浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷拔尖卷（含答案）（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）

浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷拔尖卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分
1．下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
3．点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．“经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
B．，
C． D．，
6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
7．一个暗箱中放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中只有个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算的值是（ ）
A．15 B．10 C．4 D．3
8．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
9．凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图像如图2所示，则图1中的长是（ ）
A．7 B． C．14 D．15
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 件是合格的．
12．已知，则 ．
13．已知，，为上顺次三点，且，则的度数为 ．
14．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 4000 10000
发芽频数 92 188 476 951 1900 3800 9500
估计该麦芽的发芽概率是 ．（精确到0.01）
15．若函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数k的值是 ．
16．已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则的最大值为 ．
第II卷
浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷拔尖卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．已知二次函数经过和．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)当时，求该二次函数的最大值和最小值．
18．数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
(1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
(2)小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
19．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求．
20．如图，在中，点在的延长线上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
21．如图，在中，，于点D，且，为上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若E为的中点，，求的长．
22．某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元．
(1)当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？
(2)五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
23．如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点．
(1)连结，求证：．
(2)若，求半径的长．
(3)若，求的值．
24．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）．
(1)若，函数图象顶点坐标为，求函数图象与x轴的交点坐标；
(2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：；
(3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值．
25．如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A D D B C A C
二、填空题
11．1080
12．1或-2
13．或
14．0.95
15．或
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
18．【解】（1）解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，
∴ 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 ．
19．【解】（1）证明：∵点、、在上，于点，
∴，
∴垂直平分，
∴．
（2）解：∵点在圆上，是的直径，
∴，
∵点在上，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解： 点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
过点D作，交于点G，则，，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即G为中点，
，
点为的中点，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
22．【解】（1）解：根据题意，每份售价为元，销售量为份．
利润
令，得．
整理得：，解得，
售价不能高于75元，即，，
∴舍去．
答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元．
（2）解：
，
，抛物线开口向下，函数有最大值，
∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内，
∴当时，（元）．此时售价为（元）
答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元．
23．【解】（1）证明：连接，
则
由菱形可知，又，
∴，则
∴，
∵，
∴，
由菱形对边平行知，，
∴，
∴
（2）解：连接，则，
在与中，，
∴，
解得：（另一解为负值，舍去），
（3）解： 分别连接、，
∵，
∴
∴是的直径，，
∵，
∴，
又，
∴，则，
又
∴，
∴，
设，
则，
在与中，，则，
即，，解得（另一根为负值，舍去），
．
24．【解】（1）解：由题可得二次函数的解析式为，
令，则，
解得，，
∴函数图象与x轴的交点坐标，；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，
又∵函数图象与x轴有两个交点，，且，
∴当时，函数值小于，
∴，即；
（3）解：∵时，；当时，，
∴抛物线的开口向下，即，
若对称轴在直线的左边时，当时，；当时，，
∴当时，取得最大值，最大值不小于，不符合题意；
若对称轴在直线的右边时，当时，；当时，，
∴当时，取得最大值，即最大值为，
∴是抛物线的顶点，当时，；
设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得．
25．【解】（1）证明：设，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点作垂直于，垂足为，如图，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵垂直于，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴．
（3）解：∵，
∴要使得的面积最大，就是当，
此时，为等腰直角三角形，且，
连接，过点D作，如图，
∵，
∴，
∵，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．