上海行知中学2025-2026学年高三上学期数学期中试卷（含答案）

行知中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
填空题（本大题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，满分54分）
1.函数的定义域为______．
2.复数的共轭复数为______．
3.函数的最小正周期为______．
4.已知随机事件和互斥，且，，则______．
5.设，则的值为______．
6.一组从小到大排列的10个数据：0，1，2，3，4，8，9，10，11，13，这组数据的第80百分位数是______．
7.下列命题，其中正确的是______（填序号）
①已知为实数，若，则．
②已知为复数，若，则．
③已知为向量，若，则．
8.在中，若，，，则的面积为______．
9.直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，该双曲线上任意一点，满足，则的最小值为______．
10.全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有______种．
11.一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：，点到的长度为1，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是______．
12.在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为______．
二、选择题（本大题共4小题，13、14每题4分，15、16每题5分，满分18分）
13.已知是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.若函数在区间上的最大值是，最小值是，则的值（ ）
A.与有关，且与有关 B.与有关，但与无关
C.与无关，且与无关 D.与无关，但与有关
15.已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C.1 D.2
16.若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，则称数列为数列的“数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）
A.存在等差数列，使得是的“数列”
B.存在等比数列，使得是的“数列”
C.存在等差数列，使得是的“数列”
D.存在等比数列，使得是的“数列”
三、解答题（本大题共有5小题，满分78分，必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，圆锥中，为底面圆上两点，，且是边长为4的等边三角形．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
一个袋子中有个红球，个白球，球的大小和质地相同．
（1）若，，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率．
（2）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值．
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第2小题满分7分）
已知函数，，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程．
（2）证明：有唯一零点．
（3）记的零点为，判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由．
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第2小题满分7分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，
（1）求椭圆的焦距和离心率．
（2）若点是椭圆上任意一点，判断是否为定值，并说明理由．
（3）斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点为，的中点为，到直线的距离为，椭圆的右顶点到直线的距离为，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分）
若实数，且满足，则称、是“余弦相关”的．
（1）若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
（2）若实数、是“余弦相关”的，求的取值范围；
（3）若不相等的两个实数、是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得、为“余弦相关”的，、也为“余弦相关”的．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.①③； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：，点到的长度为1，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是______．
【答案】
【解析】根据题意可知，棋子每次移动的长度构成等差数列，
首项为，公差为，
以点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，
设，
易得，，，
由题图归纳可知，
同理可得，．
当时，时，，故当时，即为，
当时，即为，移出网格1个单位，
此时移动的轨迹长度为．
12.在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为______
【答案】
【解析】因为，所以，
点的轨迹方程为（椭圆），
又因为，
所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支），
过点作，而，面，
所以面，设为中点，则二面角为
所以不妨设，
所以－，
所以，令，
所以,
等号成立当且仅当，
所以当且仅当时，．故答案为：．
二、选择题
13.D； 14.B； 15.B； 16.C
15.已知函数和它的导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C.1 D.2
【答案】B
【解析】观察图象，发现在的左侧，为增函数，
所以的最小值为，解得，
由，求导数得,
所以的最大值为．故选：．
16.若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，则称数列为数列的“数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）
A.存在等差数列，使得是的“数列”
B.存在等比数列，使得是的“数列”
C.存在等差数列，使得是的“数列”
D.存在等比数列，使得是的“数列”
【答案】C
【解析】对于，例如，则是等差数列，都是严格增数列，
可得，则，取，
则，，即成立，
所以是的＂数列＂，所以为真命题，所以A正确；
对于，例如，则是等比数列，都是严格增数列，
可得，则
取，则，即成立，
所以是的＂数列＂，所以为真命题，所以正确；
对于，存在等差数列，使得是的＂数列＂，
设等差数列的公差为，因为都是严格增数列，
所以，所以，取，满足，
可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；故对任意正整数使得，
所以为假命题；
对于：例如，则是等比数列，都是严格增数列，
可得，则，
取，则，即，］成立，
所以是的＂数列＂，所以为真命题，所以正确；故选：
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）证明略 （3）不存在，理由略
20.（1）焦距为2，离心率为 （2）定值8 （3）为定值
21.若实数，且满足，则称、是“余弦相关”的．
（1）若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
（2）若实数、是“余弦相关”的，求的取值范围；
（3）若不相等的两个实数、是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得、为“余弦相关”的，、也为“余弦相关”的．
【答案】（1）或 （2） （3）见解析
【解析】（1）代入得，又
或
（2）由，得
（3）证明：先证明，反证法，假设，
则由余弦函数的单调性可知，
同理，相加得，与假设矛盾，故
且
故也是余弦相关的，
即记
则
故是余弦相关的．同理，也为余弦相关的．