上海行知中学2025-2026学年高二上学期数学期中试卷（含答案）

行知中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知等差数列的前项和为，则______．
2.已知函数，，则______．
3.两条异面直线所成角的弧度制下的范围为______．（用区间表示）
4.已知向量，，若，则______．
5.若球的表面积为，则其体积为______．
6.已知等比数列，，，______．
7.已知数列满足，则所有项的和为______．
8.已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为______．
9.已知数列满足，则______．
10.已知高为1且底面半径为的圆锥，顶点为，底面上有两个不同的动点和，则的面积的最大值为______．
11.若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为______．
12.已知空间直角坐标系，，，，若动点满足，若、、均取遍，则点的轨迹形成的几何体的体积为______．
二、选择题（前2题每题4分，后2题每题5分，共18分）
13.已知的定义域为，且处处存在导数，则“函数是奇函数”是“函数是偶函数”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.已知两个不同的平面和，两条不同的直线和，下列结论正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，，则
D.若，，，则
15.对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（ ）
命题甲：存在某个等差数列同时含有1，，三项
命题乙：存在某个等比数列同时含有1，，三项
A.甲真乙假 B.甲假乙真 C.甲乙都真 D.甲乙都假
16.集合为空间直角坐标系内的一个点集，任取、、，存在不全为0的实数、、，使得．若，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．）
17.本题共有2个小题，满分14分，第1小题6分，第2小题8分．
如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动，
（1）证明：直线平面；
（2）若，求直线和平面的所成角．
18.本题共有2个小题，满分14分，第1小题6分，第2小题8分．
若函数和图象有公共点，且各自过点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．
（1）分别求和在交点处的切线方程；
（2）若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．
19.本题共有3个小题，满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
（1）如图1，设圆台的上、下底面的面积分别为、，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点、、，若该多边形是正六边形，写出点、、的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积；
（3）在（2）的条件下，求几何体的表面积．
20.本题共有3个小题，满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
已知数列，，，前项和为，
（1）若是等差数列，求；
（2）若，求；
（3）若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和．
21.本题共有3个小题，满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．
如图，已知正四面体的底面的边长为1，、、分别为侧棱、、上的点，平面平面，
（1）求棱台的周长；
（2）若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径；
（3）已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.A 14.D 15.D 16.D
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2） （3）
20．【答案】（1） （2） （3）
21．【答案】（1） （2） （3）存在，