必修第一册第3章函数的概念与性质§2.4.2函数的奇偶性 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
§2.4.2函数的奇偶性
北师大版2019高中数学必修第一册
必修第一册第3章函数的概念与性质



学习目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养数学抽象的核心素养；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，提升直观想象的核心素养；
3.学会判断函数的奇偶性，强化逻辑推理的核心素养；
4.在具体问题情境中，运用数形结合思想，应用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
5.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小等问题.
6.掌握结合函数的奇偶性求分段函数解析式的方法.
7.能运算函数的奇偶性解决含参数(范围)问题.
“对称美”是自古以来中国的一种审美形式，实际生活中、传统文化里、自然界中对称的例子比比皆是，体现着数学的“对称美”！其实，这种“对称美”还体现在我们的函数图象中，反映着函数的重要性质
上列各图，分别是怎样的对称图形？
第1及第2行图为轴对称图形，第3行图图为中心对称图形.
新课引入
图像关于轴对称
图像关于原点对称
数学中的对称美
问题：请从对称的角度把这些函数图象分下类吧：
O
x
y
我们把函数图象的这种对称性称为函数的奇偶性
偶函数 f(x)
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
x∈I，f(－x)=f(x)
图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
x∈I，都有－x∈I
定义域I关于原点对称
-a
a
O
O
-a
a
O
a
-a
b
-b
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
x∈I，f(－x)= －f(x)
奇函数 f(x)
图像关于原点对称
代数特征
几何特征
x∈I，都有－x∈I
定义域I关于原点对称
这两个函数的图像都关于原点成中心对称.
奇函数：
奇函数


图像关于原点对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：



问题2：若函数为奇函数，在处有定义，的值？
因为为奇函数，且在处有定义，
所以，所以.
问题1：成为奇函数需要满足哪些条件？
新知探究1
探究1 函数图像，分别写出函数的单调区间？
思考：结合奇偶性，你有什么发现？
；
增区间。
；
减区间。
；无减区间。
无增区间。
奇函数：奇函数在对称区间的单调性是完全相同的
如果奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-b,-a]上就是单调增函数；
偶函数：偶函数在对称区间的单调性是完全相反的
如果偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-b,-a]上就是单调减函数。
偶
偶
偶
偶
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇
奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点 等价条件
前提 设f(x)的定义域为I
偶函数 x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数 关于原点对称
备注 f(x)－f(-x)=0
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
②不能用特殊值判断奇偶性.
如: f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数
③已知奇偶性可代特殊值求参数.
④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0.
证: f(0)= - f(0)
学习新知
函数奇偶性的判断
求函数f(x)的定义域
f(x)既不是奇函数也不是偶函数
判断f(-x)与f(x)的关系
判断定义域是否关于原点对称？
f(-x)≠ f(x)且f(-x)≠ - f(x)
是
否
f(-x)= f(x)
f(x)是偶函数
f(x)是奇函数
f(-x)= -f(x)
定义法判断函数奇偶性的步骤
f(x)既是奇函数 也是偶函数
f(-x)= f(x)= - f(x)
偶函数


图像关于y轴对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：



函数对称性的推广公式
1，，关于对称
2，，关于点对称
偶函数：
奇函数


图像关于原点对称
代数特征
几何特征
定义中， 的常见变形有：



如果奇函数在
处有定义，则：


1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=－f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数
例1.若函数是偶函数，定义域为,,的值.
解：∵偶函数的定义域关于原点对称∴=0，= .
又∵为偶函数;
∴.∴= ，即=0.
例2. 已知是定义在上的奇函数，的值？
解：定义域关于原点对称得：0，得＝2或＝
由
例3.已知函数为上的偶函数,且当时,,则当时,求此时的解析式.
解：当时，,则
∵为上的偶函数, ∴当时，.
例4.定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围.
解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数,∴函数在区
间上为减函数.若,则有且且
解得：.
即实数的取值范围是：.
定理4　若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝a、x＝b(a、b∈R，且a≠b)均对称，则f(x)是周期函数，且2(a－b)为其一个周期 .
证明：由定理2知f(x＋a)、f(x＋b)均为偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)①
f(－x＋b)＝f(x＋b)②,由①得,f(x)＝f(2a－x)③
由②得，f(x)＝f(2b－x)④,由③、④得，f(2a－x)＝f(2b－x)⑤
即f(x＋2a)＝f(x＋2b).令2b＋x＝t，则x＝2b－t，代入⑤得，f(t＋2a－2b)＝f(t)，∴f(x)是周期函数，且2(a－b)为其一个周期.
解题技巧：
（1）奇函数： 变形为.再利用单调性去掉，化为关于，的不等式.
（2）偶函数：,在化到同一区间建立不等式即可.
定理5　若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝a和点B(b，0)(a≠b)均对称，则f(x)是周期函数，且4(a－b)为其一个周期.
证明：由定理2知f(x＋a)为偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)①
由定理1知f(x＋b)为奇函数，则f(－x＋b)＝－f(x＋b)②
分别由①、②得f(x)＝f(2a－x)、f(x)＝－f(2b－x)，
∴f(2a－x)＝－f(2b－x)，即f(2a＋x)＝－f(2b＋x)③
令2b＋x＝t，则x＝t－2b，代入③得f(t＋2a－2b)＝－f(t).
∴f(x＋4a－4b)＝－f(x＋2a－2b)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且4(a－b)为其一个周期.
函数的对称轴与对称中心(拓展)
(1)若函数f(x)的定义域为D，对 x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝____是f(x)的对称轴.
(2)若函数f(x)的定义域为D，对 x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则____________是f(x)的对称中心.
T
(a，b)
例6.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且图象关于直线x＝2对称，
当x∈[0，2]时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
A
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x＝2对称，
所以f(x)＝f(4－x)＝－f(x－4)，∴f(8＋x)＝－f(x＋4)＝－(－f(x))＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为8，∴f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
例7.函数f(x)在(－∞,＋∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)＝-1,则满足
-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]
解析 ∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1,∴f(－1)＝1,∵－1≤f(x－2)≤1,
∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减,∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故选D.
D
由奇偶性求解析式
例8.f(x)是R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝x2－2x+3，求f(x)在R上的解析式.
所以f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b).
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.
解　由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，
所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4].
例12.在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1－m)解: 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,2]上单调递减.
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0) 上是增函数,所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
所以f(3)=f(-3)=0.作出函数的一个大致图象
如图所示.当x>0时,由f(x)<0,解得x>3;
当x<0时,由f(x)>0,解得-3故所求解集为{x|-33}.
奇偶性与单调性
[例14]函数y=f(x)是R上的偶函数, 且在(－∞,0]上为增函数, 若f(a)≤f(2), 则实数a的取值范围是_____________.
[例15]f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数, 且在区间[0,2]上单调递减, 若f (m)+f (m－1)>0,求实数m的取值范围.
[例16]g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数, 且在区间[0,2]上单调递减, 若g(1－m)反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式．
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式．
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．
抽象函数的求值、奇偶性、单调性
令y=﹣x, 则f(0)=f(x)+f(﹣x)
(1)令x=y=0, 则f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
=0
即 x∈R, f(﹣x)=﹣f(x).
∴f(x)是R上的奇函数.
抽象函数的求值、奇偶性、单调性
(1)令x=1, y=0, 则f(1+0)=f(1)·f(0), 即2f(0)=2, ∴f(0)=1.
利用奇偶性求值
当堂训练
例20.已知是奇函数,是偶函数,且则________．
解：
两式相加得g(1)＝3.
利用奇偶性求参
例21.已知为偶函数，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
解析式含参数
分析
待定系数法列方程
偶函数
求参数
解：因为为偶函数,所以,则,可得．
C
方法点拨
方法1：待定系数法
1.代:代入(奇)或(偶)
2.列:待定系数法列方程
3.算:解方程,求参数
方法2.特例法:已知函数是偶函数,,即,
方法2：特例法
利用奇偶性求参数—解析式含参
（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．
（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．
（3）若，则函数关于对称．
（4）若，则函数关于点对称．
函数的对称性
奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
幂函数 奇偶性的判断方法





奇函数
偶函数


奇函数
偶函数
非奇非偶函数





奇偶性
奇函数
偶函数
定义域关于原点对称
图像关于轴对称
定义域关于原点对称
图像关于原点对称
若，则
判断方法
判断函数的奇偶性
形
数
图象对称
f(x)与f(-x)
函数的奇偶性的应用
利用奇偶性判断图象的对称性
利用奇偶性求值
课堂小结
利用奇偶性求参
利用奇偶性求解析式
利用奇偶性与单调性解不等式
1.定：确定奇偶性；2.代:代入(奇)或(偶)；3.算:算出所求函数值
1.代:代入(奇)或(偶)；2.列:待定系数法列方程；3.算:解方程,求参数
1.定:利用奇偶性确定函数在整个定义域上的单调性;
2.转:将不等式转化为或
3.去:利用单调性去掉“”
4.解:解不等式
1.设:求哪个区间上的解析式,就设在哪个区间;
2.转:将转化到已知区间上
3.代:代入已知解析式
4.化:奇: 偶:
下课
再见
和你们合作真是太愉快了！
感谢各位同学配合！