人教版九（上）数学第二十四章 圆 单元测试基础卷
一、选择题
1．（2024九上·濮阳期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．11
【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，
所以弦长≤10．
∴的长度不可能是11；
故选：D．
【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可.
2．（2025九上·慈溪月考） 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ）
A．6.5cm B．8cm C．10cm D．10.5cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D，连接OA，如下图，
∵油漆桶的直径为26cm，
∴OA=13cm
∵OD⊥AB，AB=24cm，
∴AD=BD=12cm，
∴
∴油漆桶中油漆的最大深长为CD=OC-OD=13-5=8cm
故答案为：B .
【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC-OD即可求出结果.
3．（2025九上·杭州期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
可设，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，由等边对等角、三角形的内角和定理求出∠OBA的度数解题．
4．（2025九上·滨江月考） 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 若∠D=60°， 则∠B的度数是( )
A．115° B．120° C．125° D．130°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于 ⊙O
∴∠D+∠B=180°
∴∠B=180°-∠D=180°-60°=120°
故答案为：B .
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B的值.
5．（2025九上·鹿城月考）已知的半径为3，点P在内，则线段OP的长度可以是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3， 点P在⊙O内，
∴线段OP的长不可以是5或4或3，但可以是2，
故答案为：D .
【分析】由⊙O的半径为3，点P在⊙O内，可知OP<3，而5>3，4>3，3=3，2<3，所以D符合题意，于是得到问题的答案.
6．（2024九上·清新期中）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，
∴AC×BC=AB×CD，即CD===，
∴⊙C的半径为，
故答案为：B．
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，由圆的切线垂直经过切点的半径得出CD⊥AB，然后根据三角形的面积公式，由等面积法建立方程，求解得出CD的长即可得出答案.
7．（2024九上·杭州期中）如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质以及平角得到的度数，然后由圆周角定理求出的度数.
8．（2024九上·上城期中）无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得弧的长为，
故答案为：B．
【分析】直接利用弧长公式：，其中弧长为，圆心角度数为，扇形的半径为，代入数值进行计算即可.
9．（2024九上·吉林期末）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OC，如图所示：
∵CE是的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=40°，
∴∠COE=180°-∠OCE-∠E=50°，
∵，
∴∠CDB=∠COE=×50°=25°，
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质可得∠OCE=90°，再利用三角形内角和求出∠COE的度数，最后利用圆周角的性质可得∠CDB=∠COE=×50°=25°.
10．（2024九上·滨江期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理的实际应用；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得到，即可得到，然后根据圆内接四边形的性质求出，利用等边对等角得到，即可求出，进而得到，即可得到结论解题即可．
二、填空题
11．（2020九上·泗阳期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D= .
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=25°，弧BC=弧BC
∴∠DOC=2∠A=50°，
∴∠D=90°-50°=40°；
故答案为：40°.
【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCD=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠DOC=50°，然后根据直角三角形的两锐角互余可求解.
12．（2025九上·温州月考）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为 °
【答案】120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：根据圆内接四边形的特征可得，∠A+∠DFE =180°，
∵∠A=60°，
∴∠DFE =180°-60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据圆内接四边形的特征可得对角互补，进而得出答案.
13．（2024九上·湖南期中）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
【答案】10
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理求得，再根据“正边形的边数中心角”解答即可．
14．（2025九上·嵊州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度．
【答案】50
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理推论得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论.
15．（2024九上·开福期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180° ∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180° 2×60°＝60°，
∴∠P＝90° ∠DOC＝30°；
故填：30°．
【分析】连接OC、CD，根据切线得出∠OCP＝90°，利用圆内接四边形的对角互补求出∠ODC＝60°，再根据等边对等角得出∠OCD＝∠ODC＝60°，即可得到∠DOC＝60°，然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
三、解答题
16．（2023九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．
（1）点 的坐标为 ．
（2）判断点 与 的位置关系．
【答案】（1）
（2）解：点在内.
【知识点】垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点，
与图可得点M坐标为：，
故答案为：（2，0）；
（2）解：，，，
，，
点在内．
【分析】（1）利用方格纸的特点，分别作AB、BC的垂直平分线，根据垂径定理，AB、BC垂直平分线的交点即为点M，结合图形直接写出点M的坐标即可；
（2）利用两点间的距离公式算出AM、MD的长，然后根据设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点，
坐标为：，
（2）解：，，，
，，
点在内．
17．（2023九上·新丰期末）如图，水平放置的一条油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，于点C，求截面上有油部分油面的高．
【答案】解：连接，则，
∵，
∴，
在中，，，
，
∴．
答：截面上有油部分油面的高CD为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接，则，根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．（2024九上·遵义期末）如图，是的直径，点是上一点，，过点作于点，的延长线交于点．
（1）求的度数；
（2）若的半径为，求的长．
【答案】（1）解：连接AC，如图所示：
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BEC=30°，
∴∠CAB=∠BEC=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°.
（2）解：由（1）可得∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=，
∵的半径为，
∴AB=10，
∴BC=5，
∵，且AB是的直径，
∴CD=2CF，
∵在Rt△BCF中，∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，CF2=BC2-BF2，
∴BF==，CF=，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，构造直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角即可求得∠ABC的度数；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求得，的长，再根据勾股定理求得CF，最后利用垂径定理即可得出结果.
（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴
（2）解：∵的半径为，
∴，
在中，，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
∴，
∴
∴，
∴
19．（2025九上·东营期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求直径的长．
【答案】（1）解：直线与相切，
理由：连接，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：设，交于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故直径的长为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）连接，，根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据全等三角形判定定理可得，则，得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线的判定定理即可求出答案.
（2）设，交于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，即，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：直线与相切，
理由：连接，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：设，交于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故直径的长为．
20．如图所示，四边形ABCD是的内接四边形，，.求：
（1）的度数.
（2）CD的长.
【答案】（1）解：四边形ABCD是的内接四边形，
，
；
（2）解：如图所示，连结BD.
在Rt中，
由勾股定理得.
在Rt△BCD中，，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补即可直接解题；
（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD，利用同弧所对的圆周角相等得∠DBC=30°，进而在Rt△BCD中，利用含30°角直角三角形的性质可求出CD的长.
21．如图，E 是半圆O上一点，连结AE，C 是 的中点，弦DC∥直径AB，交AE 于点F，交半圆O 于点D，连结AC.
（1）求证：CF=AF.
（2） 连结OE，当 时，求EF 的长.
【答案】（1）证明：∵C是BE的中点，
∴∠BAC=∠EAC.
∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠BAC.
∴ ∠DCA=∠EAC.
∴CF=AF
（2）解：如图，连结OC，设 OE 交CD 于点G.
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA.
由(1)，得∠OAC=∠FAC，
∴∠OCA=∠FAC.
∴OC∥AF.
又∵CF∥OA，
∴ 四边形OAFC 是平行四边形.
∵OC=OA，
∴ 四边形OAFC 是菱形.
又∵AB=4，
∴OE=OA=AF=2.
∵OE⊥CD，AB∥DC，
∴∠AOE=∠DGE=90°.
∴EF=AE-AF=2 -2.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由C是 的中点得∠BAC =∠EAC， 由AB∥DC得∠DCA=∠BAC， 所以∠DCA =∠EAC， 则CF = AF；
(2)连结OE、OC， OE交CD于点G， 由∠OAC =∠OCA， ∠OAC=∠FAC， 得∠OCA=∠FAC， 则OC∥AF，即可证明四边形OAFC是菱形， 因为AB=4， 所以OE=OA=FA=2， 再证明∠AOE =∠DGE=90°， 由勾股定理得AE 长即可解答
22．（2025九上·嵊州期中）如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若弧，求的度数．
（3）过点D作于点F，若，，求DF的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
（2）解：连结OD、OE，
∵
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC∠DOE＝25°
∵∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝65°，
∴∠C的度数是65°．
（3）解：由（1）得∠ADB＝90°，BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝8，
∴BDBC＝4
在中，由勾股定理得
∵DF⊥AB于点F，
∴
∴.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连结AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，所以BD＝CD．
（2）连结OD、OE，由，得∠DOE＝50°，则∠DAC∠DOE＝25°，而∠ADC＝90°，则∠C＝90°﹣∠DAC＝65°．
（3）由（1）得∠ADB＝90°，BD＝CD，因为AB＝10，BC＝8，所以BDBC＝4，求得，而DF⊥AB于点F，所以求得.
23．（2024九上·百色期末） 【探究与证明】
某兴趣小组通过探究圆的基本知识，找到了借助圆作“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法.
图1 图2
如图1，过点C作直线l的平行线，作图过程如下：
第一步：在直线l上任取两点A，B，连接AC，BC，且；
第二步：作的外接圆O；
第三步：以点A为圆心，BC长为半径作弧，交弧于点D，连接AD；
第四步：作直线CD，则直线CD即为所求作的平行线.
（1）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.以下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程，
已知：如图1，内接于，，D为弧上一点，且满足 .
求证： .
（2）聪聪同学认为，如图2，内接于，若，过点C作直线AB的平行线，则为的切线，你认为聪聪的想法正确吗？请说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：聪聪的想法正确.
理由：如图，连接OA、OB、OC，
∵，，
∴直线CO垂直平分线段AB，即，
∵，
∴，
∵OC是的半径，
∴为的切线.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；线段垂直平分线的判定；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为AC上一点，且满足于AD＝BC，
求证：AB∥CD；
证明：∵AD＝BC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴AB∥CD，
故答案为：AD＝BC，AB∥CD
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠DCA＝∠CAB，进而根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行）即可求解；
（2）连接OA、OB、OC，根据垂直平分线的判定与性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据切线的判定即可求解。
1 / 1人教版九（上）数学第二十四章 圆 单元测试基础卷
一、选择题
1．（2024九上·濮阳期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．11
2．（2025九上·慈溪月考） 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ）
A．6.5cm B．8cm C．10cm D．10.5cm
3．（2025九上·杭州期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·滨江月考） 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 若∠D=60°， 则∠B的度数是( )
A．115° B．120° C．125° D．130°
5．（2025九上·鹿城月考）已知的半径为3，点P在内，则线段OP的长度可以是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2024九上·清新期中）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
7．（2024九上·杭州期中）如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
8．（2024九上·上城期中）无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·吉林期末）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·滨江期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020九上·泗阳期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D= .
12．（2025九上·温州月考）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为 °
13．（2024九上·湖南期中）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
14．（2025九上·嵊州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度．
15．（2024九上·开福期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为 ．
三、解答题
16．（2023九上·柯桥月考）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．
（1）点 的坐标为 ．
（2）判断点 与 的位置关系．
17．（2023九上·新丰期末）如图，水平放置的一条油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，于点C，求截面上有油部分油面的高．
18．（2024九上·遵义期末）如图，是的直径，点是上一点，，过点作于点，的延长线交于点．
（1）求的度数；
（2）若的半径为，求的长．
19．（2025九上·东营期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求直径的长．
20．如图所示，四边形ABCD是的内接四边形，，.求：
（1）的度数.
（2）CD的长.
21．如图，E 是半圆O上一点，连结AE，C 是 的中点，弦DC∥直径AB，交AE 于点F，交半圆O 于点D，连结AC.
（1）求证：CF=AF.
（2） 连结OE，当 时，求EF 的长.
22．（2025九上·嵊州期中）如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若弧，求的度数．
（3）过点D作于点F，若，，求DF的长．
23．（2024九上·百色期末） 【探究与证明】
某兴趣小组通过探究圆的基本知识，找到了借助圆作“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法.
图1 图2
如图1，过点C作直线l的平行线，作图过程如下：
第一步：在直线l上任取两点A，B，连接AC，BC，且；
第二步：作的外接圆O；
第三步：以点A为圆心，BC长为半径作弧，交弧于点D，连接AD；
第四步：作直线CD，则直线CD即为所求作的平行线.
（1）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.以下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程，
已知：如图1，内接于，，D为弧上一点，且满足 .
求证： .
（2）聪聪同学认为，如图2，内接于，若，过点C作直线AB的平行线，则为的切线，你认为聪聪的想法正确吗？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，
所以弦长≤10．
∴的长度不可能是11；
故选：D．
【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D，连接OA，如下图，
∵油漆桶的直径为26cm，
∴OA=13cm
∵OD⊥AB，AB=24cm，
∴AD=BD=12cm，
∴
∴油漆桶中油漆的最大深长为CD=OC-OD=13-5=8cm
故答案为：B .
【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC-OD即可求出结果.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
可设，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，由等边对等角、三角形的内角和定理求出∠OBA的度数解题．
4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于 ⊙O
∴∠D+∠B=180°
∴∠B=180°-∠D=180°-60°=120°
故答案为：B .
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B的值.
5．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3， 点P在⊙O内，
∴线段OP的长不可以是5或4或3，但可以是2，
故答案为：D .
【分析】由⊙O的半径为3，点P在⊙O内，可知OP<3，而5>3，4>3，3=3，2<3，所以D符合题意，于是得到问题的答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，
∴AC×BC=AB×CD，即CD===，
∴⊙C的半径为，
故答案为：B．
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，由圆的切线垂直经过切点的半径得出CD⊥AB，然后根据三角形的面积公式，由等面积法建立方程，求解得出CD的长即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质以及平角得到的度数，然后由圆周角定理求出的度数.
8．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得弧的长为，
故答案为：B．
【分析】直接利用弧长公式：，其中弧长为，圆心角度数为，扇形的半径为，代入数值进行计算即可.
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OC，如图所示：
∵CE是的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=40°，
∴∠COE=180°-∠OCE-∠E=50°，
∵，
∴∠CDB=∠COE=×50°=25°，
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质可得∠OCE=90°，再利用三角形内角和求出∠COE的度数，最后利用圆周角的性质可得∠CDB=∠COE=×50°=25°.
10．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理的实际应用；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得到，即可得到，然后根据圆内接四边形的性质求出，利用等边对等角得到，即可求出，进而得到，即可得到结论解题即可．
11．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=25°，弧BC=弧BC
∴∠DOC=2∠A=50°，
∴∠D=90°-50°=40°；
故答案为：40°.
【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCD=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠DOC=50°，然后根据直角三角形的两锐角互余可求解.
12．【答案】120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：根据圆内接四边形的特征可得，∠A+∠DFE =180°，
∵∠A=60°，
∴∠DFE =180°-60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据圆内接四边形的特征可得对角互补，进而得出答案.
13．【答案】10
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理求得，再根据“正边形的边数中心角”解答即可．
14．【答案】50
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理推论得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论.
15．【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180° ∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180° 2×60°＝60°，
∴∠P＝90° ∠DOC＝30°；
故填：30°．
【分析】连接OC、CD，根据切线得出∠OCP＝90°，利用圆内接四边形的对角互补求出∠ODC＝60°，再根据等边对等角得出∠OCD＝∠ODC＝60°，即可得到∠DOC＝60°，然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
16．【答案】（1）
（2）解：点在内.
【知识点】垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点，
与图可得点M坐标为：，
故答案为：（2，0）；
（2）解：，，，
，，
点在内．
【分析】（1）利用方格纸的特点，分别作AB、BC的垂直平分线，根据垂径定理，AB、BC垂直平分线的交点即为点M，结合图形直接写出点M的坐标即可；
（2）利用两点间的距离公式算出AM、MD的长，然后根据设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点，
坐标为：，
（2）解：，，，
，，
点在内．
17．【答案】解：连接，则，
∵，
∴，
在中，，，
，
∴．
答：截面上有油部分油面的高CD为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接，则，根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】（1）解：连接AC，如图所示：
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BEC=30°，
∴∠CAB=∠BEC=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°.
（2）解：由（1）可得∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=，
∵的半径为，
∴AB=10，
∴BC=5，
∵，且AB是的直径，
∴CD=2CF，
∵在Rt△BCF中，∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，CF2=BC2-BF2，
∴BF==，CF=，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，构造直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角即可求得∠ABC的度数；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求得，的长，再根据勾股定理求得CF，最后利用垂径定理即可得出结果.
（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴
（2）解：∵的半径为，
∴，
在中，，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
∴，
∴
∴，
∴
19．【答案】（1）解：直线与相切，
理由：连接，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：设，交于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故直径的长为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）连接，，根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据全等三角形判定定理可得，则，得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线的判定定理即可求出答案.
（2）设，交于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，即，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：直线与相切，
理由：连接，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：设，交于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故直径的长为．
20．【答案】（1）解：四边形ABCD是的内接四边形，
，
；
（2）解：如图所示，连结BD.
在Rt中，
由勾股定理得.
在Rt△BCD中，，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补即可直接解题；
（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD，利用同弧所对的圆周角相等得∠DBC=30°，进而在Rt△BCD中，利用含30°角直角三角形的性质可求出CD的长.
21．【答案】（1）证明：∵C是BE的中点，
∴∠BAC=∠EAC.
∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠BAC.
∴ ∠DCA=∠EAC.
∴CF=AF
（2）解：如图，连结OC，设 OE 交CD 于点G.
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA.
由(1)，得∠OAC=∠FAC，
∴∠OCA=∠FAC.
∴OC∥AF.
又∵CF∥OA，
∴ 四边形OAFC 是平行四边形.
∵OC=OA，
∴ 四边形OAFC 是菱形.
又∵AB=4，
∴OE=OA=AF=2.
∵OE⊥CD，AB∥DC，
∴∠AOE=∠DGE=90°.
∴EF=AE-AF=2 -2.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由C是 的中点得∠BAC =∠EAC， 由AB∥DC得∠DCA=∠BAC， 所以∠DCA =∠EAC， 则CF = AF；
(2)连结OE、OC， OE交CD于点G， 由∠OAC =∠OCA， ∠OAC=∠FAC， 得∠OCA=∠FAC， 则OC∥AF，即可证明四边形OAFC是菱形， 因为AB=4， 所以OE=OA=FA=2， 再证明∠AOE =∠DGE=90°， 由勾股定理得AE 长即可解答
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
（2）解：连结OD、OE，
∵
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC∠DOE＝25°
∵∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝65°，
∴∠C的度数是65°．
（3）解：由（1）得∠ADB＝90°，BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝8，
∴BDBC＝4
在中，由勾股定理得
∵DF⊥AB于点F，
∴
∴.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连结AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，所以BD＝CD．
（2）连结OD、OE，由，得∠DOE＝50°，则∠DAC∠DOE＝25°，而∠ADC＝90°，则∠C＝90°﹣∠DAC＝65°．
（3）由（1）得∠ADB＝90°，BD＝CD，因为AB＝10，BC＝8，所以BDBC＝4，求得，而DF⊥AB于点F，所以求得.
23．【答案】（1）；
（2）解：聪聪的想法正确.
理由：如图，连接OA、OB、OC，
∵，，
∴直线CO垂直平分线段AB，即，
∵，
∴，
∵OC是的半径，
∴为的切线.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；线段垂直平分线的判定；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为AC上一点，且满足于AD＝BC，
求证：AB∥CD；
证明：∵AD＝BC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴AB∥CD，
故答案为：AD＝BC，AB∥CD
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠DCA＝∠CAB，进而根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行）即可求解；
（2）连接OA、OB、OC，根据垂直平分线的判定与性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据切线的判定即可求解。
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