浙江省杭州市杭州西子实验学校2025-2026学年高三上学期9月摸底考试数学试卷
1．（2025高三上·杭州月考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·杭州月考）已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·杭州月考）二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．7
4．（2025高三上·杭州月考）设，不等式的解集为或，则（ ）
A． B．0 C．2 D．7
5．（2025高三上·杭州月考）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2025高三上·杭州月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高三上·杭州月考）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
8．（2025高三上·杭州月考）设，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·杭州月考）给定命题：，都有．若命题为假命题，则实数的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025高三上·杭州月考）已知函数是幂函数，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．当时，
11．（2025高三上·杭州月考）若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为2
C． D．
12．（2025高三上·杭州月考）“”是“”的 条件.
13．（2025高三上·杭州月考），若，则 .
14．（2025高三上·杭州月考）已知，，且，则的最小值是 .
15．（2025高三上·杭州月考）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．（2025高三上·杭州月考）已知函数（为常数，）．
（1）当取何值时，函数为奇函数；
（2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
17．（2025高三上·杭州月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
18．（2025高三上·杭州月考）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求的前项和.
19．（2025高三上·杭州月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）当点为弦的中点时，求直线的方程；
（3）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，，得.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算法则，从而得出复数z.
3．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数满足条件当与时的函数值相等，
所以的图象关于直线对称，
则当与时的函数值相等，均为5.
故答案为：A.
【分析】根据题意，由二次函数的对称性代入计算，从而得出当时的函数值.
4．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：和是方程的两个根，
由韦达定理，可得：和，
则，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知和是方程的两个根，再根据韦达定理求出，的值，从而得出的值.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数定义域为且，
所以函数是奇函数且，
则，所以，
又因为，
所以，
则，所以.
故答案为：A．
【分析】由题意可得函数为奇函数，由奇函数的性质得出，从而代入计算可得的值，再由代入计算可得的值，从而得出的值.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，满足，
则函数为奇函数，图象关于原点对称，故B、D错误；
，当时，；
当时，，故A正确，C错误.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的奇偶性即可排除BD；化简函数，结合函数值正负即可判断AC.
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：由题意知函数为偶函数，为奇函数，且满足，
则，所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性，从而解方程组求出函数的解析式，再代入数值计算得出的值.
8．【答案】C
【知识点】换底公式及其推论；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，，，所以，
比较和，，，所以，
再比较，，，，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据对数的单调性和化同底对数的方法，从而判断出a，b，c的大小.
9．【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：法一：命题为假命题，
则命题的否定“，使得成立”为真命题，
所以的最小值小于10，
当时，的最小值为，所以，则；
当时，的最小值为0，恒成立，则．
综上所述，实数的取值范围是．
选项A，B，C都在该范围内，选项D不在范围内.
故答案为：ABC.
法二：因为命题为假命题，
所以命题的否定“，使得成立”为真命题，将各选项代入验证即可．
对于A，当时，使得成立，故A正确；
对于B，当时，使得成立，故B正确；
对于C，当时，使得成立，故C正确；
对于D，当时，不存在使得成立，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】先写出命题的否定，由题意知其为真命题，再利用两种方法求解.
法一：根据和分类讨论，再分别求出参数的取值范围，再检验选项找出正确的选项；
法二：根据各选项的的值，分别检验是否符合题意即可判断正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由是幂函数，知，
所以或m=-2，
所以或，
则，，故选项A、选项B正确；
当时，，则是奇函数，故C错误；
对于，当时，，
对于，当时，不成立，
则当时，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，则可判断选项A和选项B；再结合函数的奇偶性判断选项C；再根据函数解析式可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于选项A：因为为奇函数，
所以，
令，得，所以，故A正确；
对于选项B、选项C：因为，
所以，
又因为，所以，
则，所以，
则，所以4是的周期，
例如存在函数使得满足题目中条件且最小正周期为4，
但
所以2不是的周期，故B错误、C正确；
由选项A和选项C知，，
所以，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据奇函数定义和题中条件，可判断选项A；根据题中条件和周期函数定义和特殊函数f(x)的解析式，可判断选项B和选项C的正误，再结合选项A和选项C可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】充分不必要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，
解得或，
则是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
【分析】解分式不等式结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出结果.
13．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，所以.
故答案为：.
【分析】由和已知条件结合代入法，从而得出的值．
14．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则的最小值是8.
故答案为：8.
【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
15．【答案】解：列联表如下：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】先根据已知条件完成列联表，再利用独立性检验的步骤完成计算，从而得出能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
16．【答案】（1）解：易知函数定义域为，
若为奇函数，则，即，
因为，，所以，所以；
（2）解：当时，，，
则，
当时，，因为在上单调递增，
所以当时，，
令，则方程在上有实根，即在上有实根，
又因为在上单调递增，所以，故.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，由函数为奇函数，可得，化简求解即可；
（2）将代入，求得，根据指数函数和对勾函数单调性求得，令，将问题转化为方程在上有实根，再根据函数的单调性求解即可.
（1）若为奇函数，则，
即，
，，，解得：.
（2）当时，，，
，
当时，，又在上单调递增，
当时，，
令，则方程在上有实根，
在上有实根，又在上单调递增，
，.
17．【答案】（1）解：在中，由和余弦定理，
得，
又因为，
所以.
（2）解：由，得，
又因为，且，
则，
解得，
所以的面积.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和余弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而求出角的值.
（2）利用正弦定理角化边，再利用已知条件和三角形的面积公式，从而求出三角形的面积.
（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，得，而，且，
则，解得，
所以的面积.
18．【答案】（1）解：在等差数列中，，解得，
因为，
所以数列的公差，；
设等比数列的公比为，
由，得，解得，
又因为，所以，
解得，又因为，
所以，，
则数列和的通项公式分别为，.
（2）解：由（1）得，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出等差数列公差、等比数列公比，再利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式.
（2）利用（1）得出数列的通项公式，再利用分组求和法结合等差数列前n项和公式和等比数列前项和公式，从而得出数列的前项和.
（1）在等差数列中，，解得，而，
因此数列的公差，；
设等比数列的公比为，由，得，解得，
又，则，解得，而，因此，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，
所以.
19．【答案】（1）解：∵抛物线的焦点为，
∴，
则，
∴抛物线的方程为.
（2）解：设，显然直线斜率存在，
设直线的方程为，
联立方程，消去，整理得，
则，
因为点是的中点，
由，解得，
所以直线AB的方程为，即．
（3）解：由抛物线定义，可知
所以，
由（2）知，
∴，
所以，
则当时，取得最小值为．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点坐标得出的值，从而得出抛物线的方程.
（2）设直线的方程为，与抛物线C的方程联立，再利用根与系数的关系式结合中点的坐标，从而得出的值，进而得出直线AB的方程．
（3）由抛物线定义可知再根据题意得到，再利用根与系数的关系式代入结合二次函数求最值的方法，从而得出的最小值．
（1）∵抛物线的焦点为，∴，即.
∴抛物线的方程为.
（2）设，显然直线斜率存在.
设的方程为，
联立方程，消去，整理得，，
因为点是的中点，由，解得.
所以直线AB的方程为．即．
（3）由抛物线定义可知
所以，
由（2）知，
∴，
所以
所以当时，取得最小值为．
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1．（2025高三上·杭州月考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，，得.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高三上·杭州月考）已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算法则，从而得出复数z.
3．（2025高三上·杭州月考）二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．7
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为函数满足条件当与时的函数值相等，
所以的图象关于直线对称，
则当与时的函数值相等，均为5.
故答案为：A.
【分析】根据题意，由二次函数的对称性代入计算，从而得出当时的函数值.
4．（2025高三上·杭州月考）设，不等式的解集为或，则（ ）
A． B．0 C．2 D．7
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：和是方程的两个根，
由韦达定理，可得：和，
则，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知和是方程的两个根，再根据韦达定理求出，的值，从而得出的值.
5．（2025高三上·杭州月考）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数定义域为且，
所以函数是奇函数且，
则，所以，
又因为，
所以，
则，所以.
故答案为：A．
【分析】由题意可得函数为奇函数，由奇函数的性质得出，从而代入计算可得的值，再由代入计算可得的值，从而得出的值.
6．（2025高三上·杭州月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，满足，
则函数为奇函数，图象关于原点对称，故B、D错误；
，当时，；
当时，，故A正确，C错误.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的奇偶性即可排除BD；化简函数，结合函数值正负即可判断AC.
7．（2025高三上·杭州月考）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：由题意知函数为偶函数，为奇函数，且满足，
则，所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性，从而解方程组求出函数的解析式，再代入数值计算得出的值.
8．（2025高三上·杭州月考）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】换底公式及其推论；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，，，所以，
比较和，，，所以，
再比较，，，，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据对数的单调性和化同底对数的方法，从而判断出a，b，c的大小.
9．（2025高三上·杭州月考）给定命题：，都有．若命题为假命题，则实数的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：法一：命题为假命题，
则命题的否定“，使得成立”为真命题，
所以的最小值小于10，
当时，的最小值为，所以，则；
当时，的最小值为0，恒成立，则．
综上所述，实数的取值范围是．
选项A，B，C都在该范围内，选项D不在范围内.
故答案为：ABC.
法二：因为命题为假命题，
所以命题的否定“，使得成立”为真命题，将各选项代入验证即可．
对于A，当时，使得成立，故A正确；
对于B，当时，使得成立，故B正确；
对于C，当时，使得成立，故C正确；
对于D，当时，不存在使得成立，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】先写出命题的否定，由题意知其为真命题，再利用两种方法求解.
法一：根据和分类讨论，再分别求出参数的取值范围，再检验选项找出正确的选项；
法二：根据各选项的的值，分别检验是否符合题意即可判断正确的选项.
10．（2025高三上·杭州月考）已知函数是幂函数，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由是幂函数，知，
所以或m=-2，
所以或，
则，，故选项A、选项B正确；
当时，，则是奇函数，故C错误；
对于，当时，，
对于，当时，不成立，
则当时，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，则可判断选项A和选项B；再结合函数的奇偶性判断选项C；再根据函数解析式可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高三上·杭州月考）若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的一个周期为2
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于选项A：因为为奇函数，
所以，
令，得，所以，故A正确；
对于选项B、选项C：因为，
所以，
又因为，所以，
则，所以，
则，所以4是的周期，
例如存在函数使得满足题目中条件且最小正周期为4，
但
所以2不是的周期，故B错误、C正确；
由选项A和选项C知，，
所以，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据奇函数定义和题中条件，可判断选项A；根据题中条件和周期函数定义和特殊函数f(x)的解析式，可判断选项B和选项C的正误，再结合选项A和选项C可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高三上·杭州月考）“”是“”的 条件.
【答案】充分不必要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，
解得或，
则是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
【分析】解分式不等式结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出结果.
13．（2025高三上·杭州月考），若，则 .
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，所以.
故答案为：.
【分析】由和已知条件结合代入法，从而得出的值．
14．（2025高三上·杭州月考）已知，，且，则的最小值是 .
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则的最小值是8.
故答案为：8.
【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
15．（2025高三上·杭州月考）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】解：列联表如下：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】先根据已知条件完成列联表，再利用独立性检验的步骤完成计算，从而得出能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
16．（2025高三上·杭州月考）已知函数（为常数，）．
（1）当取何值时，函数为奇函数；
（2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：易知函数定义域为，
若为奇函数，则，即，
因为，，所以，所以；
（2）解：当时，，，
则，
当时，，因为在上单调递增，
所以当时，，
令，则方程在上有实根，即在上有实根，
又因为在上单调递增，所以，故.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，由函数为奇函数，可得，化简求解即可；
（2）将代入，求得，根据指数函数和对勾函数单调性求得，令，将问题转化为方程在上有实根，再根据函数的单调性求解即可.
（1）若为奇函数，则，
即，
，，，解得：.
（2）当时，，，
，
当时，，又在上单调递增，
当时，，
令，则方程在上有实根，
在上有实根，又在上单调递增，
，.
17．（2025高三上·杭州月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：在中，由和余弦定理，
得，
又因为，
所以.
（2）解：由，得，
又因为，且，
则，
解得，
所以的面积.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和余弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而求出角的值.
（2）利用正弦定理角化边，再利用已知条件和三角形的面积公式，从而求出三角形的面积.
（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，得，而，且，
则，解得，
所以的面积.
18．（2025高三上·杭州月考）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求的前项和.
【答案】（1）解：在等差数列中，，解得，
因为，
所以数列的公差，；
设等比数列的公比为，
由，得，解得，
又因为，所以，
解得，又因为，
所以，，
则数列和的通项公式分别为，.
（2）解：由（1）得，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出等差数列公差、等比数列公比，再利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式.
（2）利用（1）得出数列的通项公式，再利用分组求和法结合等差数列前n项和公式和等比数列前项和公式，从而得出数列的前项和.
（1）在等差数列中，，解得，而，
因此数列的公差，；
设等比数列的公比为，由，得，解得，
又，则，解得，而，因此，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，
所以.
19．（2025高三上·杭州月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）当点为弦的中点时，求直线的方程；
（3）求的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线的焦点为，
∴，
则，
∴抛物线的方程为.
（2）解：设，显然直线斜率存在，
设直线的方程为，
联立方程，消去，整理得，
则，
因为点是的中点，
由，解得，
所以直线AB的方程为，即．
（3）解：由抛物线定义，可知
所以，
由（2）知，
∴，
所以，
则当时，取得最小值为．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点坐标得出的值，从而得出抛物线的方程.
（2）设直线的方程为，与抛物线C的方程联立，再利用根与系数的关系式结合中点的坐标，从而得出的值，进而得出直线AB的方程．
（3）由抛物线定义可知再根据题意得到，再利用根与系数的关系式代入结合二次函数求最值的方法，从而得出的最小值．
（1）∵抛物线的焦点为，∴，即.
∴抛物线的方程为.
（2）设，显然直线斜率存在.
设的方程为，
联立方程，消去，整理得，，
因为点是的中点，由，解得.
所以直线AB的方程为．即．
（3）由抛物线定义可知
所以，
由（2）知，
∴，
所以
所以当时，取得最小值为．
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