人教版九（上）数学第二十四章 圆 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·嵊州期中）的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，
∴点P到圆心的距离等于圆的半径，
∴点P在⊙O上，
故选：C．
【分析】】由⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，可知点P到圆心的距离等于圆的半径，所以点P在⊙O上，于是得到问题的答案．
2．（2025九上·慈溪月考） 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 在半圆 O 上. 若 ，则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A=90°-∠ABC=90°-55°=35°
∵∠BDC+∠A=180°.
∴∠BDC=180°-35°=145°
故答案为： B.
【分析】先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠A的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠BDC的度数.
3．（2025九上·鹿城月考）如图，在中，半径长为10，圆心O到弦AB的距离，则弦AB的长为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， 圆心O到弦AB的距离OE = 6，
∴OE⊥AB于点E，
∴∠AEO=90°， AE= BE，
∵半径长为10，
∴OA=10，
∴AB=2AE=16，
故答案为：C .
【分析】由圆心O到弦AB的距离OE =6， 得OE⊥AB于点E， 则∠AEO=90°， AE=BE， 而OA =10，求得 所以AB=2AE=16，于是得到问题的答案.
4．（2025九上·北京月考）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=51°
∵为直径
∴∠ACB=90°
∴∠CBA=90°-∠CAB=39°
故答案为：D
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=51°，再根据圆周角相等可得∠ACB=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
5．（2025九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，延长DO 交⊙O于点 M，连接PM，PE，OF，PF.
∵AE⊥OD 于点 E，交⊙O 于点 F，F为 的中点，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF.
∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，
∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，
∴点 F 关于AB 的对称点为点 M，
∴PM=PF，
∴PE+PF=PE+PM≥EM，
当 E，P，M 三点共线时，PE+PF 最小，最小值为EM的长.
∵∠AOC=60°，AD⊥AB，
∴∠D=30°，
∴OD=2OA，
∵CD=4，
∴OD=OC+4=2OA=2OC，即 OC=4，
∴OC=OA=OB=OM=OF=4，
∵AF⊥OC，∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
的最小值EM=OE+OM=2+4=6.
故答案为：C.
【分析】延长DO 交⊙O于点 M，连接PM，PE，OF，PF.根据弧、弦、圆心角的关系得到AOC=∠COF=∠BOF=60°，即可得到点 F 关于AB 的对称点为点 M，然后根据两点间线段最短得到当 E，P，M 三点共线时，PE+PF 最小，最小值为EM的长.然后根据30°的直角三角形的性质解答即可.
6．（2025九上·海曙期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为点D，如果∠A=35°，那么∠C=（ ）
A．20° B．30 C．40 D．50°
【答案】A
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，
AB是O的直径，则
故答案为：A.
【分析】连接BD，AB是O的直径，根据定理可知 由弦切角定理知， 从而利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求
7．（2025九上·婺城期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与、分别相交．若点的坐标是，点的坐标是．则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵与轴、轴都相切，设圆心的坐标为，
连接，过点作于点，设与的切点为，连接并延长，与交于点，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，
∴，
根据勾股定理：，
即，
解得：或（不合题意舍去），
∴圆心的坐标为，
故选：B．
【分析】由切线的性质和垂径定理的性质可知四边形是矩形，是直角三角形，设半径PB为r，则PE、BE都是含有r的代数式，借助公股定理即可。
8．（2023九上·邹平期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故答案为：D．
【分析】根据三角形内心得到，判断①；连接，根据三角形内心和三角形的内角和求出∠BEC判断②；利用垂径定理判断③；先得到，根据等角对等边即可得到判断④解题．
9．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=80°，半径OA=3，C 是上一点，连结OC，D 是OC 上一点，且OD=DC，连结 BD.若BD⊥OC，则. 的长为( )
A． B． C． D．π
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵OD=DC， BD⊥OC，
∴BC=OB，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵∠AOB=80°，
∴∠AOC=20°，
的长为
故答案为：B .
【分析】连接BC，根据垂直平分线的性质得BC=OB，可得△OBC是等边三角形， 求出∠AOC = 20°， 再根据弧长公式计算即可.
10．（2024九上·江汉期中）如图，四边形内接于，，，的直径为，四边形的周长为，的长为，则关于的函数关系式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；用关系式表示变量间的关系；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点作交的延长线于，连接，如图所示：
四边形内接于，，，
为的直径，是等腰直角三角形，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
∴，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】
过点作交的延长线于，连接，先证明是等腰直角三角形，为直径，则，而得，证明是等腰直角三角形得，，然后证明和全等得，则，即可解答．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·瑞安期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是 .
【答案】
【知识点】确定圆的条件；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，分别作弦AB和AC的垂直平分线交于点G，G为圆心，
半径GC=.
故答案为：.
【分析】利用格点，分别作AB、AC的垂直平分线，交点G即为圆心，即可得半径.
12．（2022九上·温州期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF．若AB＝8，则DF的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点D作直径DG，连接DE，GF，
∵，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，
∴CD=CE，
∵ 直径AB⊥弦CD ，
∴AB垂直平分CD，
∴CE=DE=CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵，
∴∠G=∠C=60°，
∵DG是直径，
∴∠DFG=90°，
∴∠GDF=90°-60°=30°，
∴FG=DG=×8=4，
∴.
故答案为：
【分析】过点D作直径DG，连接DE，GF，利用作图可知CD=CE，利用垂径定理可证得AB垂直平分CD，利用垂直平分线的性质可中的CD=DE=CE，可推出△CDE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠C=60°；再利用圆周角定理可求出∠G的度数，同时可证得∠DFG=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠GDF的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出FG的长，利用勾股定理求出DF的长.
13．（2025九上·惠阳期末）如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝ ．
【答案】100°
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABDC内接圆⊙O，∠ADE=65°，
∵∠ACB=65°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠BAC=180° 65° 65°=50°．
∵∠BAC与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=100°．
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数，再由AB=AC可得出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由圆周角定理即可解答．
14．（2024九上·余杭期中）如图，在以点为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作于H点，连接，如下图：
则，，
由题意可得，
则，
设，则，
在中，，
在中，，
则，
解得或（舍去）
即小圆的半径为，
故答案为：.
【分析】过O作于H点，连接，根据垂径定理可得，，设，则，分别在和利用勾股定理求得，求解即可.
15．（2025九上·宁波期末）如图，四边形 内接于 ，则 的半径长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，如图所示：
则∠ACE=90°
∵∠BAC =45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AC=EC，∠E=45°，
∴∠CAD=∠E =45°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=∠CBE，
在△CAD和△CBE中，∠D=∠CBE，∠CAD=∠E，AC =EC，
∴△CAD≌△CBE(AAS)，
∴AD=BE.
∵AB+AD =6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6，
在Rt△ACE中，AC =EC，
由勾股定理得：AE=，
∴AC=AE=×6=，
∵CF是圆O的直径，
∴∠CAF =90°，
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=CF，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2，即CF2-（CF）2=（）2，
解得CF=2
∴圆O的半径长为。
故答案为：。
【分析】本题构造出等腰直角三角形ACE之后，利用AAS证明出△CAD≌△CBE，从而得出AD=BE；然后利用条件中的AB+AD =6进行替换，可以求出AE的长度，然后利用勾股定理求出AC的长度，并利用30度锐角对应的直角边是斜边的一半以及勾股定理即可求出圆的直径CF的长度，半径即可求出。
三、解答题：本大题共8小题，共75分.
16．（2025九上·北京月考）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
【答案】解：连接AO，
∵D是中弦的中点，连接并延长交于点C
∴OD垂直平分AB，OC为圆的半径
∴
设圆的半径为r，则OA=OC=r
∴OD=CD-OC=2.5-r
在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2
∴0.52+(2.5-r)2=r2
解得：r=1.3
∴的半径为1.3m
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，根据垂径定理可得，设圆的半径为r，则OA=OC=r，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P．若∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠ABC=100°，∴∠D=180°-100°=80°，
∵∠P=30°，
∴∠C=180°-30°-80°=70°.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可求出∠D的度数，然后在三角形PCD中，用三角形内角和定理可求解.
18．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
19．（2024九上·广州期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，
连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线．
（2）解：如图，
设半径为，则，
在中，根据勾股定理得：
即：，
解得：，
∴的半径为2.5．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据点是的中点，得进一步得：，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得出，推得，得出，根据得出，即可证明．
（2）设半径为， 则 ， 在中 ，根据勾股定理可得：，即可列出方程，解出即可．
（1）证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线．
（2）解：设半径为，则，
在中，可有，
∴，
解得，
即的半径为2.5．
20．如图，在⊙O中，弦AC 的长为2，弦 BC 为4， 求CD 的长.
【答案】解：过点 D 作DM⊥BC于点M，DN⊥CA 交CA 的延长线于点 N，连接BD，AD，OD.
∵ ，
∴AD=BD，∠DCA=∠DCB，
∵DM⊥CB，DN⊥CN，
∴∠N=∠CMD=90°，
∵∠DCM=∠DCN，CD=CD，
∴△CDM≌△CDN(AAS)，
∴CM=CN，DN=DM，在Rt△DNA 和 Rt△DMB 中，DA=DBM，
∴Rt△DNA≌Rt△DMB(HL)，
∴AN=BM，
∴AC+CB=CN-AN+CM+BM=2CM=6，
∴CM=3，
∵∠MCD=45°，
∴CD=3
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】过点D分别作DM、DN垂直于CB、CA，连接BD、AD、OD，由得AD=BD，∠DCA=∠DCB可得△CDM≌△CDN(AAS)即得CM=CN，DM=DN，于是Rt△DNA≌Rt△DMB(HL)，由全等的性质得CM=3，由此得CD的长.
21．（2023九上·永兴月考）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为，的半径为，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】本题考查切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理.
（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，根据AB=AD，利用等边对等角可得，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理可得：代入数据可求出，据此可得：，利用圆切线的判定定理可证明直线是的切线；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据，利用圆周角定理可得：，利用角的运算可求出，根据含度角的直角三角形的性质可得：，根据勾股定理可求出AM，根据可求出AE．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2025九上·北京月考）如图，是的直径，弦垂足为，半径上有两点和，，射线，射线分别交于点、，连接交于点，过点作的平行线．
（1）证明：直线是的切线；
（2）当时，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，设与交于点K，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
∴
∵是的半径，
∴直线l是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
∵，
∴，
即是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
由（1）有，且是半径，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，设与交于点K，根据垂直平分线判定定理可得是的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，根据圆周角定理可得，则，根据垂径定理可得，即，再根据直线平行性质可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据边之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OK，再根据边之间的关系可得DK，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2024九上·北京市期中）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A B （A ，B 分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，的横、纵坐标都是整数．
①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______；
②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ；
（2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
【答案】（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；圆的相关概念；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A1B1符合题意；
故答案为：A1B1；
②由于直线A1B1与直线y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”；
由于线段A3B3=，而圆O的最大弦长直径=2，故A3B3也不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”；
直线A2B2的解析式是y=-x+5，且，故A2B2是⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”；
当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1，0）时，m=3，
当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1，0）时，m=2，
故答案为：2或3．
（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；
当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M，
∴CA’=CA=3，
∴点C坐标为（4，0），
代入直线，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等边三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=，即；
当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M，
∴CA’=CA=3，
∴点C坐标为（2，0），
代入直线，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等边三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=；即
综上，b的最大值为，此时BC＝； b的最小值为，此时BC＝．
故答案为：b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝.
【分析】
（1）①根据题意作出图象即可解答；②根据“关联线段”的定义，可确定线段A2B2存在“关联线段”，再分情况解答即可；
（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；然后分别画出图形求解即可.
1 / 1人教版九（上）数学第二十四章 圆 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·嵊州期中）的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
2．（2025九上·慈溪月考） 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 在半圆 O 上. 若 ，则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·鹿城月考）如图，在中，半径长为10，圆心O到弦AB的距离，则弦AB的长为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
4．（2025九上·北京月考）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
6．（2025九上·海曙期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为点D，如果∠A=35°，那么∠C=（ ）
A．20° B．30 C．40 D．50°
7．（2025九上·婺城期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与、分别相交．若点的坐标是，点的坐标是．则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·邹平期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=80°，半径OA=3，C 是上一点，连结OC，D 是OC 上一点，且OD=DC，连结 BD.若BD⊥OC，则. 的长为( )
A． B． C． D．π
10．（2024九上·江汉期中）如图，四边形内接于，，，的直径为，四边形的周长为，的长为，则关于的函数关系式是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·瑞安期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是 .
12．（2022九上·温州期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF．若AB＝8，则DF的长为 ．
13．（2025九上·惠阳期末）如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝ ．
14．（2024九上·余杭期中）如图，在以点为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 .
15．（2025九上·宁波期末）如图，四边形 内接于 ，则 的半径长为 .
三、解答题：本大题共8小题，共75分.
16．（2025九上·北京月考）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
17．如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P．若∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数．
18．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
19．（2024九上·广州期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
20．如图，在⊙O中，弦AC 的长为2，弦 BC 为4， 求CD 的长.
21．（2023九上·永兴月考）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为，的半径为，求的长．
22．（2025九上·北京月考）如图，是的直径，弦垂足为，半径上有两点和，，射线，射线分别交于点、，连接交于点，过点作的平行线．
（1）证明：直线是的切线；
（2）当时，若，，求的长．
23．（2024九上·北京市期中）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A B （A ，B 分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，的横、纵坐标都是整数．
①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______；
②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ；
（2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，
∴点P到圆心的距离等于圆的半径，
∴点P在⊙O上，
故选：C．
【分析】】由⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，可知点P到圆心的距离等于圆的半径，所以点P在⊙O上，于是得到问题的答案．
2．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A=90°-∠ABC=90°-55°=35°
∵∠BDC+∠A=180°.
∴∠BDC=180°-35°=145°
故答案为： B.
【分析】先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠A的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠BDC的度数.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， 圆心O到弦AB的距离OE = 6，
∴OE⊥AB于点E，
∴∠AEO=90°， AE= BE，
∵半径长为10，
∴OA=10，
∴AB=2AE=16，
故答案为：C .
【分析】由圆心O到弦AB的距离OE =6， 得OE⊥AB于点E， 则∠AEO=90°， AE=BE， 而OA =10，求得 所以AB=2AE=16，于是得到问题的答案.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=51°
∵为直径
∴∠ACB=90°
∴∠CBA=90°-∠CAB=39°
故答案为：D
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=51°，再根据圆周角相等可得∠ACB=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，延长DO 交⊙O于点 M，连接PM，PE，OF，PF.
∵AE⊥OD 于点 E，交⊙O 于点 F，F为 的中点，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF.
∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，
∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，
∴点 F 关于AB 的对称点为点 M，
∴PM=PF，
∴PE+PF=PE+PM≥EM，
当 E，P，M 三点共线时，PE+PF 最小，最小值为EM的长.
∵∠AOC=60°，AD⊥AB，
∴∠D=30°，
∴OD=2OA，
∵CD=4，
∴OD=OC+4=2OA=2OC，即 OC=4，
∴OC=OA=OB=OM=OF=4，
∵AF⊥OC，∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
的最小值EM=OE+OM=2+4=6.
故答案为：C.
【分析】延长DO 交⊙O于点 M，连接PM，PE，OF，PF.根据弧、弦、圆心角的关系得到AOC=∠COF=∠BOF=60°，即可得到点 F 关于AB 的对称点为点 M，然后根据两点间线段最短得到当 E，P，M 三点共线时，PE+PF 最小，最小值为EM的长.然后根据30°的直角三角形的性质解答即可.
6．【答案】A
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，
AB是O的直径，则
故答案为：A.
【分析】连接BD，AB是O的直径，根据定理可知 由弦切角定理知， 从而利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵与轴、轴都相切，设圆心的坐标为，
连接，过点作于点，设与的切点为，连接并延长，与交于点，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，
∴，
根据勾股定理：，
即，
解得：或（不合题意舍去），
∴圆心的坐标为，
故选：B．
【分析】由切线的性质和垂径定理的性质可知四边形是矩形，是直角三角形，设半径PB为r，则PE、BE都是含有r的代数式，借助公股定理即可。
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故答案为：D．
【分析】根据三角形内心得到，判断①；连接，根据三角形内心和三角形的内角和求出∠BEC判断②；利用垂径定理判断③；先得到，根据等角对等边即可得到判断④解题．
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵OD=DC， BD⊥OC，
∴BC=OB，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵∠AOB=80°，
∴∠AOC=20°，
的长为
故答案为：B .
【分析】连接BC，根据垂直平分线的性质得BC=OB，可得△OBC是等边三角形， 求出∠AOC = 20°， 再根据弧长公式计算即可.
10．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；用关系式表示变量间的关系；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点作交的延长线于，连接，如图所示：
四边形内接于，，，
为的直径，是等腰直角三角形，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
∴，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】
过点作交的延长线于，连接，先证明是等腰直角三角形，为直径，则，而得，证明是等腰直角三角形得，，然后证明和全等得，则，即可解答．
11．【答案】
【知识点】确定圆的条件；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，分别作弦AB和AC的垂直平分线交于点G，G为圆心，
半径GC=.
故答案为：.
【分析】利用格点，分别作AB、AC的垂直平分线，交点G即为圆心，即可得半径.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点D作直径DG，连接DE，GF，
∵，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，
∴CD=CE，
∵ 直径AB⊥弦CD ，
∴AB垂直平分CD，
∴CE=DE=CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵，
∴∠G=∠C=60°，
∵DG是直径，
∴∠DFG=90°，
∴∠GDF=90°-60°=30°，
∴FG=DG=×8=4，
∴.
故答案为：
【分析】过点D作直径DG，连接DE，GF，利用作图可知CD=CE，利用垂径定理可证得AB垂直平分CD，利用垂直平分线的性质可中的CD=DE=CE，可推出△CDE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠C=60°；再利用圆周角定理可求出∠G的度数，同时可证得∠DFG=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠GDF的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出FG的长，利用勾股定理求出DF的长.
13．【答案】100°
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABDC内接圆⊙O，∠ADE=65°，
∵∠ACB=65°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠BAC=180° 65° 65°=50°．
∵∠BAC与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=100°．
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数，再由AB=AC可得出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由圆周角定理即可解答．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作于H点，连接，如下图：
则，，
由题意可得，
则，
设，则，
在中，，
在中，，
则，
解得或（舍去）
即小圆的半径为，
故答案为：.
【分析】过O作于H点，连接，根据垂径定理可得，，设，则，分别在和利用勾股定理求得，求解即可.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，如图所示：
则∠ACE=90°
∵∠BAC =45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AC=EC，∠E=45°，
∴∠CAD=∠E =45°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=∠CBE，
在△CAD和△CBE中，∠D=∠CBE，∠CAD=∠E，AC =EC，
∴△CAD≌△CBE(AAS)，
∴AD=BE.
∵AB+AD =6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6，
在Rt△ACE中，AC =EC，
由勾股定理得：AE=，
∴AC=AE=×6=，
∵CF是圆O的直径，
∴∠CAF =90°，
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=CF，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2，即CF2-（CF）2=（）2，
解得CF=2
∴圆O的半径长为。
故答案为：。
【分析】本题构造出等腰直角三角形ACE之后，利用AAS证明出△CAD≌△CBE，从而得出AD=BE；然后利用条件中的AB+AD =6进行替换，可以求出AE的长度，然后利用勾股定理求出AC的长度，并利用30度锐角对应的直角边是斜边的一半以及勾股定理即可求出圆的直径CF的长度，半径即可求出。
16．【答案】解：连接AO，
∵D是中弦的中点，连接并延长交于点C
∴OD垂直平分AB，OC为圆的半径
∴
设圆的半径为r，则OA=OC=r
∴OD=CD-OC=2.5-r
在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2
∴0.52+(2.5-r)2=r2
解得：r=1.3
∴的半径为1.3m
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，根据垂径定理可得，设圆的半径为r，则OA=OC=r，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠ABC=100°，∴∠D=180°-100°=80°，
∵∠P=30°，
∴∠C=180°-30°-80°=70°.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可求出∠D的度数，然后在三角形PCD中，用三角形内角和定理可求解.
18．【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
19．【答案】（1）证明：如图，
连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线．
（2）解：如图，
设半径为，则，
在中，根据勾股定理得：
即：，
解得：，
∴的半径为2.5．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据点是的中点，得进一步得：，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得出，推得，得出，根据得出，即可证明．
（2）设半径为， 则 ， 在中 ，根据勾股定理可得：，即可列出方程，解出即可．
（1）证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线．
（2）解：设半径为，则，
在中，可有，
∴，
解得，
即的半径为2.5．
20．【答案】解：过点 D 作DM⊥BC于点M，DN⊥CA 交CA 的延长线于点 N，连接BD，AD，OD.
∵ ，
∴AD=BD，∠DCA=∠DCB，
∵DM⊥CB，DN⊥CN，
∴∠N=∠CMD=90°，
∵∠DCM=∠DCN，CD=CD，
∴△CDM≌△CDN(AAS)，
∴CM=CN，DN=DM，在Rt△DNA 和 Rt△DMB 中，DA=DBM，
∴Rt△DNA≌Rt△DMB(HL)，
∴AN=BM，
∴AC+CB=CN-AN+CM+BM=2CM=6，
∴CM=3，
∵∠MCD=45°，
∴CD=3
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】过点D分别作DM、DN垂直于CB、CA，连接BD、AD、OD，由得AD=BD，∠DCA=∠DCB可得△CDM≌△CDN(AAS)即得CM=CN，DM=DN，于是Rt△DNA≌Rt△DMB(HL)，由全等的性质得CM=3，由此得CD的长.
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】本题考查切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理.
（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，根据AB=AD，利用等边对等角可得，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理可得：代入数据可求出，据此可得：，利用圆切线的判定定理可证明直线是的切线；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据，利用圆周角定理可得：，利用角的运算可求出，根据含度角的直角三角形的性质可得：，根据勾股定理可求出AM，根据可求出AE．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：连接，设与交于点K，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
∴
∵是的半径，
∴直线l是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
∵，
∴，
即是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
由（1）有，且是半径，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，设与交于点K，根据垂直平分线判定定理可得是的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，根据圆周角定理可得，则，根据垂径定理可得，即，再根据直线平行性质可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据边之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OK，再根据边之间的关系可得DK，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；圆的相关概念；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A1B1符合题意；
故答案为：A1B1；
②由于直线A1B1与直线y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”；
由于线段A3B3=，而圆O的最大弦长直径=2，故A3B3也不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”；
直线A2B2的解析式是y=-x+5，且，故A2B2是⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”；
当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1，0）时，m=3，
当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1，0）时，m=2，
故答案为：2或3．
（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；
当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M，
∴CA’=CA=3，
∴点C坐标为（4，0），
代入直线，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等边三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=，即；
当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M，
∴CA’=CA=3，
∴点C坐标为（2，0），
代入直线，得b=；
∵A’B’=OA’=OB’=1，
∴△OA’B’是等边三角形，
∴OM=，，
在直角三角形CB’M中，CB'=；即
综上，b的最大值为，此时BC＝； b的最小值为，此时BC＝．
故答案为：b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝.
【分析】
（1）①根据题意作出图象即可解答；②根据“关联线段”的定义，可确定线段A2B2存在“关联线段”，再分情况解答即可；
（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；然后分别画出图形求解即可.
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