2025-2026学年华东师大版九年级下 第26章二次函数单元练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年华东师大版九年级下 第26章二次函数单元练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 166.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-28 11:11:20 | ||
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文档简介
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元练习
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C．y=（x+4）2-x2 D．y=x2-1
2．二次函数y=（x-2）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（-2，1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（1，0）
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下面结论正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0，b2＞4ac B．a＞0，c＜0，b2＞4ac
C．a＜0，c＞0，b2＞4ac D．a＞0，c＜0，b2＜4ac
4．若二次函数y=x2-6x+5，当2≤x≤6时的最大值是n,最小值是m,则n-m=（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x=-4
C．有最小值2 D．顶点坐标是（4，2）
6．若抛物线y=（a-1）x2-a2+1=0经过原点，则a的值是（ ）
A．±1 B．1 C．-1 D．0
7．将抛物线y=x2-1的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2+2 x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-3
8．如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第二象限，则方程ax2+bx+c=0的实根情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．以上三种均有可能
9．已知二次函数y=-x2+2ax-a2+3a-2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=2时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x=-1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠-1时，a-b＞am2+bm；②若+bx1=+bx2且x1≠x2，则x1+x2=2；③若OA=OC，则OB=-；④连结AC．若B（1，0），C（0，3），点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA=90°，则P（-1，4）．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二．填空题（共5小题）
13．当x=1时，二次函数y=x2-7的函数值为______．
14．抛物线y=-（x+2）2+5与y轴的交点坐标是 ______．
15．二次函数与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ______．
16．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m,水面宽6m.则水面上升2米后水面宽度为______米．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-5，0）和点B（1，0）．点D是抛物线顶点，连接AD，BD，作DH⊥x轴于点H．把△BHD沿着射线AD方向平移，点D在射线AD上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，则m的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y=-x2+2x+3．
（1）在如图的直角坐标系内画出y=-x2+2x+3的图象；
（2）直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
19．已知二次函数的对称轴为直线x=-2，且过（1，1）和（4，4）两点，
（1）写出此二次函数解析式；
（2）求出这个函数的最大值或最小值；
（3）当x为何值时，y随x增大而增大？
20．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m.这时．拱高（点O到AB的距离）为4m.
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（-6，0）和点C（2，0），连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点M在x轴上，点E在平面内，且四边形ANEM是平行四边形．
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求BP1+的最小值．
华东师大版九年级下第26章二次函数单元练习
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、C 4、D 5、D 6、C 7、A 8、C 9、B 10、B 11、B 12、A
二．填空题（共5小题）
13、-6； 14、（0，1）； 15、x＜1或x＞4； 16、； 17、＜m＜；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵a=-1＜0，
∵二次函数的图象开口向下，
将二次函数y=-x2+2x+3化为顶点式，可得：
y=-x2+2x+3=-（x2-2x+1-1）+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x=1，
令y=0，得：-x2+2x+3=0，
即：x2-2x-3=0，
分解因式，得：（x+1）（x-3）=0，
解得：x=-1或x=3，
∴二次函数y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
据此，利用描点法即可画出y=-x2+2x+3的图象如下：
（2）通过观察函数图象可知：
函数值y为正数时，自变量x的取值范围为-1＜x＜3．
19、解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）2+b,
将（1，1）和（4，4）代入得：，
解得：a=，b=0，
则二次函数解析式为y=（x+2）2=x2+x+；
（2）∵a＞0，顶点坐标为（-2，0），
∴二次函数有最小值，最小值为0；
（3）由二次函数对称轴为直线x=-2，a＞0，
得到x＞-2时，y随x增大而增大．
20、解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b,
将（12，28）、（15，25）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤30）；
（2）根据题意知，W=（x-10）y
=（x-10）（-x+40）
=-x2+50x-400
=-（x-25）2+225，
∴a=-1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤30，
∴当x=25时，W取得最大值，最大值为225，
答：每件销售价为25元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
21、解：（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，
由图象知，点（10，-4）在函数图象上，代入得：
100a=-4，
a=-．
∴该抛物线的解析式是y=-x2；
（2）设该抛物线的解析式是y=ax2+c,
由图象知，点（10，0）（0，4）在函数图象上，代入得：
，
解得：a=-，c=4．
∴该抛物线的解析式是y=-x2+4，
与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化．
22、解：（1）抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（-6，0）和点C（2，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y=-x2-x+4；
（2）①∵抛物线的表达式为y=-x2-x+4，
∴OA=4，
由点B、Q的坐标得，直线BQ的解析式为y=x+2，
∵N为BQ与y轴交点，
∴N（0，2），
∴AN=2，
∵四边形ANEM是平行四边形，
∴AN∥EM且EM=AN=2，且点E在点M下方，
∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，
∴BM=OA=4，
∵B（-6，0），
∴M（-2，0）或（-10，0），
若M为（-2，0），
∵∠BME=∠AOM=90°，
故E（-2，-2），
若M为（-10，0），
∵OM=ME=2，此时OM=10，（矛盾，舍去），
综上，点E的坐标为（-2，-2）；
②如图，设AM的解析式为y=kx+b,
∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，4），
由点A、M的坐标得，AM的解析式为y=2x+4，
联立AM和BQ的表达式得：2x+4=x+2，
解得x=-，
即点P的坐标为（-，），
由点B、E的坐标得，直线BE的解析式为y=-x-3，
联立BE与AM的表达式得：2x+4=-x-3，
解得：x=-，
∴点H的坐标为（-，-），
由点B、P、H的坐标得，BP=，BH=，
∴BP1=，
当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，
∴OH1=BO-BH=6-，
∴BP1+的最小值=+（6-）=6．
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C．y=（x+4）2-x2 D．y=x2-1
2．二次函数y=（x-2）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（-2，1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（1，0）
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下面结论正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0，b2＞4ac B．a＞0，c＜0，b2＞4ac
C．a＜0，c＞0，b2＞4ac D．a＞0，c＜0，b2＜4ac
4．若二次函数y=x2-6x+5，当2≤x≤6时的最大值是n,最小值是m,则n-m=（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x=-4
C．有最小值2 D．顶点坐标是（4，2）
6．若抛物线y=（a-1）x2-a2+1=0经过原点，则a的值是（ ）
A．±1 B．1 C．-1 D．0
7．将抛物线y=x2-1的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2+2 x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-3
8．如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第二象限，则方程ax2+bx+c=0的实根情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．以上三种均有可能
9．已知二次函数y=-x2+2ax-a2+3a-2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=2时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x=-1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠-1时，a-b＞am2+bm；②若+bx1=+bx2且x1≠x2，则x1+x2=2；③若OA=OC，则OB=-；④连结AC．若B（1，0），C（0，3），点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA=90°，则P（-1，4）．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二．填空题（共5小题）
13．当x=1时，二次函数y=x2-7的函数值为______．
14．抛物线y=-（x+2）2+5与y轴的交点坐标是 ______．
15．二次函数与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ______．
16．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m,水面宽6m.则水面上升2米后水面宽度为______米．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-5，0）和点B（1，0）．点D是抛物线顶点，连接AD，BD，作DH⊥x轴于点H．把△BHD沿着射线AD方向平移，点D在射线AD上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，则m的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知抛物线y=-x2+2x+3．
（1）在如图的直角坐标系内画出y=-x2+2x+3的图象；
（2）直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
19．已知二次函数的对称轴为直线x=-2，且过（1，1）和（4，4）两点，
（1）写出此二次函数解析式；
（2）求出这个函数的最大值或最小值；
（3）当x为何值时，y随x增大而增大？
20．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m.这时．拱高（点O到AB的距离）为4m.
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（-6，0）和点C（2，0），连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点M在x轴上，点E在平面内，且四边形ANEM是平行四边形．
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求BP1+的最小值．
华东师大版九年级下第26章二次函数单元练习
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、C 4、D 5、D 6、C 7、A 8、C 9、B 10、B 11、B 12、A
二．填空题（共5小题）
13、-6； 14、（0，1）； 15、x＜1或x＞4； 16、； 17、＜m＜；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵a=-1＜0，
∵二次函数的图象开口向下，
将二次函数y=-x2+2x+3化为顶点式，可得：
y=-x2+2x+3=-（x2-2x+1-1）+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x=1，
令y=0，得：-x2+2x+3=0，
即：x2-2x-3=0，
分解因式，得：（x+1）（x-3）=0，
解得：x=-1或x=3，
∴二次函数y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
据此，利用描点法即可画出y=-x2+2x+3的图象如下：
（2）通过观察函数图象可知：
函数值y为正数时，自变量x的取值范围为-1＜x＜3．
19、解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）2+b,
将（1，1）和（4，4）代入得：，
解得：a=，b=0，
则二次函数解析式为y=（x+2）2=x2+x+；
（2）∵a＞0，顶点坐标为（-2，0），
∴二次函数有最小值，最小值为0；
（3）由二次函数对称轴为直线x=-2，a＞0，
得到x＞-2时，y随x增大而增大．
20、解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b,
将（12，28）、（15，25）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤30）；
（2）根据题意知，W=（x-10）y
=（x-10）（-x+40）
=-x2+50x-400
=-（x-25）2+225，
∴a=-1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤30，
∴当x=25时，W取得最大值，最大值为225，
答：每件销售价为25元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
21、解：（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，
由图象知，点（10，-4）在函数图象上，代入得：
100a=-4，
a=-．
∴该抛物线的解析式是y=-x2；
（2）设该抛物线的解析式是y=ax2+c,
由图象知，点（10，0）（0，4）在函数图象上，代入得：
，
解得：a=-，c=4．
∴该抛物线的解析式是y=-x2+4，
与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化．
22、解：（1）抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（-6，0）和点C（2，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y=-x2-x+4；
（2）①∵抛物线的表达式为y=-x2-x+4，
∴OA=4，
由点B、Q的坐标得，直线BQ的解析式为y=x+2，
∵N为BQ与y轴交点，
∴N（0，2），
∴AN=2，
∵四边形ANEM是平行四边形，
∴AN∥EM且EM=AN=2，且点E在点M下方，
∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，
∴BM=OA=4，
∵B（-6，0），
∴M（-2，0）或（-10，0），
若M为（-2，0），
∵∠BME=∠AOM=90°，
故E（-2，-2），
若M为（-10，0），
∵OM=ME=2，此时OM=10，（矛盾，舍去），
综上，点E的坐标为（-2，-2）；
②如图，设AM的解析式为y=kx+b,
∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，4），
由点A、M的坐标得，AM的解析式为y=2x+4，
联立AM和BQ的表达式得：2x+4=x+2，
解得x=-，
即点P的坐标为（-，），
由点B、E的坐标得，直线BE的解析式为y=-x-3，
联立BE与AM的表达式得：2x+4=-x-3，
解得：x=-，
∴点H的坐标为（-，-），
由点B、P、H的坐标得，BP=，BH=，
∴BP1=，
当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，
∴OH1=BO-BH=6-，
∴BP1+的最小值=+（6-）=6．