上海延安中学2025-2026学年高二上学期数学期中试卷（含答案）

延安中学2025学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（每小题3分，共36分）
1.若点平面，点平面，则直线______平面（填合适的符号）
2.已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数______．
3.在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有______条．
4.已知平面平面，与的法向量分别为，且，，则______．
5.三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是的______心．
6.把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，，，则四边形的面积为______．
7.圆锥的母线长10cm，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为______．
8.某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是______．
9.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
10.如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为；现将，，分别沿折起，使点重合，重合后记为点，得到三棱锥，则三棱锥的外接球体积为______．
11.如图，球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为______．
12.在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分；记绕轴旋转一周而成的几何体为．过作的水平截面，所得截面面积为；试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为______．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，则 D.若，，，则
14.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）
A.63颗 B.126颗 C.378颗 D.504颗
15.如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点（不与重合），过点作平面平面，截棱锥所得图形的面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图像是（ ）
A.B.C.D.
16.豆腐发酵后表面长出一层白绒线的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为（如图，为空间中，几何体的俯视图）；若忽略三角形豆腐的厚度，设，，，点在内部；假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题（共52分）
17.（第1小题3分，第3小题4分，共7分）
如图所示，是直角三角形，，，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成一个几何体；
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积；
18.（第1小题4分，第2小题4分，共8分）
如图，在三棱柱中，分别为，，的中点；
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求证：是的中点；
19.（第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分，共12分）
在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）直线与平面所成角的大小；
（3）二面角的大小；
20.（第1小题4分，第2小题7分，共11分）
如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段上的投影；
（1）证明：直线平面；
（2）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小；
21.（第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分，共14分）
在正棱锥中，为底面正边形的中点，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为；
（1）当，时，若，求正三棱锥的高；
（2）当时，若，且，求正四棱锥底面的边长；
（3）记，，试确定与的大小关系，并证明；
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.内； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.如图，球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为______．
【答案】
【解析】由题意知，平面是边长为的正三角形，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
由题意得，内切圆的半径是，即，
所以.
12.在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分；记绕轴旋转一周而成的几何体为．过作的水平截面，所得截面面积为；试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为______．
【答案】
【解析】因为几何体为的水平截面的截面积为，
该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值，
看作是截一个底面积为，高为2的长方体得到的，
对于，看作是把一个半径为1，高为的圆柱平放得到的，
如图所示，这两个几何体与放在一起，根据祖唯原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即的体积为。故答案为：。
二、选择题
13.D； 14.B； 15.C； 16.B
15.如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点（不与重合），过点作平面平面，截棱锥所得图形的面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图像是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】过作，交于，则平面，
过作，交于，过作，交于，
连接，则平面是所作的平面，由题意得，
解得，由．即，解得，
过作，在Rt中，，
∴函数的图象如图．故选
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）证明略
19.（1） （2） （3）
20.（1）证明略 （2）
21.在正棱锥中，为底面正边形的中点，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为；
（1）当，时，若，求正三棱锥的高；
（2）当时，若，且，求正四棱锥底面的边长；
（3）记，，试确定与的大小关系，并证明；
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）当时，几何体为正三棱锥，依题意得，
由，可得，所以，
所以侧面为正三角形，又因为，可得几何体为棱长为1的正四面体，
所以其体积为．
（2）当时，几何体为正四棱锥，可得．
由，可得，所以，可得，
又由，可得，解得，
设正四棱锥外接球的半径为，则，
即，解得，
所以正四棱锥外接球的体积为．
（3）证明：由条件知，，
设正棱锥的侧棱长为，
则
则（其中为正边形的中心，
且在逆时针旋转后仍为这些向量的排列，
故它们的和向量逆时针旋转后仍为，所以只能为零向量.
于是①
又由是侧棱与底面所成的角，且，
可得是侧面与底面所成的角，所以
从而由①，可得与相等，所以．