出与全等的格点三角形即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：点E为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
同理可证，
，
，
，
故选：C．
【分析】通过“AAS”证明，，得到，，根据全等三角形的性质可得，和矩形的面积相等，进行求解．
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：
在 和 中，
故选： D.
【分析】根据垂直定义得出再根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可.
7．【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
故选C．
【分析】先利用证明，得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可．
9．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠ADB=90°；
∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，
∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等），
∴∠EAH=∠DCH（等量代换）；
∵在△BCE和△HAE中
，
∴△AEH≌△CEB（AAS）；
∴AE=CE；
∵EH=EB=3，AE=4，
∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．
故答案为：A．
【分析】利用等角的余角相等可证∠EAH=∠DCH，再利用AAS证明△AEH≌△CEB，利用全等三角形的性质，可得出AE=CE，再求出CH的长。
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，，
∴∠AFG=∠AHG=90°，
在和中，
，
∴S△AFG=S△AHG，
同理：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，用边角边可证得，由全等三角形的对应边相等可得，由三角形的面积公式可得，结合已知，用可证得，于是可得这两个三角形的面积相等，同理可证得，于是可得，然后根据四边形DGBA的面积的和差得S四边形DGBA=2S△AFG可求得△AFG的面积，根据 可得关于FG的方程，解方程即可求解．
11．【答案】
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
由图可得：，，，
∴，
∴，
∴，
由图可得：，
∴.
故答案为：．
【分析】利用方格纸的特点利用“SAS”判断出△ADH≌△CED，由全等三角形的对应角相等得，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出，同理得，进而得出答案．
12．【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意可得：AC=40步，CD=40步，总步数为140步，
则AC+CD+DE=140步
DE=140-40-40=60步，
∵小刚一步大约50厘米，
∴DE的实际长度为60×0.5=30米，
在△ABC和△DEC中，
∠BAC=∠EDC=90°，AC=DC，∠ACB=∠DCE
∴△ABC≌△DEC
∴AB=DE=30米
故答案为：30
【分析】由题意可得“总步数=AC+CD+DE”且AC=40步，CD=40步，进而可得DE的步数为140-40-40=60步，再结合步数与每步长度计算出DE的实际距离，最后根据“角边角（ASA）”证明△ABC≌△DEC，从而得到AB=DE，即可得出答案，
13．【答案】①②③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴，
∴，故②正确，
∴，即，故①正确，
∵，
∴，
又∵
∴，故③正确，
根据题意，得不到不能证明成立，故④错误，
∵
∴，故⑤正确．
结论中正确结论的序号为①②③⑤．
故答案为①②③⑤．
【分析】根据题中条件，利用“AAS”可以得到，然后根据全等三角形的性质可判断①②；③根据ASA即可证明可以判断；④无法证明该结论；⑤根据ASA证明即可判断．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
．
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据SAS得到，然后根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理解答即可．
15．【答案】24
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：24．
【分析】根据平行线的性质得，从而推出，进而得，于是利用三角形面积公式求出的值.
16．【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD＝BF
∴CD+CF＝BF+CF，
∴DF＝BC，
又∵AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．
（2）证明：∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF，
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD＝∠EFB，
又∵CD=BF，
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD＝BE．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF＝BF+CF，可得DF＝BC，再根据HL证明三角形全等即可；
（2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝∠EFB，进而用“SAS”定理证明△ACD≌△EFB，即可得出结论．
17．【答案】；；；
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
18．【答案】（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
【知识点】角的概念及表示；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定（边边边），如点D即为所求.
（2）取格点G，连接交于点E，则即为所求；
（3）利用网格的特点，，即可求解．
（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
19．【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
≌；
（2）解：≌，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质
（1）由平行线的性质可知：∠B=∠ECD，结合已知条件，可通过SAS证得△ABC≌△DCE即可证得结论；
（2）由全等三角形的性质，全等三角形对应边相等可知：AB=CD=8，由线段的和差可知：BC=BD-CD代入即可得出答案.
20．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠EAH+∠EHA=90°，∠EAH+∠B=90°，
∴∠EHA=∠B，
在△BEC和△HEA中，
，
∴（AAS）.
（2）解：由（1）可知：，
∴BE=EH=8，
∵CH=3，
∴CE=AE=3+8=11，
∴AB=AE+BE=11+8=19.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△BEC≌△HEA；
（2）利用全等三角形的性质可得BE=EH=8，从而得出CE=AE=CH+EH=11，利用AB=AE+BE即可求解.
21．【答案】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；
任务二：，
，
，
；
应用：如图，延长、交于点，
∵CE⊥BD交BD延长线于点E，
，
平分，
，
在和中，
，
，
∴EF=CE，
∵CE=6，
，
，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，
∵∠ABD=180°-∠BAC-∠ADB，∠ACF=180°-∠BEC-∠CDE，∠ADB=∠CDE，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等、全等三角形的性质进行求解即可；
任务二：根据角平分线、垂直的定义，易证，得，，从而得，进而有，最后求出；
应用：延长、交于点，根据垂直、角平分线的定义，易证，得，从而得，接下来求出∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，根据三角形内角和定理、对顶角相等，得∠ABD=∠ACF，从而推出，进而得BD=CF=12.
22．【答案】（1）解：
在 和 中，
∴点C坐标为(3，0)，
∴E(0，3)；
（2）证明：如图2，过O作 于M，'于N，
由 (1) 知，
又AE=BC，
又
∴DO平分
（3）30°
【知识点】点的坐标；三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】（3）解：如图，延长DC至F， 使得CF =OC，
∴∠F =∠COF，
∴∠DCO=∠F+∠COF =2∠F，
∵OC+CD=AD，
∴CF+CD=AD，
即DF=AD，
由 (2) 知，
∠ADO =∠ODC，
∵OD=OD，
∴△ADO≌△FDO(SAS)，
∴∠F =∠OAE，
∵∠OAE=∠OBC，
∴∠F =∠OBC，
在△BOF中，
∠F+∠BOF+∠OBC =180°，
∴∠OBC+(90°+∠OBC)+∠OBC =180°，
∴∠OBC=30°.
【分析】(1)可证明△AOE≌△BOC， 从而得出OE=OC，进而求得；
(2)过O作OM⊥DA于M， ON⊥DC于N， 根据△AOE △BOC， 得， 从而得出OM = ON， 进而得证；
(3)延长DC至F， 是CF=OC， 从而得出△ADO≌△FDO， 进而得出∠OBC =∠F =∠COF， 在△BOF中，根据三角形内角和求得结果.
23．【答案】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，如图1所示：
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∴∠DAC+∠1=90°，∠CBE+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DAC=∠CBE
（2）解：在△DAC和△DBE中，
∴△DAC≌△DBE（AAS），
∴BD=AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
（3）解：CE、CG、BH的数量关系是：CE+CG=BH，证明如下：
在HB上截取HM=CE，连接CM，如图2所示：
∵BE是△ABC的高，GH⊥BH，
∴∠H=∠BEC=90°，∠BGH=90°-∠3，
在△BEC和△GHM中，
∴△BEC≌△GHM（SAS），
∴GM=BC，∠1=∠2，
由（2）可知：∠ABC=45°，即∠2+∠3=45°，
∴∠BGM=∠BGH-∠1=90°-∠3-∠1=90°-（∠3+∠2）=45°，
∴∠BGM=∠ABC=45°，
即∠BGM=∠GBC，
在△BGM和△GBC中，
∴△BGM≌△GBC（SAS），
∴CG=MB，
∴CE+CG=MH+MB=BH．
∵AC=BF=5，AE=2，
∴CE=3，
∵CG=10，
∴BH=CE+CG=13．
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形；余角；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
(2)证△DAC和△DBE全等得BD = AD， 从而得△ABD为等腰直角三角形，进而可得∠ABC的度数；
(3)在HB上截取HM=CE， 连接CM， 先证△BEC和△GHM全等得， GM = BC， 再证∠BGM= ∠ABC = 45°， 进而可依据““SAS"判定△BGM和△GBC全等，从而得CG =MB，由此可得线段CE、CG、BH的数量关系.
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