浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（含答案）（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
文档属性
| 名称 | 浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（含答案）（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 510.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-25 00:00:00 | ||
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文档简介
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浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
3．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
5．点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
8．如图，在⊙中，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．抛物线（a为常数，）的对称轴是 ．
12．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ．
13．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ．
14．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米．
15．若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
16．如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为 ．
第II卷
浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．已知二次函数的图象经过点，．
(1)请求此二次函数的解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上？请说明理由．
18．现有四位“抗疫”英雄（依次标记为、、、）.为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上、、、四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为的概率为___________；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）；
②将绕点顺时针旋转后得到，画出；
(2)若点为轴上一动点，则的最小值等于 ．
20．如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
(2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分弓形的面积．
23．【甚础巩固】
（1）如图1，在和中，点在上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，对角线相交于点，点是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．
25．已知二次函数（，是实数，）．
(1)求证：该函数图象与轴一定有两个不同的交点；
(2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围．
(3)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C D B D B C C
二、填空题
11．
12．
13．4
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：把，代入，得：
，解得，
∴；
（2）点在这个二次函数的图象上，理由如下：
由（1）知：，
当时，，
∴点在这个二次函数的图象上．
18．【解】（1）∵共有四张卡片，分别是A、B、C、D四个标号
∴班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率是
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有12种
则所求的概率为
答：小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为．
19．【解】（1）解：①点的坐标为，
点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
②如图，即为所求．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时的值最小，
最小值即为的长，由勾股定理得，，
故答案为：．
20．【解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．【解】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）设每天的销售利润为w元．
依题意，得：
整理，得：，
化成顶点式，得，
∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．
22．【解】（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
23．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍），
∴．
24．【解】解：（1）如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABC三边的垂直平分线的交点，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴OC=OP，
∴△OPC是等边三角形，
∵CE⊥OP，
∴OE=PE；
（2）①如图所示，连接PC，
同理可得∠BPC=∠BAC=60°，
∵CQ⊥AB，
∴∠AQC=90°，
∴∠ACQ=30°，
又∵AC⊥BE，
∴∠CEH=90°，
∴∠CHE=60°，
∴△CPH是等边三角形，
∴PE=HE；
②由①得∠CHP=60°，
∴∠BHC=120°，
∵BC=4，
∴H是在以BC为弦，圆周角∠BHC=120°的圆上运动，
如图所示，劣弧即为H的运动轨迹，过点作于G，
∴
∵∠BHC=120°
∴，
∴，
∴∠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴该函数图象与轴一定要有两个不同的交点；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点、分别位于抛物线对称轴的两侧，且，
∴且，，
解得：，
∴的取值范围是；
（3）∵图象过点，
∴，即，
∵当时，总有随的增大而减小，
∴，，
∴，
∴，
∵二次项系数，
∴当时，的值随的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值是：，
∴的最小值是．
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浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
3．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
5．点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
8．如图，在⊙中，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．抛物线（a为常数，）的对称轴是 ．
12．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ．
13．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ．
14．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米．
15．若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
16．如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为 ．
第II卷
浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．已知二次函数的图象经过点，．
(1)请求此二次函数的解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上？请说明理由．
18．现有四位“抗疫”英雄（依次标记为、、、）.为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取四张完全相同的卡片，分别在正面写上、、、四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）班长在这四种卡片中随机抽到标号为的概率为___________；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）；
②将绕点顺时针旋转后得到，画出；
(2)若点为轴上一动点，则的最小值等于 ．
20．如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
(2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分弓形的面积．
23．【甚础巩固】
（1）如图1，在和中，点在上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，对角线相交于点，点是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．
25．已知二次函数（，是实数，）．
(1)求证：该函数图象与轴一定有两个不同的交点；
(2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围．
(3)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C D B D B C C
二、填空题
11．
12．
13．4
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：把，代入，得：
，解得，
∴；
（2）点在这个二次函数的图象上，理由如下：
由（1）知：，
当时，，
∴点在这个二次函数的图象上．
18．【解】（1）∵共有四张卡片，分别是A、B、C、D四个标号
∴班长在这四种卡片中随机抽到标号为C的概率是
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有12种
则所求的概率为
答：小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为．
19．【解】（1）解：①点的坐标为，
点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
②如图，即为所求．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时的值最小，
最小值即为的长，由勾股定理得，，
故答案为：．
20．【解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．【解】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）设每天的销售利润为w元．
依题意，得：
整理，得：，
化成顶点式，得，
∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元．
22．【解】（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
23．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍），
∴．
24．【解】解：（1）如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABC三边的垂直平分线的交点，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴OC=OP，
∴△OPC是等边三角形，
∵CE⊥OP，
∴OE=PE；
（2）①如图所示，连接PC，
同理可得∠BPC=∠BAC=60°，
∵CQ⊥AB，
∴∠AQC=90°，
∴∠ACQ=30°，
又∵AC⊥BE，
∴∠CEH=90°，
∴∠CHE=60°，
∴△CPH是等边三角形，
∴PE=HE；
②由①得∠CHP=60°，
∴∠BHC=120°，
∵BC=4，
∴H是在以BC为弦，圆周角∠BHC=120°的圆上运动，
如图所示，劣弧即为H的运动轨迹，过点作于G，
∴
∵∠BHC=120°
∴，
∴，
∴∠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴该函数图象与轴一定要有两个不同的交点；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点、分别位于抛物线对称轴的两侧，且，
∴且，，
解得：，
∴的取值范围是；
（3）∵图象过点，
∴，即，
∵当时，总有随的增大而减小，
∴，，
∴，
∴，
∵二次项系数，
∴当时，的值随的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值是：，
∴的最小值是．
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