2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（第24章）--沪教版（含解析）

2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（第24章）
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．下列图中，大小图形非相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果向量、、满足，那么用、表示正确的是（ ）
A． B． C． D．-
3．如图，在 ABC中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．如图，与交于点，且．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　）
A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3
6．如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ．
8．如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ．
9．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为 ．
10．如图，，若，则等于 ．
11．已知：如图，梯形中，，点M是的中点，设，，那么 （用、的线性组合表示）．
12．如图，在中，若，，，则的长为 .

13．如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
14．如图，已知：在 ABC和中，若，请添加一个条件 ，使．（写一个即可）
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ．
16．如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与 ABC位似，若的对应点，则的坐标为 ．
17．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图， ABC是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形 ADE（不含 ABC），使得（同一位置的格点三角形 DE只算一个），这样的格点三角形一共有 个．
18．如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ．
三、解答题（7小题，共64分）
19．已知，求：
(1)； (2)．
20．如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．如图，在 ABC中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为，．
(1)以原点为位似中心，画出（点的对应点分别为点、），与在位似中心的异侧，且与的相似比为；
(2)在（1）的条件下，写出点的坐标．
23．（1）如图1，在 ABC中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值．
24．如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形的边长为1cm，，，设正方形移动的时间为x秒，且．

(1)直接填空： cm（用含x的代数式表示）；
(2)若以G、D、C为顶点的三角形同相似，求x的值；
(3)连接，过点A作交于点P，连接．若的面积记为，的面积记为，则的值会发生变化吗？请说明理由．
25．已知和有公共顶点，，连接，取的中点M并连接．
（1）如图1，若点D位于线段上，则_________．（直接写出答案）
（2）如图2，若点D位于线段上，
①不添加其它字母和连线，直接写出图中除外的另一组相似三角形；
②猜想与的位置关系，并证明你的结论；
（3）当点D运动到图3所示位置时，线段之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1．
【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意；
B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意；
C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意；
D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
3．
【详解】解：∵，
，即，
解得：，
故选：．
4．
【详解】解：，
，，
，
，
设，则，，，
，
，
与的相似比为，
，
故选C．
5．
【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，，
，
四边形与四边形的面积比为：，
故选：A．
6．
【详解】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
由题意得：，
，
，
，
解得：，
灯泡到地面的高度为，
故选：A．
二、填空题
7．
【详解】解：，
．
故答案为：．
8．
【详解】解：由题意得两个图形相似，
∴，
解得：，
故答案为：．
9．
【详解】解：设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴它的下部应设计的高度为，
故答案为：．
10．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴．
故答案为：
12．8
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
即
∴BC=8（cm）
故答案是：8
13．或（答案不唯一）
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
14．或或（答案不唯一）
【详解】解：由两角对应相等，两个三角形相似，可添加或；
由两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可添加；
故答案为：或或（答案不唯一）．
15．
【详解】解：，，
，
与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
，
故答案为：．
16．
【分析】根据，，推出，求出值，得到位似比，进而求出，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴轴，；
∵的对应点，
∴，
∴
∴的坐标为：，即：；
故答案为：．
17．6
【详解】解：有图可知： ABC的三边为：
，，
，
如图所示：
可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
，
故答案为：6．
18．
【详解】解：过点F作，交于G，交于H，如下图，
由题意可知：，
∴，
∴，即，
解得：.
所以(米).
故答案为：.
三、解答题
19．（1）解：
设，，，
，
，，，
；
（2）解：∵，，，
∴．
20．原式=
=
=
图示如下:
21．解：∵，，，
∴，即，
解得：，
∴．
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，．
22．（1）解：即为所求，如图所示
（2）点的坐标为．
23．解：（1），
，
，
同理，
，
，
；
（2），恰好将三等分，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
设，则，，
由得，，
（负值舍去），
．
24．（1）解：，正方形的边长为1cm，正方形以1cm/秒的速度沿方向移动，移动开始前点A与点F重合．
，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，，，
当时，
，
，
解得：；
当时，
，
，
解得：，
当或时，以、、为顶点的三角形同相似．
（3）解：结论：的值不会发生变化．
理由如下：
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
的值不会发生变化．
25．解：（1）设OD=a，OA=b，
∵，，
∴，
CD=2 a，OC= ，
同理，OB=，
BC=，
AD=，
∵的中点是M，
∴DM=，
OM=OD+DM=，
，
（2）①，
延长OM交BC于N,
由（1）得，，∠AOD=∠BOC=90°，
∴；
②由相似得，∠DAO=∠CBO，
∵的中点是M，
∴MO=MD，
∴∠ADO=∠NOB，
∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠CBO+∠NOB=90°，
∴；
（3）延长OM交BC于N,在MN上截取MH=OM,
∵AM=MD,∠OMD=∠AMH，
∴△OMD≌△AMH,
∴AH=OD,∠HAD=∠ADO，
∴AH∥OD,
∴∠HAO+∠AOD=180°，
∵，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠BOC=∠HAO，
由（2）可知，，
∴
∴，
∴，∠CBO =∠AOH，
∴，
∵∠AOH+∠NOB=90°，
∴∠CBO+∠NOB=90°，
∴；