上海复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学期中试卷（含部分答案）

复附杨浦2025-2026学年第一学期高二年级数学期中B卷
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．直线的倾斜角为________．
2．抛物线的准线方程为________．
3．直线与直线的夹角的大小为______．（用反三角表示）
4．已知双曲线的离心率为3，则它的渐近线方程为________．
5．已知点在椭圆上运动，则的最大值为________．
6．已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为________．
7．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为_______．
8．已知抛物线的焦点为，点为上第一象限内一点，，则直线的斜率为________．
9．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则________．
10．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为________．
11．如图，地面上有一个篮球．
假设1：地面是水平面；
假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为．
已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为________．
12．已知线段的长为10，以为圆心，6为半径作圆．是线段上一动点，以为圆心．线段的长为半径作圆．若点为圆与圆的一个交点，则面积的最大值为________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题4分，第15-16题5分.
13．已知直线，直线，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．若圆上存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围
为（ ）.
A． B． C． D．
15．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于,两点，对于下面两个不等式：①; ②，说法正确的为（ ）．
A．①成立 ②不成立 B．①和②都成立
C．①不成立②成立 D．①和②都不成立
16．古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的动点，点为曲线右支上的动点，点是它的左焦点，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知直线过点，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点．
（1）求当面积最小时直线的方程（其中为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时直线的方程．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆，直线．
（1）无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程；
（2）若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知抛物线的焦点为，抛物线上一点．
（1）若的顶点都在抛物线上，且的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程；
（2）设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，，，若，求等率的值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于双曲线，将不平行于其渐近线且与该双曲线有且只有一个公共点的直线称为该双曲线的切线，这个公共点称为切点．
已知双曲线的方程为．
（1）若过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的方程；
（2）已知过双曲线上一点与双曲线相切的直线的方程为．设和是双曲线的焦点，直线是双曲线的一条切线，求和到直线的距离的乘积；
（3）若点是直线上的一个动点，且过点可作双曲线的两条切线，切点分别为，．过作直线的垂线，设垂足为．问：是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程．若不是，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，点，分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线，分别交椭圆于，两点．
（1）若是椭圆上异于，的一点，，分别为直线，的斜率，求的值；
（2）若直线平行于轴，求点的坐标；
（3）求四边形面积的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.A 14.D 15.B 16.B
三、解答题
17.（1） （2）最小值为24，直线为
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．【答案】（1） （2） （3）是，
21．【答案】（1） （2） （3）