2025-2026学年人教版九年级上第22章二次函数单元测试（含答案）

人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列y关于x的函数中，一定为二次函数的是（　　）
A．y=x+3 B．y=20（1+x）2 C．y=ax2+bx+c D．y=x2+
2．由二次函数y=2（x+1）2-4可得下列选项中正确的是（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x=1
C．其顶点坐标为（-4，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
3．A（-2，y1）B（1，y2）是抛物线y=-x2-2x+2上的两点，则y1，y2的大小关系（　　）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y2＞y1 D．无法判断
4．如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点P，且抛物线为二次函数y=x2的图形，P的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为（7，2），则此时P的坐标为何（　　）
A．（9，4） B．（9，6） C．（10，4） D．（10，6）
5．对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是（　　）
A．y=mx2+mx+1 B．y=（m+1）x2
C．y=（m-1）2x2+1 D．y=（-m2-1）x2
6．点A（0，6），B（6，6）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（　　）
A．（3，6） B．（3，5） C．（6，3） D．（5，3）
7．抛物线y=（x-x1）（x-x2）+mx+n与x轴只有一个交点（x1，0）．下列式子中正确的是（　　）
A．x1-x2=m B．x2-x1=m C．m（x1-x2）=n D．m（x1+x2）=n
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．二次函数y=-2x2-12x-10，当-4≤x≤0时，y的取值范围是什么（　　）
A．-10≤y≤4 B．-10≤y≤6 C．-10≤y≤8 D．-10≤y≤10
10．已知函数y=（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图象如图所示，则函数y=nx+m的图象可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．若函数y=ax2-x+1（a为常数）的图象与x轴有交点，那么a满足（　　）
A．a≥ B．a≤且a≠0 C．a≥- D．a≤
12．已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点B （1，0）和点A，交y轴负半轴于点C，且AO=2CO．有下列结论：①2b+2c=-1；②a=；③＞0；④4ac+2b+1=0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．已知A（4，y1）、B（-4，y2）是抛物线y=（x+3）2-a上的两点，则y1______y2．
14．已知二次函数y=（m-1）x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ______．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰△ABO的顶点A在y轴上，AB=OB，tan∠AOB=2，抛物线y=-x2+bx+2过点A．
（1）若点O关于AB中点的中心对称点O'也恰好在抛物线y=-x2+bx+2上，则b=______；
（2）若将△ABO绕点A按逆时针方向旋转45°，得到△A'B'O′，点B'在抛物线y=-x2+bx+2上，则b=______．
16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为-1、3，则下列说法正确的有 ______（填正确序号）．
①对称轴是直线x=1；
②方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3；
③当x＜1，y随x的增大而增大；
④当-1＜x＜3时，y＜0．
17．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM=OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 ______；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=x2-（k+3）x+3k（k为常数）．
（1）当该函数的图象与y轴的交点在x轴上方时，求k的取值范围．
（2）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
19．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．
（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？
（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
20．抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于点A（1，b）．
（1）求a,b的值；
（2）求抛物线y=ax2与直线y=-2的两个交点B，C的坐标．
21．已知关于x的方程（m+1）x2-（2m+1）x+m=0．
（1）求证该方程有实数根．
（2）当m=1时，方程的两根为x1，x2（x1＜x2），抛物线y=x2经过点A（a、b），当x1＜b＜x2，求出a的取值范围．
22．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A（-2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，4），顶点为点G，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接AP交BC于点M．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；
（2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接CE、AF，当四边形ACEF周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．
人教版九年级上第22章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、A 4、B 5、D 6、B 7、B 8、B 9、C 10、D 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、＞； 14、m＜1； 15、；； 16、①②④； 17、y=-x2+x；；
三．解答题（共5小题）
18、（1）解：当x=0时，y=x2-（k+3）x+3k=3k,
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为3k,
∴当3k＞0，即k＞0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方；
（2）证明：∵y=x2-（k+3）x+3k,
∴．Δ=[-（k+3）]2-4×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
19、解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x元，由题意得：
，
解得：x1=195，x2=165，
∵商场想尽快回收成本，
∴定价应为165元．
（2）设这款运动鞋的销售价定为x元，由题意得：
y=（x-150）（10+×5）
=-x2+360x-31500
=-（x-180）2+900，
∴当这款运动鞋的销售价定为180元时，可使商场平均每天获得的利润最大，最大利润是900元．
20、解：（1）∵点A（1，b）在直线y=2x-3上，
∴b=-1，
∴点A坐标（1，-1），
把点A（1，-1）代入y=ax2得到a=-1，
∴a=b=-1；
（2）由解得或，
∴点C坐标，点B坐标．
21、（1）证明：∵Δ=[-（2m+1）]2-4m（m+1）=4m2+4m+1-4m2-4m=1＞0，
∴方程（m+1）x2-（2m+1）x+m=0有实数根；
（2）解：当m=1时，方程变为2x2-3x+1=0，
解得x1=，x2=1，
∵抛物线y=x2经过点A（a、b），
∴b=a2，
∵x1＜b＜x2，
∴＜b＜1，
∴＜a2＜1，
解得-1＜a＜-或＜a＜1．
∴a的取值范围为-1＜a＜-或＜a＜1．
22、解：（1）将A（-2，0）、B（6，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c,
得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x+4，
∵y=-x2+x+4=-（x-2）2+，
∴顶点G的坐标为（2，）；
（2）过点A作x轴的垂线交直线BC于点F，过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，
∴AF∥PE，
∴△PEM∽△AFM，
∴，
∵B（6，0），C（0，4），
设直线BC的解析为y=kx+4，
∴6k+4=0，
∴k=-，
∴y=-x+4，
设P（t,-t2+t+4），则E（t,-t+4），
∴PE=-t2+t+4+t-4=-t2+2t,
∵A（-2，0），
x=-2时，y=-x+4=，
∴F（-2，），
∴AF=，
∴=，
∴当PE取得最大值时，取得最大值，
∵PE=-t2+2t=-（t-3）2+3，
∴当t=3时，PE有最大值3，
∴==，
∴的最大值，此时P（3，5）；
（3）∵A（-2，0）、C（0，4），
∴AC=2，
∵EF=2，
∴四边形ACEF中，边AC与EF为定值，
∴当AF+CE最小时，四边形ACEF的周长最小．
将点A向上平移2个单位得到A′（-2，2），作点C关于对称轴x=2的对称点C′（4，4），连接A′C′，与对称轴的交于点E′．
∴当点E运动到和点E′重合时AF+CE=A′E′+C′E′=A′C′最小，
∵A′（-2，2），C′（4，4），
设直线A′C′的解析式为y=mx+n,
∴，解得，
∴直线A′C′的解析式为y=x+，
将x=2代入y=x+，则y=，
∴点E′（2，），
设H（p,q），
①当GE、PH为平行四边形的对角线时，
∵G（2，），E（2，），P（3，5），
∴，
∴，
∴H（1，）；
②当GP、EH为平行四边形的对角线时，
∵G（2，），E（2，），P（3，5），
∴，
∴，
∴H（3，7）；
③当GH、EP为平行四边形的对角线时，
∵G（2，），E（2，），P（3，5），
∴，
∴，
∴H（3，3）；
综上所述，点H的坐标为（1，）或（3，7）或（3，3）．