上海市华东师范大学第一附属中学2025-2026学年高一上学期数学期中试卷（含答案）

华师大一附中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．对数函数的反函数是 ．
2．若指数函数的图象经过点，则其解析式为 ．
3．若是方程的两个根，则 ．
4．若关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ．
5．当时，幂函数的图象总在的图象上方，则的取值范围为 ．
6．已知函数在区间上的最大值比最小值大2，则的值为 ．
7．已知非空集合，则 ．
8．已知关于不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ．
9．已知均为正实数，若，则的值为 ．
10．已知，若，则的取值范围是 ．
11．已知常数，函数的图象经过点．若，则 ．
12．若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．集合，则（ ）.
A．； B．； C．； D．．
14．若为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
15．函数的图象是（ ）.
A． B．
C． D．
16．已知关于的不等式的解集是A，不等式的解集是，有下列两个结论：（1）存在，使；
（2）对任意的，都有；则（ ）.
A．（1）（2）均正确 B．（1）（2）均错误
C．（1）正确（2）错误 D．（1）错误（2）正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
已知集合．
（1）若是的真子集，求的范围；
（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分7分，第2题满分7分．
函数的定义域为A，函数的定义域为．
（1）求A；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分．
某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示：
（1）根据表中数据，分别用模型且与建立关于的函数解析式；
（2）已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分6分，第2题满分6分，第3题满分6分．
（1）已知，用比较法证明：；
（2）已知均为正实数，用基本不等式证明：，并注明等号成立条件；
（3）已知，用反证法证明：．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2小题满分6分，第3题满分8分．
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求的值；
（3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围．
华师大一附中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．对数函数的反函数是 ．
【答案】
2．若指数函数的图象经过点，则其解析式为 ．
【答案】
3．若是方程的两个根，则 ．
【答案】1
4．若关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ．
【答案】
5．当时，幂函数的图象总在的图象上方，则的取值范围为 ．
【答案】
6．已知函数在区间上的最大值比最小值大2，则的值为 ．
【答案】
7．已知非空集合，则 ．
【答案】
8．已知关于不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
9．已知均为正实数，若，则的值为 ．
【答案】1
10．已知，若，则的取值范围是 ．
【答案】
11．已知常数，函数的图象经过点．若，则 ．
【答案】6
12．若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 ．
【答案】3
【解析】设，
则不等式变为，
若，则，
若，则，
即2max，作出的图象，
实线部分即为，要想保证，只需最小值大于等于1，
由图可知：，故只需即可，即，解得：．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．集合，则（ ）.
A．； B．； C．； D．．
【答案】B
14．若为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．【答案】A
15．函数的图象是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
16．已知关于的不等式的解集是A，不等式的解集是，有下列两个结论：（1）存在，使；
（2）对任意的，都有；则（ ）.
A．（1）（2）均正确 B．（1）（2）均错误
C．（1）正确（2）错误 D．（1）错误（2）正确
【答案】D
【解析】由已知得，所以不等式的解集是A，
不等式的解集是，所以，
若，则，结合函数的图象，不可能是，故（1）错误；
因为，则对任意的，有，
解得，即，
现比较与-4的大小，，因为，
所以，所以对任意的，都有，（2）对．故选：D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
已知集合．
（1）若是的真子集，求的范围；
（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵若是的真子集，
∴，∴;
（2），
∵，则，∴是单元素集合，此时，符合题意；不符合．
综上，．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分7分，第2题满分7分．
函数的定义域为A，函数的定义域为．
（1）求A；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）要使函数有意义，则需，即，解得或，
所以；
（2）由题意可知，因为，所以，
由，可求得集合，
若，则有或解得或，
所以实数的取值范围是．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分．
某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示：
（1）根据表中数据，分别用模型且与建立关于的函数解析式；
（2）已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）见解析 （2）选用模型更合理.
【解析】（1）若选用，
则依题意可得，解得，则．
若选用，则依题意可得，解得,
则．
（2）对于函数，当时，（万元）；
对于函数，当时，（万元）；
因，所以选用模型更合理.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分6分，第2题满分6分，第3题满分6分．
（1）已知，用比较法证明：；
（2）已知均为正实数，用基本不等式证明：，并注明等号成立条件；
（3）已知，用反证法证明：．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1），
故；
（2），当且仅当时取等号；
（3）假设，则，得，，
又，所以，即，矛盾，故．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2小题满分6分，第3题满分8分．
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求的值；
（3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围．
【答案】（1） （2）或； （3）
【解析】（1）当时，不等式化为，
∴，即，解得，经过验证满足条件，因此不等式的解集为；
（2）由，得，
即，所以，
当时，则，解得，经过验证此时满足题意；
当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意；
②若时，方程有两不等实根，
设为，显然，由，得，
因为，所以，即
所以都满足，所以此时不满足题意.
综上可得或；
（3）因为对任意，函数在区间上总有意义，
所以对恒成立，
因为在上为减函数，故只需对任意恒成立，
所以只要，故，解得
对任意，函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上最大值为，最小值为，
所以，所以，
即任意恒成立，
令，当时，任意不恒成立；
当时，在上单调递增，
所以时，取得最大值，
且最大值为，所以当时不满足．
当时，任意恒成立，有以下三种情况：
①，解得，结合得．
②，由得，而，故此情况无解.
③，解得,此时无解．
所以的取值范围是