2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（24章）--沪教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（24章）--沪教版（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-25 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（24章）
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点A的坐标是，以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
3．如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ）
A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5
4．下列关于向量的等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，平分，点D，E分别在边，上（点D不与点B，C重合），且，与相交于点F．下列结论：①；若，则；若，则．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个．
8．已知，则的值为 ．
9．C为线段的黄金分割点，长度为，则的长度 ．（结果保留根号）
10．定义新运算：．例如：．根据上述规律，化简的结果为 ．
11．如图，直线；则的长为 ．
12．如图，四边形∽四边形，若，，，则 ．
13．如图， ABC与位似，点O为位似中心，已知，则 ．
14．在 ABC中，是边的中线，如果设向量，向量，点是 ABC的重心，那么向量可以表示为 （用向量的线性组合表示）
15.如图，在 ABC中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使．
16．在平面直角坐标系中， AOB顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作 AOB的位似图形，并把 AOB的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为
17．如图，在 ABC中，，点E为边上的一个动点，当 时， ADE和 ABC相似．
18．如图，，，在、、、 ABC、、中写出一对相似三角形 ．
三、解答题（7小题，共64分）
19．已知，求值．
20．如图，已知，与相交于点．若，，求的长．
21．如图，．求证：．
22．如图，点D为 ABC边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，在方格图中， ABC的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与 ABC是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心O；
(2)请在方格图中将补画完整．
24．如图，在 ABC中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与 ABC相似．
25．如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若 ABC是“准互余三角形”，，，则 ；
(2)如图①，在中，，，．若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”．试问在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，在四边形中，，，，，且 ABC是“准互余三角形”，求对角线的长．
参考答案
一、选择题
1．
【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．
故选：D．
2．
【详解】解：如图，
则点的坐标为或．
故选：D．
3．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
∴，
故选：B．
4．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．
【详解】解：∵
∴，，
∴．
故选：C．
6．
【详解】解：①：∵在 ABC中，，平分，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
②：由①得：，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
③：
过点G作交于点H，
∵，
又∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确．
故选：D．
二、填空题
7．3
【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，
所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形．
故答案为：3．
8．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．或
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，，
∴当时，；
当时，，
∴．
故答案为：或．
10．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
11．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【详解】解：四边形∽四边形，，，，
，，，
由四边形内角和为可知，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵ ABC与位似，点O为位似中心，
∴；
故答案为：．
14． +
【详解】解：在 ABC中，是边的中线，向量，向量，
，
，
点是 ABC的重心，
，
故答案为： + ．
15．（答案不唯一）
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
16．或
【详解】解：∵在平面直角坐标系中， AOB顶点的坐标为，以坐标原点为位似中心，作 AOB的位似图形，并把 AOB的边长放大2倍，
∴放大后点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
17．或
【详解】解：∵ ADE与 ABC相似，
∴或，
∴或，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
18．
【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】解：设AP，
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AP=PB=BC=CD，
∴AB=，
∴，，
∴，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△ABC∽△DBA．
三、解答题
19．解：①当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，则．
∴；
综上所述，值1或．
20．解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．证明：，
，
，
又，
∴ ABC∽ ADE．
22．解：如图，点E即为所求．
．
23．（1）解：如图所示：点O即为位似中心；
（2）解：补全如图所示：
24．解：设经过秒钟，与 ABC相似．
由题意得，，
，，
，，
与 ABC相似，
当与对应时，有，即，解得，
当与对应时，有，即，解得，
综上所述，经过秒或秒钟，与相似．
25．（1）解：∵ ABC是“准互余三角形”，，，
∴，即
∴；
（2）解：如图①中，
在中，∵，，
∴，
∴是“准互余三角形”，
∵也是“准互余三角形”，
∴只有，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴；
（3）解：如图②中，将沿翻折得到 BCF．
∴，，，
∵，，
∴，
∴A、B、F共线，
∴
∴，
∴只有，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
∴
∴或（舍弃），
∴，
在中，．
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点A的坐标是，以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
3．如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ）
A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5
4．下列关于向量的等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，平分，点D，E分别在边，上（点D不与点B，C重合），且，与相交于点F．下列结论：①；若，则；若，则．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个．
8．已知，则的值为 ．
9．C为线段的黄金分割点，长度为，则的长度 ．（结果保留根号）
10．定义新运算：．例如：．根据上述规律，化简的结果为 ．
11．如图，直线；则的长为 ．
12．如图，四边形∽四边形，若，，，则 ．
13．如图， ABC与位似，点O为位似中心，已知，则 ．
14．在 ABC中，是边的中线，如果设向量，向量，点是 ABC的重心，那么向量可以表示为 （用向量的线性组合表示）
15.如图，在 ABC中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使．
16．在平面直角坐标系中， AOB顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作 AOB的位似图形，并把 AOB的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为
17．如图，在 ABC中，，点E为边上的一个动点，当 时， ADE和 ABC相似．
18．如图，，，在、、、 ABC、、中写出一对相似三角形 ．
三、解答题（7小题，共64分）
19．已知，求值．
20．如图，已知，与相交于点．若，，求的长．
21．如图，．求证：．
22．如图，点D为 ABC边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，在方格图中， ABC的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与 ABC是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心O；
(2)请在方格图中将补画完整．
24．如图，在 ABC中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与 ABC相似．
25．如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若 ABC是“准互余三角形”，，，则 ；
(2)如图①，在中，，，．若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”．试问在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，在四边形中，，，，，且 ABC是“准互余三角形”，求对角线的长．
参考答案
一、选择题
1．
【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．
故选：D．
2．
【详解】解：如图，
则点的坐标为或．
故选：D．
3．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
∴，
故选：B．
4．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．
【详解】解：∵
∴，，
∴．
故选：C．
6．
【详解】解：①：∵在 ABC中，，平分，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
②：由①得：，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
③：
过点G作交于点H，
∵，
又∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正确．
故选：D．
二、填空题
7．3
【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，
所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形．
故答案为：3．
8．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．或
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，，
∴当时，；
当时，，
∴．
故答案为：或．
10．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
11．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【详解】解：四边形∽四边形，，，，
，，，
由四边形内角和为可知，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵ ABC与位似，点O为位似中心，
∴；
故答案为：．
14． +
【详解】解：在 ABC中，是边的中线，向量，向量，
，
，
点是 ABC的重心，
，
故答案为： + ．
15．（答案不唯一）
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
16．或
【详解】解：∵在平面直角坐标系中， AOB顶点的坐标为，以坐标原点为位似中心，作 AOB的位似图形，并把 AOB的边长放大2倍，
∴放大后点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
17．或
【详解】解：∵ ADE与 ABC相似，
∴或，
∴或，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
18．
【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】解：设AP，
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AP=PB=BC=CD，
∴AB=，
∴，，
∴，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△ABC∽△DBA．
三、解答题
19．解：①当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，则．
∴；
综上所述，值1或．
20．解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．证明：，
，
，
又，
∴ ABC∽ ADE．
22．解：如图，点E即为所求．
．
23．（1）解：如图所示：点O即为位似中心；
（2）解：补全如图所示：
24．解：设经过秒钟，与 ABC相似．
由题意得，，
，，
，，
与 ABC相似，
当与对应时，有，即，解得，
当与对应时，有，即，解得，
综上所述，经过秒或秒钟，与相似．
25．（1）解：∵ ABC是“准互余三角形”，，，
∴，即
∴；
（2）解：如图①中，
在中，∵，，
∴，
∴是“准互余三角形”，
∵也是“准互余三角形”，
∴只有，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴；
（3）解：如图②中，将沿翻折得到 BCF．
∴，，，
∵，，
∴，
∴A、B、F共线，
∴
∴，
∴只有，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
∴
∴或（舍弃），
∴，
在中，．
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